Objectif général
• Démontrer l'habileté à déterminer les rapports trigonométriques dans une situation donnée, et à appliquer ces rapports dans le but de résoudre des problèmes de la vie courante (10 07 01). Appuyé par les objectifs spécifiques suivants:
Objectifs spécifiques Suggestions pédagogiques
G.1
Tracer un angle en position
normale. Les élèves devraient avoir du papier quadrillé, une droite, un rapporteur et un crayon. Leur demander de tracer plusieurs groupes d'axes sur une feuille de papier quadrillé (4 ou 6 mm).
Une fois cette tâche terminée, leur demander de tracer un angle aigu sur leur premier graphique. Montrer le résultat à la classe et examinant rapidement les graphiques des autres membres du groupe. Remarquer combien d'élèves ont un côté de l'angle parallèle à l'axe des x, combien ont un côté sur l'axe des x et combien ont un côté sur l'axe des x et le sommet à l'origine.
Demander combien n'ont aucune de ces trois caractéristiques.
Introduire l'idée d'une position normale de l'angle et demander aux élèves de tracer des angles spécifiques (par exemple: 30°, 45°, 77°, 125°) en position normale sur les autres groupes d'axes qu'ils ont préparés.
G.2
Déterminer la distance de l'origine à un point sur le côté terminal d'un angle en position normale.
Les élèves devraient avoir du papier quadrillé, une règle et un crayon. Leur demander de tracer plusieurs ensembles d'axes sur une feuille de papier quadrillé. Dans chaque cas, inscrire O à l'origine. Leur donner des coordonnées de points précises à situer sur le plan cartésien (3,4) et les identifier par A. Leur demander de déterminer la distance de O à A.
Ils peuvent mesurer ou utiliser le théorème de Pythagore. Leur faire faire plusieurs exemples de ce genre. Faire part des solutions à la classe, et demander aux élèves de décrire la méthode qu'ils ont utilisée dans chaque cas. Discuter pour déterminer quelle méthode semble être la plus efficace.
L'enseignante peut résumer en se servant des termes habituellement utilisés en trigonométrie pour les côtés et l'hypoténuse du théorème de Pythagore, réduisant le tout à x2 + y2 = r2. Demander aux élèves de faire un ou deux exercices en se servant de cette formule.
Exemples/Activités Pistes supplémentaires
Tracer chacun des angles suivants en position normale:
1. 25° 2. 15° 3. 225° 4. 325° 5. 180°
L'enseignante peut fournir aux élèves une série d'angles tracés à divers endroits sur un ensemble d'axes, et leur demander de:
a)identifier ceux qui sont en position normale et de les mesurer;
b)transposer en position normale ceux qui ne le sont pas.
1. Déterminer la distance de l'origine à la paire de coordonnées indiquées dans chaque cas.
a) (5,12) b) (-4,3) c) (-3,-2) d) (5,-2) e) (0,-6) f) (7,0)
Concept G: Angles et polygones
Objectifs spécifiques Suggestions pédagogiques
G.3
Calculer la distance entre deux coordonnées de points sur le plan cartésien.
L'enseignante peut se servir de quelques exercices comportant le théorème de Pythagore comme point de départ. Le théorème de Pythagore a été présenté dans le cours «Mathématiques 10». Ces exercices serviront également de rappel visuel aux élèves.
L'enseignante peut ensuite demander aux élèves de construire des triangles sur du papier quadrillé de manière à ce qu'une des extrémités de l'hypoténuse se situe à l'origine. (Les coordonnées de points représentant les sommets devraient être des nombres entiers.) Leur demander ensuite de calculer la longueur de l'hypoténuse.
Demander aux élèves de travailler en petits groupes pour déterminer comment calculer la longueur de l'hypoténuse d'un triangle à angle droit qui n'est pas tracé à l'origine. Leur demander de tracer ces triangles sur du papier quadrillé (les coordonnées de points représentant des sommets devraient être des valeurs entières, et les deux côtés du triangle parallèles aux axes) et de déterminer la longueur de l'hypoténuse.
Lorsque les élèves ont réussi à calculer l'hypoténuse, et à justifier leur réponse, leur demander de déterminer la longueur de
l'hypoténuse pour le cas général (les côtés parallèles aux axes).
