6. Extension du modèle pour la prise en compte de plusieurs arrivées
6.2. Extension des modules
L’objectif dans ce paragraphe est d’évaluer des trajectoires de déconstruction sur un horizon couvrant les arrivées de plusieurs systèmes en fin de vie avec ou sans incertitudes relatives aux arrivées. Nous reprenons les différents modules présentés précédemment en les adaptant pour la prise en compte de la réalisation de plusieurs produits. Nous verrons que pour cela la structure du modèle demeure inchangée (représentation graphique et connexions entre les modules). Par contre, les domaines de définition et les spécifications des variables sont modifiés.
6.2.1. Module activité
Nous modélisons tout d’abord la réalisation d’une activité sur l’horizon de planification afin de caractériser le nombre de produits ayant subi l’activité à chaque période ou pas de temps. Pour cela, nous reprenons la représentation graphique et les variables du modèle défini dans les paragraphes précédents (voir Figure V.13).
Le domaine de définition des variables est modifié afin de prendre en compte les différentes arrivées sur l’horizon de planification :
- les variables « activité » Ak correspondent au nombre de produits réalisés à la période k et le
domaine de définition de ces variables est {0,1, …, 𝑁𝑀𝐴𝑋𝐴 } où 𝑁
𝑀𝐴𝑋𝐴 est le nombre maximal de
réalisations prévues de l’activité,
- les variables « produit » PEk correspondent au nombre de produits arrivés à la période k
(arrivés entre la période 1 et la période k) et le domaine de définition de ces variables est {0,1, …, 𝑁𝑀𝐴𝑋𝑃𝐸 } où 𝑁
𝑀𝐴𝑋𝑃𝐸 est le nombre maximal d’arrivées prévues de produits devant subir
l’activité.
La TPC d’une variable « activité » Ak permet de spécifier la probabilité P(Ak = u / Ak-1 = v, PEk = w)
d’avoir réalisé u fois l’activité à la période k étant donné que w produits sont arrivés à la période k et que l’activité avait été réalisée v fois à la période k-1. Si on note T_A la TPC d’une variable Ak, on a :
T_A (w, v, u) = P(Ak = u / Ak-1 = v, FEk = w) (38)
Le mécanisme à modéliser est le suivant :
- si le nombre de produits arrivés à la période k (PEk) est inférieur ou égal au nombre de
réalisation de l’activité aval (Ak) alors tous les produits ont été traités,
- sinon l’activité est en cours de réalisation.
On peut alors construire la table T_A à partir de la relation (39).
Si w ≤ u : T_A (w, u, u) = 1,
Si w > u : T_A (w, u, u) = 1 – αk et T_A (w, u, u+1) = αk (39)
Suivant le paramétrage précédent, l’activité ne peut être réalisée au maximum qu’une seule fois au cours d’une période et αk correspond à la probabilité de réaliser l’activité au cours d’une période
sachant qu’elle était en cours à la période précédente. La flexibilité du modèle permet aussi de considérer d’autres situations comme par exemple la possibilité de réaliser plusieurs fois l’activité à chaque période.
169 Pour deux arrivées prévues sur l’horizon de planification, on obtient par exemple la TPC présentée sur le Tableau V.10. PEk Ak-1 Ak 0 1 2 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 2 0 0 1 1 0 1-αk αk 0 1 1 0 1 0 1 2 0 0 1 2 0 1-αk αk 0 2 1 0 1-αk αk 2 2 0 0 1
Tableau V.10 – TPC d’une variable activité avec deux arrivées prévues
Le résultat d’un exemple de simulation d’une activité avec deux arrivées prévues sur l’horizon de planification et avec αk = 0.002 est présenté sur la Figure V.19. Les valeurs des probabilités obtenues
peuvent être utilisées pour évaluer la satisfaction des demandes prévues à des dates données ou la disponibilité des produits pour débuter d’autres activités.
Si l’activité est une action de valorisation et que l’on s’intéresse par exemple à k=2000, les courbes données sur la Figure V.19 indiquent que :
- la probabilité de satisfaire au moins une demande à cette période est P(A2000 ≥ 1) = 0.98,
- la probabilité de satisfaire deux demande à cette période est P(A2000 = 2) = 0.91.
Si l’activité est une opération de déconstruction intermédiaire d’une trajectoire, on s’intéresse alors à la probabilité de terminer l’opération et, par conséquent, de pouvoir commencer l’opération suivante. P(A2000 ≥ 1) correspond à la probabilité de commencer l’activité suivante à k=2000 pour le premier
produit et P(A2000 = 2) à la probabilité de commencer l’activité suivante pour le deuxième produit.
