Objectifs généraux
• Démontrer l'habileté à additionner, à soustraire, à multiplier et à diviser les expressions rationnelles (10 03 01). Appuyé par les objectifs spécifiques 1 à 7.
• Démontrer l'habileté à résoudre des équations comportant des expressions rationnelles (10 03 02).
Appuyé par les objectifs spécifiques 8 et 9.
Objectifs spécifiques Suggestions pédagogiques
C.1
Effectuer la mise en facteurs de la différence de carrés de polynômes spéciaux.
Bien que les élèves aient eu l'occasion d'effectuer la mise en facteurs de la différence de carrés dans les années précédentes, il peut être nécessaire de réviser brièvement la matière.
Cette révision peut porter sur d'autres aspects de la mise en facteurs des binômes et des trinômes, mettant l'accent sur les facteurs communs, le regroupement et le carré des trinômes.
Une fois que la révision initiale est terminée, on peut introduire la mise en facteurs des polynômes spéciaux. Ce type de mise en facteurs exige habituellement une approche en deux étapes et les élèves devraient s'exercer à identifier les étapes nécessaires.
Lorsque les élèves savent reconnaître les étapes requises, on peut alors procéder à la mise en facteurs.
Par exemple, pour la mise en facteurs de x2 + 2xy + y2 - m2, les élèves devraient pouvoir reconnaître qu'il s'agit en fait de l'expression (x2 + 2xy + y2) - m2, pour laquelle x2 + 2xy + y2 doit être mis en facteurs d'abord comme un carré de trinôme afin d'obtenir (x + y)2. On effectue ensuite la mise en facteurs de (x + y)2 - m2 comme différence des carrés.
Exemples/Activités Pistes supplémentaires
Les élèves peuvent faire une série d'exercices semblables aux suivants:
8. Les élèves peuvent s'exercer au calcul mental à l'aide de ce concept.
a) 33 x 27 = b) 62 x 58 = c) 23 x 27 =*
d) 31 x 39 =*
9. Traduire en langage mathématique:
«Choisir un nombre, y ajouter trois, élever le résultat au carré et en soustraire vingt-cinq.»
* Pour mettre au carré un nombre se terminant par le chiffre 5, on multiplie le premier chiffre (n) par le prochain chiffre (n + 1), et on place 25 après ce produit.
Donc, 23 x 27
Les élèves peuvent trouver comment appliquer ce concept dans la vie courante en cherchant des exemples dans divers manuels de ressources à leur disposition. Lorsqu'ils ont trouvé ces exemples, on peut leur demander s'ils reflètent des situations réelles ou sont plutôt imaginés.
L'enseignante peut illustrer ce fait aux élèves à l'aide des tuiles d'algèbre, démontrant que
x2 - y2 est équivalent à (x + y)(x - y).
L'enseignante peut par ailleurs demander aux élèves de multiplier trois nombres consécutifs de leur choix puis d'ajouter le produit au nombre du milieu. Quel est le résultat? Leur demander d'essayer de démontrer que cela est vrai dans tous les cas.
Par exemple, 6 x 7 x 8 = 336. Ajouter 7, qui est le nombre du milieu, pour un total de 343. Remarquer que cela est égal à 73.
Pour le cas général, on peut prouver ce fait en remarquant que (n - 1)(n)(n + 1) est le produit de nombres consécutifs.
Si on les multiplie, on obtient n3 - n. Si on ajoute le nombre du milieu, soit n, on obtient un total de n3.
Les élèves peuvent faire le lien entre cette opération et la méthode de la différence des carrés. (CRC)
Concept C: Polynômes et expressions rationnelles
Objectifs spécifiques Suggestions pédagogiques
C.2
Effectuer la mise en facteurs de la somme et de la différence de cubes.
L'enseignante peut introduire ce concept de plusieurs façons:
•elle peut traiter cette opération comme une formule, résolue par la division normale;
•elle peut utiliser des cubes comme objets de manipulation pour aider les élèves à comprendre concrètement ce qu'on entend par la mise en facteurs d'un cube.
La ou les méthodes choisies dépendront du temps dont l'enseignante dispose et des besoins de ses élèves.
Les élèves doivent éventuellement pouvoir effectuer la mise en facteurs de ces cubes par inspection.
C.3
Effectuer la mise en facteurs de polynômes à l'aide du théorème de factorisation.
Il pourrait être utile de réviser la définition de «facteur» ainsi que l'évaluation par substitution lorsqu'on présente le théorème de factorisation aux élèves.
Théorème de factorisation:
(x - a) est un facteur de f(x) quand et seulement quand f(a) = 0. Il faut souligner la corrélation entre x - a et f(a).
