Effet de l’imagerie

Nous avons cherché à simuler le processus d’imagerie, c’est-à-dire, connaissant une distri- bution volumique de densité atomique, en déduire l’image que renvoie l’optique sur le plan du capteur de la caméra. Le lecteur trouvera des détails sur la procédure de calcul de cette simulation dans [156]. En résumé, il s’agit de propager, à l’aide des concepts de l’optique de Fourier, chaque tranche de position y de l’objet, jusqu’au plan de la caméra, et de sommer chaque image obtenue, pour déterminer le résultat. Dans le cas particulier où l’objet est le laser à atomes dont nous calculons la densité atomique dans chaque plan y = y0

0 indépendam-

ment, nous n’avons pas observé de différence significative sur l’image finale, entre la méthode précédente et la simple sommation des profils du laser à atomes, le long de l’axe y. On peut expliquer cette coïncidence des résultats à la lumière de la discussion sur les propriétés de l’imagerie (§ I.1.4.b). En effet, soit L⊥, la taille transverse des structures du profil à atomes.

On voit, qu’après 150 µm de propagation (figure 72), L⊥≈ 10 µm. La taille selon y du laser

est donnée par ymaxqui est de l’ordre de 100 µm. L’anisotropie L⊥/ymaxdes détails que nous

voulons imager (les franges), est donc du même ordre que l’ouverture numérique O.N. = 0.1 du système d’imagerie, ce qui signifie que la profondeur de champ de l’imagerie ne joue pas sur la propagation de l’image du laser à atomes via l’optique. Une simple sommation de la densité dans les différents plans du laser suffit alors pour prédire l’image que l’on devrait obtenir.

La comparaison d’un profil dans le plan central (y0

0= 0), avec celui correspondant à la

(a) (b) (c)

100 ¹m

¢x2= 56 ¹m

¢x2= 57 ¹m ¢x2= 57 2 ¹m

Fig. 74 – Faisceau après 600 µm de propagation pour un désaccord ˜δ = −2π ×1.1 kHz (a) calculé dans le plan central y0

0= 0, (b) résultant de l’intégration des profil calculés de long de

l’axe de l’imagerie y, (c) obtenu expérimentalement. On a noté la taille quadratique moyenne transverse ∆x2 _{dans chacun des trois cas.}

somme de tous les profils (|y0

0| ≤ ymax) est faite en figure 74a et b. On voit que la modulation

transverse est atténuée sans pour autant disparaître, même après sommation due à l’imagerie. On aurait pu prévoir un tel résultat en considérant les profils 73c dans un plan horizontal (x, y). Ces derniers montrent que le profil selon x change peu en fonction de y, à cause de la forme fortement anisotrope et parabolique du condensat. De plus, les points où la forme du profil est modifiée ont un poids relatif faible dans la sommation, car ils correspondent à un couplage aux extrémités du condensat (|y| ≈ ymax) où la densité atomique au niveau du

couteau radiofréquence est bien plus faible qu’au centre du condensat.

Nous n’avons pas identifié, de manière claire, la raison expérimentale qui nous empêche d’observer la modulation résiduelle après sommation par l’imagerie. On peut cependant soupçonner qu’un mouvement résiduel du condensat relativement à la surface de couplage, puisse atténuer le contraste des franges sur les images finales, tout comme les fluctuations résiduelles du biais magnétique, qui déplacent la surface de couplage.

Cependant, même si les profils expérimentaux ne reproduisent pas les détails que l’on obtient sur les profils théoriques, la structure globale du faisceau est bien reproduite, comme on peut s’en rendre compte, en comparant les tailles quadratiques moyennes transverses ∆x2_{, données par notre modèle et celles données par l’expérience (figure 74). En particulier,}

l’intégration due à l’imagerie n’a que peu d’effet sur ∆x2_{. Nous utilisons cette propriété}

dans la suite (§ V.5), pour comparer l’évolution des tailles quadratiques moyennes au cours de la propagation, d’une part dans le plan central y0

0 = 0 et d’autre part sur les images

expérimentales.

En conclusion, notre traitement de la propagation du laser à atomes en deux étapes nous permet de mettre en évidence différents régimes de propagation en optique atomique. Dans la zone du condensat, la diffraction peut être négligée, et nous déterminons ψ` à partir

de l’accumulation de la phase le long des rayons classiques (approximation iconale), alors qu’hors du condensat, l’intégrale de Kirchhoff pour les ondes de matière permet de traiter exactement la propagation. Du point de vue pratique, cette méthode de calcul est beaucoup plus rapide que celle utilisant une simulation numérique des équations de Gross-Pitaevskii. En effet, les expressions de la fonction d’onde sur la surface du condensat et du propagateur indépendant du temps sont analytiques, et l’essentiel du temps nécessaire à la détermination de la fonction d’onde du laser propagé, est dû à l’intégration numérique de l’intégrale de Kirchhoff (équation 271), qui reste une intégrale unidimensionnelle.

Régime paraxial de propagation

Le traitement précédent à l’aide de l’intégrale de Kirchhoff pour la propagation hors du condensat est général. Cependant, les lasers à atomes extraits en présence de la gravité voient leur vitesse verticale augmenter fortement au fur et à mesure qu’ils s’éloignent de la zone du condensat, ce qui a pour conséquence qu’après une certaine hauteur de chute, le vecteur d’onde transverse kx devient négligeable comparé au vecteur d’onde vertical kz, et l’onde de

matière rentre dans le régime paraxial. Nous pouvons donc scinder la propagation hors du condensat en deux parties : jusqu’à l’altitude où le laser entre dans le régime paraxial, la fonction d’onde est calculée via l’intégrale de Kirchhoff, et au-delà, via la méthode que nous décrivons dans cette section.

L’intérêt de l’utilisation de l’approximation paraxiale (§ V.1), réside dans sa simplification du calcul de la propagation du laser qui est déduite de lois algébriques analytiques comme la loi ABCD (§ V.2), et non plus d’intégrales. Du point de vue pratique, cela signifie qu’une fois que l’on connaît un profil à une altitude donnée, le calcul des profils en d’autres positions

z est immédiat (§ V.3).

De plus, ce formalisme permet de dériver des lois de propagation des paramètres glo- baux du faisceau, comme la taille quadratique moyenne ∆x2_{, paramètre auquel nous avons}

accès expérimentalement. Enfin, dans le cadre de la propagation de faisceaux multimodes, il introduit un facteur de qualité M2 _{(§ V.4), qui indique combien de fois le laser est limité}

par la diffraction. L’intérêt de ce facteur de qualité, qui intervient dans la loi d’évolution de ∆x2_{, est de nous permettre de caractériser de manière synthétique la dégradation du faisceau}

subie lors de l’interaction avec le condensat-source. Ainsi, nous mettons en évidence que le