Figure V.19 – Exemple de simulation d’une activité avec plusieurs réalisations
Nous avons présenté dans ce paragraphe la modélisation des différentes activités d’une trajectoire avec plusieurs réalisations possibles. Pour simuler la validation d’une trajectoire, il est nécessaire d’intégrer au modèle les demandes pour chaque produit valorisable.
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 X: 2000 Y: 0.9086 X: 2000 Y: 0.9818 P(A = 2) P(A>=1)
170
6.2.2. Module demande
Dans le cadre de la simulation des trajectoires sur des horizons couvrant les arrivées de plusieurs systèmes en fin de vie, les variables « demande » associées à chaque option de valorisation doivent permettre de prendre en compte plusieurs demandes. Le domaine de définition des variables Dk est
modifié pour qu’une variable Dk représente le nombre de demandes enregistrées à la période k. Chaque
variable Dk appartient alors à {0,1, …, 𝑁𝑀𝐴𝑋𝐷 } où 𝑁𝑀𝐴𝑋𝐷 correspond au nombre maximal de demandes
prévues sur l’horizon de planification.
La représentation graphique du modèle n’est pas modifiée par rapport au module présenté sur la Figure V.14. Un exemple de spécification d’une variable Dk est donné sur le Tableau V.11. Les
paramètres 𝛽𝑘1 et 𝛽
𝑘2 correspondent respectivement aux probabilités d’enregistrement d’une première
et d’une deuxième demande. On considère dans cet exemple que l’on ne peut enregistrer qu’une seule demande à la fois sur une période.
Dk-1 Dk 0 1 2 0 1 - 𝛽𝑘1 𝛽 𝑘1 0 1 0 1 - 𝛽𝑘2 𝛽𝑘2 2 0 0 1
Tableau V.11 – Exemple de TPC pour la simulation d’une demande en produits valorisables
Le module demande permet aussi de modéliser chaque demande séparément comme présenté sur la Figure V.20. Deux demandes 𝐷𝑘1 et 𝐷𝑘2 sont caractérisées indépendamment (représentant l’enregistrement de la demande). La variable 𝐷𝑘 est une agrégation de l’ensemble des demandes prises en compte et caractérise le nombre de demandes enregistrées à la période k. La spécification des TPC correspondant à cette situation est donnée sur le Tableau V.12.
𝐷𝑘−11 𝐷𝑘1 𝐷 𝑡−1 2 𝐷𝑘2 0 1 0 1 0 1 − 𝛽𝑘1 𝛽𝑘1 0 1 − 𝛽𝑘2 𝛽𝑘2 1 0 1 1 0 1 𝐷𝑘1 0 1 0 1 𝐷𝑘2 0 0 1 1 Dk 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 2 0 0 0 1
Tableau V.12 – TPC pour la simulation de plusieurs demandes
6.2.3. Module gestion
Nous proposons d’intégrer au modèle trois types de variables pour la gestion des demandes incertaines. Elles permettent de caractériser la validation des options, les stocks intermédiaires, les
Figure V.20 – Autre module de simulation d’une demande
𝐷𝑘2 (x) 𝐷𝑘−12 (x D(x) : demande Dk(x) 𝐷𝑘1 (x) 𝐷𝑘−11 (x)
171 stocks de produits valorisables et les demandes en attente d’un produit disponible. Pour une option de valorisation notée x ces variables sont définies de la manière suivante :
une variable VOk(x) représente le nombre de produits valorisés à la période k. Elle est
dépendante du nombre de produits disponibles (variable Ak(x)) et du nombre de demandes
enregistrées (variable Dk(x)) suivant la relation (40).