On trouve dans différents manuels des versions légèrement différentes du théorème de factorisation. L'enseignante voudra peut-être utiliser celle qu'elle préfère.
Il faudrait donner aux élèves des problèmes à résoudre visant à déterminer si un binôme est un facteur d'un polynôme donné.
Cela leur permettra de développer des habiletés à trouver un facteur avant de procéder à la prochaine étape qui est de déterminer les autres facteurs du polynôme.
Exemples/Activités Pistes supplémentaires
Les élèves peuvent travailler individuellement, en petits groupes ou en grand groupe, pour effectuer la mise en facteurs de quelques exemples, comme ceux qui suivent:
1. x3 + 27 6. x9y12 - z15 2. x3 - y3 7. 81x3 + 192y6 3. 27x3 + y3 8. (a + b)3 - 216 4. 8x3 - 125y3 9. (x - 2)3 + 27
5. 64x6 + 27y9 10. (2x + 3y)3 + (x - 2y)3
Les élèves peuvent faire des recherches à l'aide de manuels de mathématiques afin de trouver des problèmes énoncés en langage courant qui exigent la mise en facteurs de la somme et de la différence de cubes.
La classe peut ensuite discuter de ces problèmes pour en déterminer les applications possibles, décider qui pourrait avoir à résoudre ce genre de problèmes et si ces problèmes sont réalistes ou s'ils sont plutôt imaginaires. (COM)
Les élèves peuvent effectuer la mise en facteurs de ces problèmes à l'aide de l'ordinateur ou de la calculatrice.
(TEC) Dans les exercices d'introduction, les élèves devront déterminer si
le binôme donné est un facteur du polynôme donné. (Remarquer qu'il n'est pas nécessaire que tous les exemples comportent des facteurs, bien que certains devraient en comporter.)
1. (x - 4) est-il un facteur de 3x2 - 7x - 20?
2. (x + 3) est-il un facteur de 2x3 + 7x2 + x - 6?
3. (x - 3) est-il un facteur de 4x3 - 5x2 + 8x - 15?
4. Quels sont les facteurs possibles de x3 + 3x2 - 10x - 24?
Comment êtes-vous arrivés à cette conclusion? Vérifiez vos réponses. Pouvez-vous énoncer une généralisation basée sur votre réponse? (Ce genre de question peut servir d'introduction à ce concept, en utilisant une approche fondée sur l'enquête.) Dans le deuxième groupe d'exercices, les élèves devraient avoir à déterminer les facteurs du polynôme, si f(a) = 0.
1. Répéter le premier groupe d'exercices et trouver tous les facteurs du polynôme, lorsqu'il a été déterminé que le premier binôme est un facteur du polynôme.
L'enseignante peut également demander aux élèves de déterminer la ou les valeurs ou le ou les coefficients manquants comme dans les exemples suivants:
• Quelle doit être la valeur de c, si (x - 3) est un facteur de 3x2 - cx + 3?
• Quelle est ou quelles sont les valeurs de b, si valeur il y a, si (x - 2) est un facteur de 2x3 + x2 - bx + 6?
L'enseignante peut introduire la division synthétique pour compléter la mise en facteurs d'un polynôme.
L'évaluation par substitution peut être faite à l'aide de la calculatrice ou de l'ordinateur.
Pour explorer davantage ce sujet, l'enseignante peut demander aux élèves de déterminer ce qui se passe lorsqu'on inclut une constante a dans le binôme (ax + b). Discuter comment on peut intégrer cette constante à la méthode générale de la mise en facteurs des polynômes.
Par exemple: (2x - 1) est-il un facteur de 6x3 - 5x2 + 3x - 2?
Par exemple: (3x + 2) est-il un facteur de 12x2 - 7x - 10?
Il est possible d'aller plus loin et
Objectifs spécifiques Suggestions pédagogiques
C.4
Utiliser le théorème du reste pour déterminer le reste lorsqu'un polynôme est divisé par (x - r).
En général, on peut énoncer le théorème du reste comme suit:
lorsque f(x) est divisé par x - r, le reste est f(r).
Par exemple, étant donné
(x + 3) x
2+ 10x - 2
, demander aux élèves de donner l'énoncé de division (x + 3) (x + 7) -23, ou de déterminer le quotient et le reste, par exemple, le quotient est (x + 7), le reste est -23, ou x + 73) + (x
23
-Les élèves devraient s'exercer à déterminer le reste
mentalement, à l'aide de l'évaluation par substitution de f(x) divisé par x - r pour calculer f(r). Les élèves peuvent également effectuer cette évaluation à l'aide de la calculatrice. (TEC)
C.5
Simplifier des expressions rationnelles comportant des opposés.
