La fonction d’onde du laser à la surface du condensat

Dans ce paragraphe, nous utilisons les résultats précédents pour calculer ψ` à la surface

du condensat. Nous discutons en particulier les résultats obtenus ainsi que l’importance des effets de bord éventuels non pris en compte dans notre approche.

IV.2.3.a Paramétrage de la surface

Nous effectuons les calculs de la fonction d’onde du laser, indépendamment dans chaque plan vertical d’équation y = y0

0avec |y00| ≤ ymax(équation 175). Ils nous donnent en particulier

accès à la valeur de la fonction d’onde sur la surface du CBE repérée par la position #‰rf. C’est

cette dernière donnée qui nous permet de poursuivre la propagation hors du condensat. On peut paramétrer ψ`( #‰rf) à l’aide de l’angle θ ∈ ] − π; π] relié aux coordonnées xf et zf par

(figure 67)

x x z z Surface du condensat g y r c(y) R ?_(y) ¾M ®max µ_max (x_f ; z_f) µ (x00 ; z00)

Fig. 67 – Coupe du condensat dans le plan y = y0

0. On paramètre les points (xf, zf) sur

le bord du condensat par l’angle θ. La par- tie en trait gras de la bordure du conden- sat (|θ| ≤ θmax) correspond à une valeur

non nulle de ψ`. Par contre, la valeur de

la fonction d’onde dans la partie supérieure est prise nulle (approximation iconale).

Comme nous ne considérons que les points #‰rf reliés par un rayon atomique à la surface de

couplage donnée par rc(y) =

q

x0

02+ z002, on peut définir une valeur θmax au delà de laquelle

la fonction d’onde est prise comme nulle,

ψ`(|θ| > θmax) = 0 . (252)

Cette valeur de θmax est déterminée par l’intersection entre la surface de couplage et la

bordure du condensat. On applique pour cela la formule d’Al-Kashi dans le même triangle que celui utilisé pour déterminer αmax (figure 54),

θmax= arccos · max µ −1;rc 2_(y0 0) − R2⊥(y00) − σM2 2σMR⊥(y00) ¶¸ . (253)

Si rc(y00) ≤ R⊥(y00) − σM, le couplage a lieu sur un cercle (dans le plan vertical (x, y = y00, z))

pleinement inclus dans la zone du condensat, donc θmax= π.

IV.2.3.b Résultats

En figure 68, nous avons tracé la densité atomique calculée en sortie du condensat, pour une zone de couplage située vers le bas du CBE (figure (a)), et pour un couplage vers le haut du nuage (figure (b)). Nous comparons la densité obtenue sur la surface à celle du condensat au début des rayons atomiques (trait tireté). Nous observons que, lorsque le couplage est assez haut dans le condensat, la propagation dans le volume du CBE a pour effet d’augmenter très fortement la densité atomique pour θ proche de θmax. En effet, même si de tels rayons

excentrés sont issus d’un point de la surface de couplage où la densité atomique du condensat est faible (apparaissant au numérateur de |ψ`|2), leur vitesse de sortie de Vi (apparaissant

au dénominateur de |ψ`|2) est encore plus faible, de telle façon qu’ils voient leur poids relatif

augmenter dans le profil du laser. L’effet, présent dans le cas (a) est particulièrement flagrant pour la configuration (b). On entrevoit déjà sur ces résultats, la présence de caustiques sur le faisceau laser, puisque l’on a bien accumulation de la densité atomique sur les bords du profil.

Nous avons aussi comparé les deux expressions de ψ` suivant que l’on utilise l’approxi-

mation iconale (équation 244), où la solution à base des fonctions propres de l’oscillateur harmonique inversé (équation 250). Si les deux courbes se superposent, lorsque la surface de couplage est éloignée de la surface du condensat (cas (b)), il n’en est pas de même dans le cas (a), lorsque le couplage se fait près de la surface du CBE. En effet, nous avons vu que dans le cas où le point de rebroussement classique et le point d’observation sont distants de moins de σr/2, (figure E.1), la solution iconale n’est plus valide. Dans les encarts des

1 0.5 0 µ (rad) (a) µ_max 0.3 0.2 0.1 0 (b) µ_max µ (rad) x x z z y x x z z y 0 0.5 1 0 1 2 3 (c) (d) 0.25 0.5 0.75 1 0 6 1.5 3 4.5 0 v_x (mm/s) Densité atomique