VOk(x) = min (Ak(x), Dk(x)) (40)
une variable Sk(x) caractérise un stock de produits intermédiaires c’est-à-dire situé en amont
d’une activité (opération de déconstruction ou action de valorisation) ;
o son domaine de définition {0, 1, … , 𝑁𝑀𝐴𝑋𝑆 } correspond au nombre de produits pouvant
être en stock à chaque période k ;
o elle dépend du nombre de produits arrivés à la période k (FEk(x)) en amont de
l’activité et du nombre de réalisations de l’activité à la période k (Ak(x)) avec :
𝑺𝒌(𝒙) = 𝒎𝒂𝒙(𝟎, 𝑷𝑬𝒌(𝒙) − 𝑨𝒌(𝒙) ) (41)
une variable ADk(x) caractérise un stock de produits valorisables c’est-à-dire des produits en
attente d’une demande ;
o son domaine de définition {0, 1, … , 𝑁𝑀𝐴𝑋𝐴𝐷 } correspond au nombre de produits pouvant
être en attente d’une demande à chaque période k ;
o elle dépend du nombre de demandes à la période k (Dk(x)) et du nombre de
réalisations de l’activité à la période k (Ak(x)) avec :
𝑨𝑫𝒌(𝒙) = 𝐦𝐚𝐱 𝟎, 𝑨𝒌(𝒙) − 𝑫𝒌(𝒙) (42)
une variable APk(x) caractérise le nombre de demandes non satisfaites à la période k ;
o son domaine de définition {0, 1, … , 𝑁𝑀𝐴𝑋𝐴𝑃 } correspond au nombre de demandes
pouvant être en attente d’un produit à chaque période k ;
o elle dépend du nombre de demandes à la période k (Dk(x)) et du nombre de
réalisations de l’activité à la période k (Ak(X)) avec :
𝑨𝑷𝒌(𝒙) = 𝐦𝐚𝐱 𝟎, 𝑫𝒌(𝒙) − 𝑨𝒌(𝒙) (43)
La représentation graphique des modèles permettant de simuler la gestion des demandes et des stocks pour une trajectoire de déconstruction est donnée sur la Figure V.21. La gestion des stocks de produits valorisables est modélisée par les variables VOk(x), ADk(x) et APk(x). Les arcs traduisent les relations
de dépendance avec les autres variables que nous venons d’identifier : les variables « activité » Ak(x) et
les variables « demande » Dk(x). L’évolution des stocks intermédiaires est modélisée par la variable
172
Les TPC des variables VOk, ADk, APk et Sk sont définies à partir des relations (40) à (43). Par exemple,
si 𝑁𝑀𝐴𝑋𝐴𝐷 = 𝑁
𝑀𝐴𝑋𝐷 = 𝑁𝑀𝐴𝑋𝑆 = 2, on obtient les tables présentées sur le Tableau V.13.
Dk 0 0 0 1 1 1 2 2 2 Ak 0 1 2 0 1 2 0 1 2 ADk 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 APk 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 FEk 0 0 0 1 1 1 2 2 2 Ak 0 1 2 0 1 2 0 1 2 Sk 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0
Tableau V.13 – Exemples de TPC des variables St, ADt et APt pour la gestion des demandes
6.2.4. Module économique
Dans la situation avec plusieurs arrivées prises en compte, le principe d’évaluation économique d’une trajectoire est le même que pour la situation avec une seule arrivée. La représentation graphique du modèle est la même que celle donnée sur la Figure V.17 excepté pour les coûts de réalisation CRk
définis pour une période à partir du nombre de produits arrivés (PEk) et du nombre de réalisations de
l’activité (Ak) (arcs allant de Ak vers CRk et de PEk vers CRk). Pour les autres variables d’évaluation,
nous utilisons les mêmes types de coûts et de revenus modélisés par les nœuds d’utilité Rk, CSk, et PNk.
Les modèles de coûts associés à ces variables sont cependant modifiés étant données les modifications des autres variables.
Nous présentons pour chaque variable « performance » prise en compte les principes de modélisation des coûts et des revenus sur le Tableau V.14. Les modèles de coûts utilisés sont de type proportionnel c’est-à-dire que les coûts et les revenus sur chaque période sont proportionnels au nombre de produits stockés. Ces modèles de coûts sont spécifiés au travers des tables d’utilité associées aux variables
A(x) : activité PEk(x) Ak(x) PSk(x) Ak-1(x) Dk(x) Dk-1(x) D(x) : demande VOk(x) ADk(x) APk(x) G(x) : gestion
Figure V.21– Module gestion avec variables « stock »
173 « performance » comme présenté sur le Tableau V.14. Les indicateurs utilisés pour évaluer économiquement les trajectoires correspondent aux coûts cumulés à une période donnée. Ils sont fonction des coûts espérés par période, eux-mêmes déduits des tables d’utilité. Les paramètres cr, cs, pn et r correspondent aux coûts unitaires par période et par produit. L’évaluation d’une trajectoire est donnée par la somme des coûts associés à chaque activité.
