Objectifs généraux
• Être capable de reconnaître le nombre de solutions possibles d'un système d'équations linéaires (10 06 01). Appuyé par l'objectif spécifique 3.
• Démontrer l'habileté à résoudre un système d'équations linéaires (10 06 02). Appuyé par les objectifs spécifiques 1, 2 et 4.
Objectifs spécifiques Suggestions pédagogiques
F.1
Résoudre et vérifier les systèmes d'équations linéaires à deux variables par les méthodes suivantes: tracé de graphique, substitution et élimination.
Il peut falloir plusieurs périodes pour couvrir toute la matière proposée dans cette section. L'enseignant peut présenter une méthode à la fois comme le font les manuels ou il peut adopter une méthode plus ou moins intégrée.
Puisque les élèves ont déjà tracé des graphiques, il peut être utile de commencer par cette méthode. Les élèves peuvent discuter des diverses possibilités qui existent lorsqu'on trace deux droites sur le même plan. Quelles sont les relations possibles entre les deux droites?
On peut tracer les graphiques à l'aide de la calculatrice ou de l'ordinateur pour que les élèves se rendent rapidement compte que le point d'intersection, s'il existe, est le plus utile. Grâce à ces outils technologiques, elles peuvent rapidement résoudre
différents problèmes. Il faudrait que les exemples soient variés pour que les élèves examinent plusieurs cas dans lesquels on retrouve des droites parallèles et la même droite.
En petits groupes, les élèves devraient pouvoir répartir le travail de manière à ce que tous les membres du groupe utilisent une technique différente pour résoudre le même problème. Dans chaque cas, elles peuvent comparer pour déterminer quelle méthode est la plus efficace. Les élèves devraient essayer différentes techniques à tour de rôle et s'exercer ainsi à utiliser plusieurs d'entre elles. (VAL)
Lorsque les élèves ont utilisé une autre méthode que le graphique, l'enseignant voudra peut-être leur demander de tracer le graphique de chaque exemple à l'aide de la calculatrice ou de l'ordinateur, afin de vérifier visuellement l'exactitude de leur réponse.
Exemples/Activités Pistes supplémentaires
Comme activité d'introduction, l'enseignant peut demander aux élèves de travailler en petits groupes pour essayer de résoudre le problème suivant la méthode de leur choix. (Leur permettre d'utiliser la calculatrice, l'ordinateur, le crayon et le papier, ainsi que des graphiques.)
Le directeur général du Cirque Zoren doit décider combien il faut vendre de billets pour s'assurer que le spectacle offert en matinée rapporte des profits au cirque. Le directeur sait, par expérience, que le nombre d'enfants de moins de 12 ans assistant à la matinée sera quatre fois plus grand que le nombre d'adultes. Les dépenses totales associées à une matinée s'élèvent à 689 $. Si les billets pour adultes se vendent 5 $ et ceux pour enfants 2 $, combien de billets de chaque sorte doit-il vendre pour rentrer dans ses frais $ ? Les élèves devraient faire part à la classe des solutions auxquelles elles sont arrivées, les justifier et en discuter.
Les problèmes proposés aux élèves peuvent être énoncés de manière habituelle.
1. Résoudre à l'aide d'un graphique.
2. Résoudre par substitution.
3. Résoudre par élimination.
Il faudrait présenter chacune de ces méthodes aux élèves, soit en se servant des solutions qu'elles ont trouvées au problème donné pour s'exercer, soit en travaillant sur des exemples donnés par l'enseignant.
On peut vérifier les méthodes 2 et 3 à l'aide d'un graphique.
Pour présenter ce concept aux élèves qui ont davantage de difficulté,
l'enseignant peut tout simplement leur demander de résoudre un problème énoncé en langage courant comportant deux variables, en utilisant la méthode de leur choix. Lorsque leurs solutions sont acceptées comme justes, elles peuvent rédiger des équations pour décrire la situation et formaliser le concept.
Par exemple:
Céline n'a que sept pièces de monnaie dans son sac à main, toutes des pièces de vingt-cinq et de dix cents, qui donnent au total 1,15 $. Combien de pièces de chaque sorte a-t-elle?
La plupart des élèves peuvent résoudre ce problème par tâtonnement ou par substitution. Lorsqu'elles ont trouvé la réponse, l'enseignant peut leur
demander de rédiger des équations représentant la situation et de
résoudre le problème de manière plus formelle.
Concept F: Systèmes d'équations linéaires
Objectifs spécifiques Suggestions pédagogiques
F.2
Résoudre des systèmes linéaires à deux variables ayant des
coefficients rationnels et vérifier la solution.
Donner aux élèves des exemples de chaque système d'équations.
Leur demander de discuter ensemble de la manière de trouver la solution à ces systèmes. Demander aux élèves des suggestions quant à l'approche à utiliser, et dresser la liste des différentes stratégies proposées par les élèves.
Demander à chaque groupe de résoudre ces systèmes à l'aide d'une ou deux stratégies que vous choisirez. Présenter les approches qui ont réussi à la classe. Certaines élèves peuvent tracer un graphique, d'autres peuvent utiliser diverses méthodes mathématiques.