Fig. 68 – Densité atomique à la surface du condensat en fonction de l’angle θ < θmax, pour

deux valeurs de désaccord : (a) ˜δ = 2π×8.9 kHz, (b) ˜δ = −2π×1.1 kHz. Pour chaque cas, nous avons représenté dans l’encart, la position du couteau radiofréquence, à l’aide d’une coupe dans le plan (x, z) central (y0

0= 0). De plus, nous avons grisé la zone du condensat qui est

à moins de σr/2 = 300 nm de la surface du CBE. Nous avons comparé le résultat donné par

l’approximation iconale (équation 244 en trait fin), celui donné par la résolution exacte de l’équation de Schrödinger (équation 250 en trait épais), et la densité atomique du condensat |φc|2 (trait tireté), au début (i.e. sur la surface de couplage) de chaque rayon atomique

paramétré par θ. Tous les profils ont été normalisés à 1 et seules les valeurs positives de θ ont été considérées, puisque le système est symétrique par la transformation θ → −θ. Tracé du profil des vitesses transverses vx en sortie du condensat, en (c) et (d) pour les mêmes

désaccords respectivement que (a) et (b). Toutes les applications numériques correspondent au cas du piège comprimé.

figures (a) et (b), nous avons grisé la zone du condensat qui est à une distance de la surface inférieure à σr/2. On s’attend donc à ce que les rayons atomiques, dont les points de départ

appartiennent à cette zone, ne soient pas correctement traités par l’approximation iconale12_.

En particulier, dans le cas (a), où toute la zone de couplage est dans ce cas, la solution 250 donne de meilleurs résultats, comme nous le verrons sur les résultats de la propagation (§ IV.4).

Considérons maintenant la vitesse transverse (selon x) des trajectoires en sortie du condensat. Pour une valeur de θ donnée, le rayon atomique correspondant sort du condensat au point #‰rf(θ), en faisant un angle α avec l’axe z, vérifiant tan α = xf/zf, relation qui relie

de manière univoque α à θ. La coordonnée transverse du point de départ sur la surface de couplage s’écrit x0

0= rc(y00) sin α, et la vitesse de sortie transverse vx est donc donnée par

vx(θ) = ωr q x2 f − r2c(y00) sin2α = ωr s x2 f − r2 c(y00) 1 + (zf/xf)2 . (254)

Nous avons tracé cette vitesse transverse en figure 68 c et d pour les désaccords correspondant aux figures a et b. On remarque tout d’abord, que la vitesse transverse ne prend pas sa valeur maximale pour des trajectoires près de l’axe, mais pour des trajectoires qui en sont relativement éloignées, ce qui est différent du cas unidimensionnel transverse représenté par le schéma 62. De plus, les courbes c et d ont la même allure, alors que le profil après propagation est très différent pour les deux désaccords (figure 72) : pour ˜δ = 2π×8.9 kHz, on observe un

faisceau collimaté, alors que des caustiques sont clairement présentes pour ˜δ = −2π×1.1 kHz.

Comme discuté au paragraphe III.3.3, on ne peut donc pas attribuer l’apparition de caustiques uniquement à un effet de rattrapage des trajectoires originaires de points proches de la surface du condensat (θ proche de θmax), par les trajectoires partant du centre du

condensat (θ faible). Le fait que la densité en sortie du condensat augmente pour θ proche

θmax (figure 68 b), est aussi responsable du phénomène. On notera enfin, que si le potentel

était nul hors du condensat (absence de gravité), les caustiques seraient aussi présentes sur le faisceau laser, puisqu’elles apparaissent dès la sortie du condensat. La gravité n’est donc pas déterminante pour générer des caustiques sur le faisceau. L’effet de l’accélération de la gravité selon z hors du condensat, est de rabattre les trajectoires vers l’axe z, en leur permettant de se croiser et ainsi créer des interférences (§ IV.4).

IV.2.3.c Effets de bord à la surface du condensat

Une des hypothèses de notre traitement (§ IV.1) est que l’on peut propager indépendam- ment le laser dans Vi, puis dans Vo. En particulier, nous négligeons toute trajectoire sortant

du condensat puis y réentrant une ou plusieurs fois avant de s’éloigner du CBE. Pour de tels cas, on peut imaginer que la séparation en deux étapes ne soit pas forcément une bonne approche.

