Les groupes peuvent résoudre des problèmes semblables aux suivants:
1. La compagnie de téléphone Ajax offre trois principaux modèles de téléphone (princesse, pour bureau et au mur). Chaque modèle est offert dans les tons de vert, beige, rouge, noir ou blanc; et chacun peut être acheté soit avec le clavier à touches ou avec le clavier à composition automatique (CA). Combien de possibilités la compagnie Ajax offre-t-elle? Quelle est la
probabilité d'obtenir un téléphone avec clavier à touches vert?
2. Une nouvelle station de radio doit choisir un sigle identificateur.
Ce sigle doit comporter 4 lettres en tout. La première doit être C, la seconde doit être choisie parmi les lettres B, F, J, K ou S.
De plus, la station désire que la troisième lettre soit une voyelle.
Combien de choix cette station a-t-elle? Combien en a-t-elle si elle désire avoir exactement une voyelle dans son nom? Quelle est la probabilité que le nom comporte deux voyelles choisies au hasard?
3. Combien de nombres inférieurs à 10 000 peut-on former si le premier chiffre ne peut être zéro et qu'aucun chiffre ne peut être répété.
(Un indice: on peut utiliser des nombres à un, deux, trois ou quatre chiffres.)
Les élèves peuvent donner des
exemples de la vie courante qui exigent l'utilisation des principes
fondamentaux du dénombrement (par exemple, les codes postaux, les
numéros de téléphone, les sortes de hamburgers offerts au restaurant du coin, les numéros de plaque
d'immatriculation, etc.).
Les élèves peuvent effectuer certains calculs à l'aide de ces exemples afin de déterminer si ces méthodes de
sélection répondent aux besoins de la communauté. (Par exemple, la méthode de sélection des numéros de téléphone présentement utilisée suffira-t-elle si la communauté s'agrandit plus tard?)
L'enseignante pourra peut-être introduire à ce stade-ci des questions traitant de l'intersection et de l'union des ensembles. Elle peut le faire à l'aide des arguments du
dénombrement ou d'ensembles qui se recouvrent partiellement. Démontrer plusieurs exemples pour illustrer des concepts tels que l'inclusion et l'exclusion.
A∪B = A + B - A∩B
A∪B∪C = A + B + C - A∩B - A∩C - B∩C + A∩B∩C Exemple: 93 élèves ont assisté à la danse de l'école; 62 ont acheté des hot dogs tandis que 45 ont acheté des boissons gazeuses et 8 n'ont acheté ni l'un ni l'autre. Combien d'élèves ont acheté à la fois un hot dog et une boisson gazeuse?
Concept A: Permutations et combinaisons
Objectifs spécifiques Suggestions pédagogiques
A.2
Déterminer le nombre de permutations de n objets (nPn = n!).
A.3
Déterminer le nombre de permutations de n objets différents, pris r à la fois (nPr).
Donner aux élèves la définition de permutation et leur présenter quelques exemples (par exemple, des «mots» de trois lettres inventés de toutes pièces, composés des lettres a, b et c).
Explorer la permutation d'un ensemble complet d'éléments et sa relation au principe de multiplication en donnant aux groupes des exemples et des exercices choisis à cet effet.
Lorsque les élèves ont bien compris, l'enseignante peut introduire la notation factorielle et la formaliser. Les élèves devraient utiliser la calculatrice ou l'ordinateur pour effectuer le calcul des permutations plus importantes et peut-être pour faire des simulations.
Remarquer le cas spécial de 0! = 1. Demander aux élèves de tenter ce calcul, à l'aide de la calculatrice également.
L'enseignante peut donner aux élèves des exemples relativement simples de façons de travailler en groupes. Les groupes peuvent faire part de leurs réponses à la classe; la discussion qui suit devrait permettre d'élaborer une méthode plus uniforme pour résoudre ces problèmes. Les élèves peuvent travailler l'exemple suivant: énumérer toutes les syllabes de deux lettres que l'on peut former avec le mot «part».
Élaborer la formule et donner d'autres exemples pour en illustrer l'application. Utiliser également la calculatrice et l'ordinateur.
