Calcul numérique de la surcharge par convolution

Le formalisme des fonctions de Green permet donc de calculer la déformation as- sociée à une répartition de masse quelconque à la surface de la Terre (souvent sous forme de modèle projeté sur une grille) à l’aide d’une convolution. Le calcul numé- rique de cette convolution doit être adéquat pour éviter de commettre des erreurs sur le calcul.

Incertitudes sur la détermination des fonctions de Green

Pagiatakis (1990) s’est attelé à calculer l’incertitude associée au calcul des fonctions de Green de charge pour un modèle de Terre simple, en rajoutant séparément, dans son calcul des nombres de Love, la contribution de la rotation terrestre, de l’anisotropie de la croûte, de la viscosité du manteau. Le tableau 3.5 rassemble ces conclusions. Il estime également les effets combinés d’anisotropie, de la rotation et de la viscosité à 4, 7% dans la direction NS et de 5, 2% dans la direction EO. Plus récemment, dans un position paper, Plag (2002) estime l’erreur due au modèle de Terre à 1%2

. Tab. 3.5 – Erreurs sur la détermination des fonctions de Green, d’après Pagiatakis (1990).

Phénomène Erreur associée Remarque

Calcul des nombres de

Love 3%

2% également dans Guo et al. (2004)

Rotation 3% 1% dans Métivier et al.

(2005)

Anisotropie 3%

Viscosité 1% Utilise les facteurs de

qualité de PREM

A propos des effets inélastiques, la viscosité utilisée a été déterminée à partir des facteurs de qualité de PREM, c’est à dire sur des périodes caractéristiques inférieures à l’heure. Pagiatakis (1990) indique une phase de l’ordre de 1˚ pour le champ de gravité le déplacement radial et le tilt, de 6˚ pour le déplacement horizontal. Cette phase est également nulle pour des distances inférieures à 50 km. Doin et al. (2007) montrent toute la difficulté à extraire expérimentalement cette phase, même sur des signaux annuels.

Au vu de la figure 3.2 page 29, la principale incertitude associée aux fonctions de Green reste l’impact, quand la charge se rapproche du point d’observation, de la variabilité des caractéristiques mécaniques de la croûte. Elles peuvent en effet être extrêmement variables et diverger de leur description moyenne issue de PREM. Ce point sera traité plus tard.

Incertitudes liées au calcul numérique de la convolution

Plusieurs articles orientés vers la surcharge océanique s’attardent sur l’estimation de la précision du calcul numérique de la convolution en fonction de plusieurs facteurs. Lorsque Agnew (1997) publie son propre programme, NLOADF 3

, il compare ses résultats avec d’autres programmes et détermine une incertitude de 5% lié au calcul.

2

voir http://141.74.1.36/documents/workshop2002a/plag-van_dam.pdf

3

3.1. Attraction newtonienne et surcharge 35

Tab. 3.6 – Part de l’erreur sur le calcul de la surcharge océanique, d’après (Bos & Baker, 2005).

Paramètre Part de l’erreur totale

Densité de la mer (constante) 1%

Terre ellipsoïdale 0, 3%

Masque Terre - océan (proche océan) 72%

Non-Extrapolation des masse (masque) 11%

Interpolation de la grille de forçage 7%

Interpolation fonction de Green 0, 2%

Ce travail a été repris par Boy et al. (2003), qui détermine une incertitude totale de 10% (incluant fonction de Green, modèle de marée, méthode de calcul). Il montre également que les différentes manières de calculer la convolution induisent une erreur du même ordre de grandeur que les différences entre les modèles de marées.

Bos & Baker (2005) soulignent enfin que les principales sources d’erreurs sont la discrétisation du contour océan/continent, ainsi que le modèle de marée lui-même (voir tableau 3.6). Un ensemble de recommandations sont mises en place :

– interpoler la fonction de Green avec un polynôme du 6e degré, en prenant des distances logarithmiques ;

– ne pas considérer différentes fonctions de Green en déformation, même pour les points les plus proches ;

– la maille doit être raffinée quand on se rapproche du point de calcul, mais également sur toutes les côtes, lorsque la distance au point de calcul est de vingt fois inférieure au coté de la grille. Les modèles globaux ayant une résolution limitée (de l’ordre de 0, 5o ou 0, 25o), il est nécessaire de sur-échantillonner les pixels les plus proches de la station.

Il montre alors une répétabilité de 5% (incluant fonction de Green, modèle de marée, méthode de calcul).

Difficulté particulière des surcharges environnementales

D’une manière générale, les observatoires sont situés à plus de 50 km des côtes, hypo- thèse sous-jacente aux travaux de Bos & Baker (2005) sur les surcharges océaniques. Au delà de cette distance, comme le montre la figure 3.2 page 29, les incertitudes liées au modèle mécanique de la croûte ne posent que peu de problèmes. Ce point est également souligné par Boy et al. (2003). De plus, le sur-échantillonnage nécessaire pour le calcul de la convolution, d’un rapport 20 conduit à redécouper le maillage d’une manière exponentielle au fur et à mesure que l’on se rapproche du point d’ob- servation, quelque soit l’observable.

Il est donc nécessaire de raffiner les recommandations précédentes, en rajoutant les informations sur les échelles spatiales, et le comportement de chaque déformation pour des distances faibles. Une expérience simple pour cerner la précision requise pour le calcul de la convolution de masses proches, consiste, à partir d’une maille fixée, à découper cette maille en 4, jusqu’à ce que le calcul converge (voir figure 3.7). La taille du carré initial de 0, 25o correspond au pas d’une maille classique d’un mo- dèle maillé.

Cette expérience donne une information sur la qualité du maillage nécessaire pour faire converger le calcul de la convolution. Elle renseigne également sur la qualité de description du forçage qui permettrait un calcul optimal de la déformation observée

36 Chapitre 3. Les Processus de déformation

(voir figure 3.8, pour une erreur inférieur à 0, 5% sur le calcul de la maille de 25 km de coté). A noter que le critère de Bos & Baker (2005) est plus contraignant.

Comme décrit dans la partie 3.1.4 page 30, le tilt est très peu sensible aux masses trop lointaines, il est par contre extrêmement affecté par les masses proches. A noter la difficulté de la convergence lorsque les masses sont trop proches. Quelque soit l’ob- servable, le sous-échantillonnage d’une masse proche conduit à une sous-estimation systématique de l’amplitude de la déformation recherchée. La résolution du maillage (liée à la qualité du modèle) nécessaire à un bon calcul est indiquée.

Les déformations en 1/r ne nécessitent pas une description précise des masses à moins de 1 km, et ne peuvent pas non plus apporter d’information. Inversement, les déformations en 1/r2 nécessitent systématiquement une description beaucoup plus précise des forçages de surface et de sa géométrie. Pour éviter l’explosion du nombre de mailles lors de l’évaluation de la convolution pour les masses les plus proches de l’instrument, une alternative à explorer, bien plus simple à mettre en oeuvre mais également plus contraignante, consiste à utiliser une solution analytique d’une géométrie fixée.