On peut déterminer, à l’aide des équations du mouvement, les points du condensat tels que les trajectoires atomiques qui en sont issus à vitesse nulle, sortent et réentrent dans le potentiel Vi. Nous avons tracé, en figure 69, ces points et nous avons aussi reporté le

positionnement des surfaces de couplage correspondant à différentes valeurs du désaccord.

12_{On remarquera que de tels points sur le bord du condensat, pour lesquels l’approximation iconale n’est}

pas utilisable, sont les mêmes que les points, pour lesquels le principe de Franck-Condon n’est pas valide pour calculer le taux de couplage (condition 172). En effet, ces approximations sont, toutes deux, de type semi-classique.

y ¾M -1.1 kHz 2.1 kHz -2.3 kHz 8.9 kHz 6.5 kHz z z x

x Fig. 69 – Coupe du condensat dans le plan

central y0

0 = 0, dans la configuration de

piège comprimé. Nous avons grisé les points du condensat qui sont à l’origine de trajec- toires réentrant dans la zone du CBE au moins une fois après en être sortis. À titre de comparaison, nous avons tracé les sur- faces de couplage (tirets), correspondant à différentes valeurs de désaccord ˜δ/2π.

Tout d’abord, nous remarquons que nous n’avons des points de la surface de couplage, qui donnent lieu à des trajectoires non prises en compte dans notre approche, que pour des valeurs de ˜δ proches de ˜δmin. Pour chaque valeur du désaccord, on peut définir un angle θ1,

tel que toute trajectoire correspondant à θ ∈ [θ1; θmax] réentre à un moment ou à un autre

dans la zone du condensat. Pour différentes valeurs de désaccord, nous avons comparé en figure 70, θ1 à θmax (équation 253) , et ce dans le cas du plan central (y00 = 0). On remarque

que, pour θmax≤ π/2, θ1= θmax, ce qui traduit le fait qu’aucune trajectoire ne réentre dans

le condensat. Puis, en diminuant la valeur de ˜δ, c’est-à-dire en couplant de plus en plus

haut dans le nuage, l’écart θmax− θ1 augmente. Cet écart ne devient réellement significatif

que lorsque le désaccord est très proche de sa valeur minimale. Notre approche ne permet donc pas de traiter correctement des désaccords aussi faibles, tels que la surface de couplage est complètement incluse dans le volume du condensat. On notera toutefois que ces valeurs extrêmes de ˜δ correspondent à des valeurs du taux de couplage Γ très faibles (sur le bord de

la figure 56), ce qui rend l’étude expérimentale du laser à atomes dans une telle configuration assez difficile. -2.5 0 2.5 5 7.5 10 3¼ 4 ¼ 4 ¼ ¼ 2 0 µ_max µ₁ Désaccord ±/2¼ (kHz)~

Fig. 70 – Tracé de θmax (trait plein) et de

l’angle θ1 (tirets) au-delà duquel, le couteau

radiofréquence se situe dans la zone grisée, et ce, en fonction du désaccord ˜δ. Ces angles sont calculés dans le plan central y0

0 = 0,

pour une configuration de piège comprimé.

Nous pouvons aussi observer qu’en première approximation, les points du condensat grisés sur la figure 69, sont ceux qui sont situés au-dessus du centre du piège magnétique. En effet, les rayons partant de ces points sont dirigés vers le haut (z < 0) et une fois sortis de la zone

du condensat, peuvent facilement réentrer dans le volume du CBE. On comprend alors que ce problème serait pratiquement inexistant si le centre du piège magnétique était hors du volume du condensat, c’est-à-dire, si le “sag” σM était supérieur au rayon de Thomas-Fermi Rr. Ceci se produit pour un nombre équivalent d’atomes piégé avec ωr≈ 2π×270 Hz, soit une

fréquence légèrement inférieure à celle avec laquelle nous travaillons expérimentalement. Enfin, nous n’avons considéré que le plan central y0

0= 0 dans ce paragraphe, car il s’agit du

cas le plus défavorable que l’on puisse rencontrer. En effet, pour y0

06= 0, le rayon du condensat

vérifie R⊥(y00) < Rr, et il devient plus facilement plus petit que le “sag”. En d’autres termes,

plus on s’éloigne du plan central, moins de points sont concernés par la discussion présentée dans ce paragraphe.