Une fois que la classe a élaboré le procédé permettant de déterminer l'hypoténuse pour le cas général, demander aux élèves de travailler dans leur groupe pour déterminer la distance entre deux points donnés (certains groupes pourraient avoir besoin de plus d'aide pour démarrer). (VAL)
Lorsque les élèves sont capables de trouver cette distance, on peut leur donner la formule de calcul de la distance (la formule standard) pour qu'ils l'utilisent.
G.4
Déterminer les coordonnées du point situé au milieu d'un segment.
Demander aux élèves de discuter de la signification du point situé au milieu. Présenter une droite numérique et demander à la classe de trouver le point situé au milieu de deux points spécifiques. Faites faire plusieurs exemples aux élèves. Répéter le processus à l'aide d'une droite numérique verticale.
Présenter deux coordonnées de points sur un graphique et demander aux élèves de déterminer le point situé au milieu de ces deux coordonnées. Après plusieurs exemples, demander aux élèves de déterminer le point situé au milieu des coordonnées de points (x1,y1) et (x2,y2). Cet exercice devrait permettre aux élèves de trouver la formule permettant d'obtenir le point situé au milieu de toute coordonnée de points.
Exemples/Activités Pistes supplémentaires
Une série d'exercices peut comprendre des exemples semblables à ceux qui suivent:
1. Tracer quelques triangles, les mesures de deux côtés étant données, et calculer la longueur de l'hypoténuse suivant les instructions données.
2. Tracer quelques triangles à angle droit sur un graphique de sorte qu'une des extrémités de l'hypoténuse soit à l'origine et donner les coordonnées des points représentant les sommets.
Demander aux élèves de calculer la longueur de l'hypoténuse.
3. Tracer quelques triangles à angle droit sur un graphique, de manière à ce que les côtés soient parallèles aux axes, et donner les coordonnées de points représentant les sommets. Demander aux élèves de calculer la longueur de l'hypoténuse.
4. Donner aux élèves deux coordonnées de points à situer sur le plan cartésien. Leur demander de s'en servir pour construire un triangle à angle droit (les coordonnées représentant les
extrémités de l'hypoténuse) et de calculer la longueur de l'hypoténuse.
5. Demander aux élèves de calculer la distance entre les coordonnées de points donnés. Calculer la distance de A à B dans chacun des cas suivants:
a) A (3,5) B(6,9) c) A(4,-3)B(-1,4) b) A (-2,4) B(3, -8)
6. Voici un problème qui intègre la formule de la distance.
Un arpenteur désire déterminer la distance réelle d'un affleurement rocheux à un quai situé sur le côté opposé d'un lac, afin de poser des lignes à haute tension. Sur la carte, ces points sont indiqués par (4,5 km; 3,1 km) et (5,0 km; 1,9 km).
Quelle est la distance qui les sépare?
L'enseignante peut demander aux élèves de trouver d'autres exemples d'utilisation de la formule de calcul de la distance tirés de la vie courante en cherchant dans d'autres sources.
L'enseignante peut aussi faire remarquer aux élèves que plusieurs des identités utilisées en trigonométrie sont basées sur la formule de la
distance (le théorème de Pythagore).
Ou bien, l'enseignante peut se servir de problèmes de comparaison énoncés en langage courant pour vérifier dans quelle mesure les élèves comprennent ce concept.
Par exemple:
Quelle distance est la plus élevée:
de (6,5) à (-1,3) ou de (-5,-3) à (0,-8)? De combien plus élevée?
7. Déterminer le point situé au milieu du segment joignant les coordonnées de points suivantes:
a) (5,1) et (13,7) c) (5,-4) et (-6, 9) b) (-4, 7) et ( 6,-3)
8. Sur une carte possédant des références chiffrées, le village de Sundown est situé à (6,3 km; 2,9 km), tandis que la ville de Sunup est située à (4,7 km; 13,2 km). Il faut construire une canalisation entre les deux localités. Il est décidé que chacune sera responsable de la construction de la canalisation jusqu'au point du milieu. Quel est le point de rencontre? Si Sundown estime que les coûts prévus s'élèveront à 63 475 $ du kilomètre, quelle sera sa part des coûts de construction?
Concept G: Angles et polygones
Objectifs spécifiques Suggestions pédagogiques
G.5
Déterminer la valeur des six rapports trigonométriques étant donné un point sur le côté terminal d'un angle en position normale (x,y,r).