Si les élèves ne réussissent pas, l'enseignant peut leur montrer différentes techniques à titre d'exemples.
Les élèves devraient être capables de compléter plusieurs de ces systèmes.
Exemples/Activités Pistes supplémentaires
Résoudre chacun des systèmes d'équations qui suivent à l'aide d'une méthode que vous avez apprise, peu importe laquelle.
Vérifier vos réponses à l'aide d'une méthode différente.
1. 1/4 x + 1/3 y = 4 1/2 x - 5/6 y = -1 2. 3/2 x + 2/5 y = 13
1/5 x - 2/3 y = 16/3
Les élèves devraient résumer les techniques employées et en prendre note dans leur journal de bord.
Concept F: Systèmes d'équations linéaires
Objectifs spécifiques Suggestions pédagogiques
F.3
Reconnaître les caractéristiques des équations linéaires à deux variables dont les graphiques sont incompatibles, dépendants ou compatibles-indépendants.
Fournir aux élèves plusieurs exemples de chaque type de système d'équations. Leur demander de tracer le graphique de tous ces systèmes et de déterminer la solution. S'il n'y a pas de solution, leur demander de décrire la situation. Lorsqu'elles ont tracé le graphique de chacun, demander leur de classifier chaque système suivant le nombre de solutions possibles.
Lorsqu'elles ont classifié les graphiques comme ayant une, aucune ou plusieurs solutions, donner aux élèves les définitions qui s'imposent, telles qu'énumérées à l'objectif F.3.
Fournir plusieurs systèmes d'équations aux élèves leur
demandant de travailler avec leur groupe pour classifier chaque système sans en tracer le graphique. Leur demander de discuter leurs justifications avec les autres membres du groupe. (VAL) Si toute la classe est satisfaite des résultats mis en commun, l'enseignant peut les résumer suivant les caractéristiques de ces systèmes. Si les groupes sont incapables de déterminer de manière satisfaisante comment on peut classifier ces graphiques, l'enseignant devrait leur fournir des indices.
F.4
Résoudre des problèmes
comportant des systèmes linéaires à deux variables.
Donner aux élèves deux ou trois problèmes tirés de la vie courante et comportant des systèmes d'équations linéaires.
S'efforcer de donner des problèmes qui sont quelque peu différents.
En groupes, demander aux élèves d'essayer de résoudre ces problèmes en rédigeant le système d'équations requis, puis en trouvant la solution si elle existe. On peut demander aux élèves de tracer le graphique de leurs équations.
La plupart des manuels proposent des exercices pertinents à cet effet, mais on peut trouver des exemples supplémentaires, tirés de la vie courante, dans les sondages rapportés dans les journaux et dans divers magazines ou revues. (AUT)
Exemples/Activités Pistes supplémentaires
En traçant un graphique, déterminer si chacun des systèmes suivants a zéro, une ou plusieurs solutions.
1. 3x - 4y = 8 3. 4x + 1/3y = -1 9x = 12y + 4 2x - y = -5 2. 2x - 5y = 12
1/2x = 5/4y + 3
Classifier, de vue, chacun des systèmes suivants selon qu'ils sont incompatibles, dépendants, ou
compatibles-indépendants.
L'enseignant peut adapter ce sujet en commençant avec un ensemble de graphiques comportant deux droites.
Demander aux élèves de répartir ces graphiques suivant quelques-unes des caractéristiques des graphiques.
Idéalement, ces catégories seront compatibles, compatibles-dépendantes ou incompatibles. On peut ensuite classer les équations de chaque système dans leur catégorie et les analyser de cette manière.
Résoudre chacun des problèmes qui suivent dans vos groupes, chaque membre du groupe utilisant une méthode différente, ce qui constitue une façon de vérifier la solution.
1. Joe se souvient qu'un certain joueur de la LNH a brisé le record du plus grand nombre de points obtenus dans une saison avec 215 points. (On détermine les points en additionnant le nombre de buts et le nombre de passes.) Il se souvient aussi que le joueur a obtenu 111 passes de plus que de buts. Combien de buts le joueur a-t-il obtenu cette année-là?
2. Un magasin de vente d'appareils ménagers a vendu des laveuses à 650 $ chacune et des sécheuses à 500 $ chacune au cours de l'année. Les factures montrent qu'il a vendu en tout 445 appareils pour un total de 236 250 $. Combien de laveuses et combien de sécheuses a-t-il vendu?
3. Lors d'un essai, un biologiste des pêcheries prend dans ses filets trois fois plus de dorés que de brochets plus 14. En tout, il a attrapé 130 poissons dans ses filets. Combien de poissons de chaque sorte a-t-il pris?
4. Dans une ferme mixte, on élève du bétail et des poulets et on cultive le grain. Un jour, le propriétaire remarque que les poulets et les vaches ont en tout 162 yeux et 258 pattes. (De toute évidence, il n'est pas très occupé.) Combien de poulets et combien de vaches y a-t-il?
Les élèves peuvent chercher dans des manuels des problèmes de ce genre et les classifier dans les domaines politique, économique, sportif, etc.
Cette activité peut aider certaines élèves à faire le lien entre les concepts mathématiques et la vie de tous les jours.