6.2.5. Module arrivée
Nous n’avons pas pris en compte jusqu’à présent les incertitudes relatives aux arrivées des systèmes en fin de vie. Comme nous l’avons vu précédemment, la gestion des incertitudes sur les arrivées représentant le flux d’entrée des systèmes de déconstruction sont en effet un élément incontournable de leur planification au regard de la nature et de la diversité des fins de vie possibles des systèmes à déconstruire. Notre objectif dans ce paragraphe est de prendre en compte ces incertitudes dans l’évaluation du profit espéré des trajectoires afin de comparer différentes trajectoires. Pour cela, les incertitudes relatives aux arrivées sont intégrées au modèle à l’aide de la spécification d’un module arrivée.
Un module arrivée est constitué de variables « arrivée » ARk. Elles sont définies suivant le même
principe que les variables « demande » et « activité » : une variable « arrivée » caractérise le nombre de systèmes en fin de vie arrivés pour être déconstruits à la période k. Son domaine de définition est {0, 1, …, 𝑁𝑀𝐴𝑋𝐴𝑅 } où chaque élément de cet ensemble est un nombre entier et 𝑁
𝑀𝐴𝑋𝐴𝑅 caractérise le
nombre maximal d’arrivée prévues sur l’horizon de planification. L’évaluation des arrivées se fait sur chaque période k et l’augmentation d’une (ou plusieurs) unité d’une période à l’autre est soumis à des incertitudes caractérisées par une probabilité.
La représentation graphique d’un module arrivée est donnée sur la Figure V.22. A une période k, une variable ARk est spécifiée par rapport à la variable ARk-1 : on caractérise ainsi la probabilité d’avoir une
ou plusieurs arrivées sur une période. Pour modéliser des lois de probabilité plus complexes d’autres variables antérieures à ARk peuvent être prises en compte. Un module arrivée est intégré au modèle de
simulation en le mettant en relation avec une variable PEk d’un module activité. En effet, une arrivée
entraîne l’activation d’un flux d’entrée d’une activité (produit disponible).
Table d’utilité
Coût espéré par période Coût cumulé à la période k 𝐶𝑅𝑘= 𝑐𝑟 ∗ 𝑃(𝑃𝐸𝑘> 𝐴𝑘) 𝐶𝑆𝑘= 𝑥 ∗ 𝑐𝑠 ∗ 𝑃(𝐴𝐷𝑘= 𝑥) 𝑥 𝑃𝑁𝑘= 𝑥 ∗ 𝑝𝑛 ∗ 𝑃(𝐴𝑃𝑘= 𝑥) 𝑥 𝑅𝑘= 𝑥 ∗ 𝑟 ∗ 𝑃(𝑉𝑂𝑘= 𝑥) 𝑥 𝐶𝑆𝑇𝑘= 𝐶𝑆𝑖 𝑘 𝑖=1 𝐶𝑅𝑇𝑘= 𝐶𝑅𝑖 𝑘 𝑖=1 𝑃𝑁𝑇𝑘= 𝑃𝑁𝑖 𝑘 𝑖=1
Tableau V.14 – Exemples de spécifications des modèles de coûts pour l’évaluation des trajectoires
𝐶𝑅𝑘= 𝑐𝑟 𝑠𝑖 𝑃𝐸𝑘> 𝐴𝑘
0 𝑠𝑖𝑛𝑜𝑛
174
Des exemples de TPC pour les variables ARk et PEk sont présentés sur le Tableau V.15. Sur la partie (a)
du tableau, la TPC d’une variable ARk est définie dans le cas où deux arrivées sont prévues sur
l’horizon de planification. Les paramètres 𝜃𝑘1 et 𝜃
𝑘2 correspondent respectivement aux probabilités
d’arrivées du premier et du deuxième système en fin de vie. Dans le cas où des arrivées supplémentaires doivent être prises en compte, la TPC peut être définie à partir de la relation (44).
𝑷 𝑨𝑹𝒌 = 𝒗 𝑨𝑹𝒌−𝟏= 𝒗 − 𝟏 = 𝜽𝒌𝒗
𝑷 𝑨𝑹𝒌 = 𝒗 − 𝟏 𝑨𝑹𝒌−𝟏= 𝒗 − 𝟏 = 𝟏 − 𝜽𝒌𝒗 (44)
Un exemple de TPC pour les variables PEk en présence de variables « arrivée » en amont est présenté
sur la partie (b) du Tableau V.15.
ARk PEk ARk-1 0 1 2 ARk 0 1 2 0 1 - 𝜃𝑘1 𝜃𝑘1 0 0 1 0 0 1 0 1 - 𝜃𝑘2 𝜃𝑘2 1 0 1 0 2 0 0 1 2 0 0 1 (a) (b)
Tableau V.15 – Exemples de TPC pour l’intégration de variables « arrivée »