Dans le cours «Mathématiques 10», les élèves ont appris à trouver les trois rapports trigonométriques primaires à l'aide d'un triangle à angle droit et des concepts de l'hypoténuse, des côtés opposés et des côtés adjacents. L'enseignante peut rapidement réviser ces concepts et s'en servir comme point de départ pour cet objectif.
Les élèves peuvent tracer plusieurs groupes d'axes sur une feuille de papier quadrillé et situer une coordonnée de points précise sur les premiers axes. Leur demander de déterminer la distance entre la coordonnée de points et l'origine. En se servant de la notion de la rotation dans un cercle et de l'angle en position normale, x devient le côté adjacent, y le côté opposé et r
l'hypoténuse. Redéfinir les trois fonctions trigonométriques primaires en termes de x, y et r. Demander aux élèves de
déterminer la valeur de ces trois fonctions primaires à l'aide de x, y et r. Introduire les fonctions de sécante (r/y), cosécante (r/x) et cotangente (x/y) comme étant la réciproque des fonctions
primaires. Également, demander aux élèves de trouver la valeur de ces fonctions.
Donner aux élèves plusieurs autres coordonnées de points pour lesquelles ils doivent déterminer les six fonctions
trigonométriques d'une coordonnée de points. Utiliser les coordonnées de points de différents quadrants, et quelques-unes qui comprennent un zéro. Veiller à ce que chaque élève
comprenne que pour les angles dont 0 < 90°, sin θ =
hyp
opp
et sin θ =y/r, sont les mêmes.G.6
Déterminer les angles
coterminaux d'un angle donné. Les élèves peuvent tracer un angle en position normale et l'indiquer en traçant une courbe du côté initial au côté terminal.
Mesurer cet angle avec un rapporteur et noter les mesures.
Les élèves peuvent discuter de l'existence de tout autre angle dont le côté initial et le côté terminal seraient les mêmes. Il faudra introduire le concept d'angle négatif dans cette section.
Les élèves devraient être capables de trouver tant l'angle coterminal négatif que les angles positifs qui sont coterminaux.
Les élèves peuvent faire part de leurs conclusions à toute la classe et les résumer.
Demander aux élèves de déterminer au moins 6 angles
coterminaux pour un cas précis (par exemple, 50°), trois négatifs et trois positifs. Répéter avec un ou deux autres angles. Puis leur demander de discuter en groupes comment ils pourraient
représenter cette situation sous forme générale. (Même exemple:
50° + n • 360°, quand n peut être n'importe quel nombre entier).
Exemples/Activités Pistes supplémentaires
Déterminer les six rapports trigonométriques pour chacune des coordonnées de points ci-après quand le point représente l'extrémité du côté d'un angle en position normale.
1. (5,12) 2. (-3,4) 3. (-8,-15) 4. (2,-3) 5. (-5,0) 6. (0, 7)
1. Déterminer trois angles coterminaux positifs et trois angles coterminaux négatifs dans chacun des cas suivants.
a) 60° b) 125° c) 305° d) 180° e) -75°
2. Déterminer la forme générale des angles coterminaux dans chacun des cas qui suivent.
a) 45° b) 173° c) -215°
Concept G: Angles et polygones
Objectifs spécifiques Suggestions pédagogiques
G.7
Déterminer l'angle de référence
d'angles positifs ou négatifs. Puisque la plupart des tables utilisées en trigonométrie tendent à donner des valeurs entre 0 et 90 degrés, par le passé, quiconque étudiait la trigonométrie devait utiliser les angles de référence pour trouver les valeurs trigonométriques d'un angle plus grand que 90 degrés.
La plupart des calculatrices peuvent maintenant donner les valeurs trigonométriques de n'importe quel angle, et il n'est plus nécessaire de trouver l'angle de référence pour ce type
d'opération. Cependant, dans le cas de valeurs exactes, il se peut que les élèves aient à travailler avec les angles de référence.