Exemples/Activités Pistes supplémentaires
L'enseignante peut donner aux groupes d'élèves des exercices semblables aux suivants. Les élèves peuvent faire part de leurs solutions à la classe toute entière et celle-ci peut ensuite les formaliser.
1. De combien de manières différentes peut-on arranger les lettres du mot «sort»? Quelle est la probabilité que l'arrangement débute par une voyelle?
2. Combien de nombres à 5 chiffres peut-on former avec les chiffres 2, 3, 5, 7, 8 si chaque chiffre ne revient qu'une fois dans chaque nombre? Quelle est la probabilité que le nombre se termine par un 5?
3. De combien de façons différentes peut-on ranger huit livres sur une étagère?
Donner aux élèves une série d'exercices à effectuer en groupes.
Ces exercices peuvent ressembler aux suivants:
1. Combien de «mots» de trois lettres, inventés de toutes pièces, peut-on former avec les lettres du mot «groupe» si on ne peut utiliser aucune lettre plus d'une fois? Quelle est la probabilité que les trois voyelles se retrouvent dans le mot inventé?
2. De combien de façons différentes peut-on arranger un groupe de quatre élèves choisis parmi un groupe de dix élèves?
Les élèves peuvent produire des permutations que leur propre groupe tentera ensuite de résoudre. Ils devront réfléchir à chaque exemple pour déterminer s'il répond aux critères régissant la permutation d'un ensemble d'objets, avant d'effectuer le calcul.
Les élèves devraient utiliser le principe de multiplication pour calculer de combien de façons on peut former une file d'attente de longueur n avec n personnes. Ils inscriront le chiffre en première position, puis en seconde, etc.
Les élèves peuvent trouver des situations tirées de la vie courante dans lesquelles on rencontre des permutations de ce genre. Ensuite, les élèves peuvent déterminer le nombre de permutations pour chaque exemple à l'aide de la formule, de la calculatrice ou de l'ordinateur. L'enseignante devrait avoir des exemples en réserve au cas où les élèves n'arrivent pas à en trouver par eux-mêmes.
Demander aux élèves de trouver le nombre de façons de former une file d'attente de longueur r avec
n personnes, à l'aide du principe de multiplication.
Demander aux élèves de répondre à la question suivante: Si vous pouviez effectuer une opération à toutes les secondes, parmi une liste de 20!, combien d'années vous faudrait-il pour effectuer toutes les opérations?
Concept A: Permutations et combinaisons
Objectifs spécifiques Suggestions pédagogiques
A.4
Déterminer le nombre de permutations de n objets qui ne sont pas tous différents.
A.5
Déterminer le nombre de
permutations de n objets disposés en cercle.
Les élèves peuvent travailler en groupes pour déterminer de combien de façons ils peuvent disposer trois objets sur une droite, si tous les objets sont différents. Ils peuvent ensuite travailler avec une situation plus complexe suivant laquelle deux des objets sont identiques. Pousser plus loin et leur demander de
déterminer de combien de façons on peut disposer les quatre objets sur une droite, si deux sont identiques (puis si trois sont identiques).
À ce stade-ci, l'enseignante peut demander aux élèves de supposer un résultat pour le cas général. Leur demander de prédire le résultat avec cinq objets, dont deux sont identiques.
Poursuivre l'exercice avec des situations plus difficiles, en utilisant par exemple cinq objets, dont trois sont identiques les uns aux autres et les deux autres identiques l'un à l'autre.
Des objets de manipulation tels que les jetons de bingo, les tuiles d'algèbre et les dés peuvent être utiles pour cet exercice.
Pour les permutations circulaires, les élèves peuvent explorer des situations individuellement, en groupes de deux ou en petits groupes. L'utilisation d'objets tels que de petites figurines, des pièces de monnaie, des étampes, des jetons peuvent être utiles, mais on peut aussi se servir de symboles alpha-numériques pour désigner les positions du cercle. On peut donner un problème tel que le suivant: déterminer le nombre de façons dont trois
(ensuite quatre, cinq et n) objets peuvent être arrangés en cercle.
Les élèves doivent réaliser qu'il n'y a pas de point de départ. Ils doivent noter chaque permutation. Après avoir déterminé les résultats pour quelques-uns de ces cercles, les élèves devraient être capables de déterminer la formule pour ce type de
permutation { (n-1)! }.
Les élèves peuvent ensuite utiliser cette formule dans des exercices.
On peut aussi aborder le cas spécial du genre de permutation
«porte-clés». Puisque certains objets, tels que les perles de couleur d'un collier, ou des clés, peuvent être arrangés sur un cercle sans égard s'ils sont à l'endroit ou à l'envers, le nombre de permutations est donné par la formule
2 1)!
-(n . Les élèves peuvent démontrer ce cas spécial avec des clés ou des perles de couleurs sur un anneau.
Exemples/Activités Pistes supplémentaires
Il faudrait donner des exercices portant sur ce concept.
1. De combien de façons peut-on disposer cinq objets sur une droite, si la couleur est la seule différence et s'il y a deux objets rouges, un vert et deux jaunes?
2. De combien de façons peut-on disposer les lettres du mot
«défense»?
3. De combien de façons peut-on disposer les lettres du mot
«inférence»?
4. Combien de signaux différents peut-on former avec trois carrés, trois triangles et deux cercles, si les huit symboles doivent être disposés en ligne verticale?
1. Détermine le nombre de permutations de quatre (cinq, six) objets disposés en cercle.
2. De combien de façons cinq membres d'une famille peuvent-ils s'asseoir autour d'une table circulaire?
3. De combien de façons six enfants peuvent-ils être assis sur un manège ayant exactement six sièges?
4. De combien de façons peut-on disposer cinq clés sur un anneau?
5. De combien de façons six membres d'une famille peuvent-ils s'asseoir autour d'une table si Robert et Joan doivent être assis côte à côte? Si Robert et Joan ne peuvent pas être assis côte à côte?
6. De combien de façons six «go-karts» peuvent-ils être situés autour d'un circuit durant une course, étant donné qu'ils sont à la queue leu leu?
Ces exercices peuvent être effectués à l'aide de la formule donnée dans les manuels de ressource. Il s'agit d'une variante de
n!
n1!n2!n3!.., lorsque n1, n2, n3 ...
représentent le nombre de fois qu'un élément apparaît dans cet
arrangement.
On peut approfondir ce sujet en examinant plusieurs autres
applications tirées de la vie courante.
L'enseignante peut demander aux élèves de trouver ces exemples en groupes et d'énoncer des problèmes qu'ils auront ensuite à résoudre. (AUT)
Les problèmes ci-contre peuvent être adaptés en introduisant des
contraintes telles qu'au numéro 5.
Par exemple, on peut poser les questions suivantes:
De combien de façons trois couples (hommes et femmes) peuvent-ils s'asseoir, si on doit alterner hommes et femmes?
De combien de façons cinq personnes peuvent-elles s'asseoir en cercle, si on ne veut pas que Bill et Bernie soient ensemble?
De combien de façons sept objets peuvent-ils être disposés en cercle, si deux des objets sont identiques?
Concept A: Permutations et combinaisons
Objectifs spécifiques Suggestions pédagogiques
A.6
Déterminer le nombre de
combinaisons de n objets, pris r à la fois.
Présenter aux élèves la définition de «combinaison» et faire ressortir les principales différences entre «combinaison» et
«permutation»; leur faire remarquer que pour les combinaisons, l'arrangement (ou l'ordre de disposition) n'est pas important.
Les groupes d'élèves peuvent résoudre une variété de problèmes conçus pour favoriser la compréhension des principes sous-jacents aux combinaisons.
Ces problèmes doivent être choisis pour refléter ou représenter des situations de la vie courante et les groupes devraient pouvoir se servir d'objets de manipulation dans leur exploration.
Exemples/Activités Pistes supplémentaires
Voici quelques exemples de problèmes:
1. De combien de façons peut-on s'y prendre pour choisir un représentant parmi un groupe de trois personnes? Quatre personnes? Cinq personnes?
2. De combien de façons peut-on s'y prendre pour choisir deux membres d'un comité parmi un groupe de quatre personnes?
Cinq personnes? Dix personnes?