Demander aux élèves de situer les coordonnées de points (3,4), (-3,4), (-3,-4) et (3,-4) sur un graphique et déterminer les six valeurs trigonométriques de chacune. Puis leur demander de mesurer l'angle entre l'axe des x et la coordonnée de points (avec le sommet à l'origine) à l'aide d'un rapporteur. Leur donner un autre groupe de quatre coordonnées de points et leur demander de répéter l'exercice. Discuter des résultats en petits groupes et déterminer comment on peut calculer ces angles de référence (référence < = θ - le rayon le plus près de l'axe des x). Leur demander de trouver plusieurs angles de référence.
G.8
Déterminer les valeurs pour les six rapports trigonométriques, étant donné un rapport
trigonométrique et le quadrant dans lequel l'angle se termine.
L'enseignante peut donner un rapport trigonométrique et un quadrant aux élèves, et leur demander de déterminer les cinq autres rapports. Elle peut leur demander de situer l'information donnée sur un graphique, de trouver l'information nécessaire manquante et de fournir les autres rapports trigonométriques.
Si les groupes d'élèves éprouvent des difficultés, l'enseignante peut leur suggérer d'identifier x, y et r et d'appliquer le procédé décrit à l'objectif G.5. Ils peuvent faire part de leurs solutions aux autres groupes de la classe.
Fournir quelques exercices du même genre pour que les élèves puissent s'exercer.
Exemples/Activités Pistes supplémentaires
Trouver l'angle de référence dans chacun des cas qui suivent.
1. 140° 2. 215° 3. 345° 4. 97° 5. 272° 6. 175°
Déterminer les six valeurs trigonométriques de chacun des cas qui suivent, à l'aide de l'angle de référence.
1. 150° 2. 255° 3. 330°
Déterminer les valeurs des six rapports trigonométriques, étant donné l'information suivante:
1. sin θ = 4/5, θ dans le 2e quadrant 2. cos θ = -2/3, θ dans le 4e quadrant 3. tan θ = 5/6, θ dans le 3e quadrant 4. csc θ = - 13/5, θ dans le 3e quadrant
L'enseignante peut demander aux élèves de trouver les six valeurs trigonométriques de l'angle formé par un segment de droite passant par l'origine et dans un quadrant précis.
Par exemple:
Déterminer les six valeurs
trigonométriques de l'angle en position normale formé par 3x - 4y = 0 dans le troisième quadrant.
C'est le temps de redéfinir la pente d'une droite comme étant la tangente de son angle d'inclinaison (sous forme normale).
m = tan θ 0° < θ < 180°. Pourquoi?
Concept G: Angles et polygones
Objectifs spécifiques Suggestions pédagogiques
G.9
Déterminer les valeurs pour les rapports trigonométriques à l'aide de la calculatrice.
Étant donné un rapport trigonométrique, les élèves devraient utiliser une calculatrice pour déterminer l'angle associé à ce rapport.
Donner plusieurs exercices du genre sin θ = .6336, cos θ = .9200, tan _ = -1.385 et demander aux élèves de déterminer toutes les valeurs possibles (0°< O< 360°) auxquelles ces rapports
trigonométriques sont associés.
Puis, présenter aux élèves une série d'exercices plus précis tels que sin θ = .7335 dans le 1er quadrant, cos θ = -.3882 dans le 2e quadrant, tan θ = 3.247 dans le 3e quadrant, et demander aux élèves de déterminer l'angle à l'aide de la calculatrice.
Comme troisième genre d'exercice dans cette section, demander aux élèves de tracer et d'identifier deux ou trois triangles à angle droit, et de donner une longueur à deux des côtés. Puis, leur demander de déterminer la mesure des angles aigus de chaque triangle en établissant les rapports exacts et en utilisant la calculatrice pour déterminer l'angle.
G.10
Appliquer les rapports
trigonométriques aux problèmes comportant des triangles
rectangles.
Présenter aux élèves des problèmes tirés de la vie courante afin qu'ils en discutent et trouvent la solution en groupes. Ils
devraient disposer de crayons, de papier, de règles et de calculatrices afin d'illustrer le problème et de le résoudre.
Il faudrait présenter deux types de problèmes aux élèves; pour le premier type, les côtés leur sont donnés et l'enseignante demande aux élèves de déterminer l'angle ou les angles; pour le deuxième type, le rapport trigonométrique d'un angle est donné et
l'enseignante demande aux élèves de trouver le(s) côté(s) ou l'angle (les angles).
La plupart des manuels de ressources offrent un nombre suffisant de problèmes de ce genre énoncés en langage courant.