3. Combien de combinaisons possibles existe-t-il dans la Loto 6/49?
4. Combien de segments de droites peut-on tracer à l'aide d'un ensemble de douze points non-colinéaires? Combien de triangles? Combien de quadrilatères?
Il faudrait aussi étudier ce sujet en utilisant l'exemple suivant: la file d'attente de longueur r constituée à partir de n personnes. Choisir r parmi n personnes, puis les aligner de r!
façons. Nous obtenons alors
nPr = nCr r! donc,
nCr = n!
(n-r)! r!
Remarquer que les deux méthodes proposées ci-dessus sont les mêmes pour les répétitions; par exemple, le nombre de permutations des lettres trouvées dans MISSISSIPPI est 11!
4! 4! 2! 1!
qui peut être considéré comme
11C4⋅7C4⋅3C2 en choisissant des positions pour chaque ensemble de lettres et en utilisant le principe de multiplication.
Essayer d'autres exemples pour déterminer si cette équivalence est générale dans le cas des répétitions.
Concept A: Permutations et combinaisons
Objectifs spécifiques Suggestions pédagogiques
A.7
Déterminer le nombre de
combinaisons formées à partir de plus d'un sous-ensemble.
Il faudrait rappeler les principes fondamentaux du
dénombrement aux élèves avant d'entreprendre cette section.
Les groupes d'élèves peuvent travailler les exemples qui reflètent cette situation. Ils peuvent faire part de leurs réponses à la classe et justifier ces réponses. (COM)
Dans la mesure du possible, les exemples choisis devraient refléter des situations de la vie courante.
L'enseignante peut poser un premier problème aux élèves pour qu'ils y travaillent ensemble. Voici un exemple du genre de problème qu'elle pourrait leur proposer:
Un élève en arts plastiques doit faire un collage incluant deux triangles différents, 3 quadrilatères différents et deux
pentagones. Le matériel dont il dispose comprend six triangles différents, 5 quadrilatères différents et 4 pentagones différents.
De combien de façons différentes l'élève peut-il choisir les matériaux requis?
Exemples/Activités Pistes supplémentaires
Exemples:
1. Combien de comités peut-on créer, si on veut que chaque comité soit composé de trois hommes et trois femmes, et qu'il faut choisir entre cinq hommes et six femmes? (On peut utiliser 5 jetons verts pour les hommes et 6 jetons bleus pour les femmes;
cet exemple peut servir de simulation, pour du travail en groupe).
2. Un groupe de scientifiques jugés aptes à l'entraînement astronautique compte 15 hommes et 4 femmes. Parmi ces personnes, seules quatre seront choisies pour le programme d'entraînement. Il faut qu'il y ait exactement une femme.
Combien de choix possibles existe-t-il?
Quel serait le résultat s'il fallait choisir deux femmes? Quel serait le résultat s'il fallait choisir au moins une femme?
Quelles sont les raisons pouvant expliquer que le groupe visé semble comporter un nombre plus élevé d'hommes dans ce scénario? Comment pourrait-on rendre le programme plus accessible aux deux sexes?
3. Pour créer un portefeuille d'investissement, un courtier en valeurs mobilières a suggéré à une cliente de choisir quatre des six actions recommandées et trois des huit obligations
recommandées. Combien de choix la cliente a-t-elle?
Les groupes d'élèves peuvent
perfectionner leurs capacités et leurs connaissances à ce sujet en cherchant des exemples de combinaisons dans d'autres situations de la vie courante:
environnement, hérédité, jeux, politique (tel que le débat
constitutionnel sur la réforme du Sénat), économie et autres. Ils peuvent simplement dresser une liste de situations dans lesquelles on trouve des combinaisons ou produire des mini-rapports reflétant leurs capacités en écriture ainsi qu'en calcul.
Les élèves peuvent travailler une situation précise, par exemple déterminer le nombre de façons dont on peut constituer une douzaine de beignes à partir de cinq saveurs, s'il faut choisir au moins un beigne de chaque saveur? Deux de chaque?
Une discussion sur ce genre de problème peut mener les élèves à d'autres concepts, tels que la théorie du binôme.