Ce sujet est l'extension de la simplification effectuée dans le cours «Mathématiques 20». L'objectif est de présenter aux élèves la propriété a/a = -a/a = -1, et de pouvoir intégrer cette propriété au travail avec les expressions rationnelles.
Il peut être nécessaire de revoir comment simplifier les expressions avant d'entamer ce sujet.
L'enseignante voudra peut-être laisser les élèves «découvrir»
cette règle par eux-mêmes en faisant plusieurs exemples puis en généralisant.
Exemples/Activités Pistes supplémentaires
L'enseignante peut proposer un groupe d'activités telles que les suivantes:
1. Pour f(x) = 3x3 - 4x2 + 7x - 4, déterminer la valeur de: f(3), f(-2), f(2), f(4). Dans chaque cas, écrire l'énoncé de division.
Exemple: Puisque f(3) représente le binôme (x - 3), on peut rédiger l'énoncé de division comme suit:
(3x3 - 4x2 + 7x - 4) ÷ (x - 3)
2. Pour f(x) = 3x2 + 5x - 6, rédiger l'énoncé de division de f(-5), f(2), et f(4).
3. Trouver le quotient et le reste dans chaque cas:
a)
(x - 4) 3 x
2- x + 8
b)
(x + 5) 4 x
3- 3 x
2+ 7x - 1
c)
(x - 2) 2 x
4- 3 x
2+ 6
Comme pour le dernier concept, l'enseignante peut approfondir en demandant aux élèves de déterminer la ou les valeurs des coefficients qui manquent.
Exemple:
Déterminer la ou les valeurs de m lorsque le reste de
(2x3 - x2 - mx + 21) ÷ ( x - 2) est 3.
Les élèves peuvent travailler individuellement pour simplifier les expressions suivantes ou peuvent simplifier puis discuter des solutions en petits groupes.
1. Simplifier chacune des expressions suivantes: (Énumérer également toute valeur non permissible de la variable.)
a) 6/-6 d) -5x3/5x3
b) -21/21 e) -(2x + 3)/(2 x+ 3) c) 3x/-3x
2. Utiliser la mise en facteurs pour simplifier chacune des
expressions suivantes en notant toute valeur non permissible de la variable.
a) (4x - 10)/(-2x + 5) c) (3x2 - 10x + 3)/ (1 - 3x) b) (x2 - 4x - 21)/ (7 - x) d) (16 - 9x2)/( x - 4)
L'enseignante peut étendre la connaissance de ce sujet en introduisant des exercices pour lesquels les élèves doivent effectuer la mise en facteurs du numérateur et du dénominateur avant de simplifier.
Par exemple:
Simplifier
(6x2 - x - 12)/(-8x2 + 2x + 15).
Concept C: Polynômes et expressions rationnelles
Objectifs spécifiques Suggestions pédagogiques
C.6
Additionner et soustraire des expressions rationnelles comportant des dénominateurs polynomiaux.
Les élèves ont étudié l'addition et la soustraction des expressions rationnelles dans le cadre du cours «Mathématiques 20», mais seulement avec des dénominateurs monomiaux. Cette section étend le concept aux dénominateurs polynomiaux.
Il peut être nécessaire de revoir brièvement la matière.
Les élèves devraient pouvoir travailler en petits groupes pour simplifier et discuter des exercices présentés dans cette section.
(VAL)
C.7
Multiplier et diviser des expressions rationnelles comportant des opposés.
Il peut être nécessaire de revoir brièvement la technique générale requise pour simplifier ces expressions. Les exemples utilisés dans cette révision peuvent être numériques, algébriques ou une combinaison des deux.
Les élèves devraient pouvoir identifier des valeurs non permissibles lorsqu'elles existent.
Lorsqu'ils travaillent en petits groupes, les élèves peuvent répartir le travail pour que chaque membre du groupe puisse s'exercer à la mise en facteurs des polynômes. Par exemple:
l'élève A pourrait effectuer la mise en facteurs du premier numérateur, l'élève B du premier dénominateur, l'élève C du second numérateur, etc. Ainsi, chacun contribue au travail du groupe et chacun a l'occasion de s'exercer à la mise en facteurs.
Les élèves peuvent vérifier les facteurs trouvés par leurs co-équipiers par la multiplication. (VAL)
Exemples/Activités Pistes supplémentaires
Il faudrait donner aux élèves une série d'exercices qui leur permettent de s'exercer à additionner et à soustraire des expressions rationnelles. Leur demander également de prendre note de toute valeur non permissible des variables.
1. 3/5 + 2/3 2. 4/5 + 1/4 - 5/6 3. 5/3x + 4/2x 4. 2/5x - 3/4y
5. 6/(2x - 3) + 5/(3 - 2x) 6. 4/(x - 2)+ 3/(x + 1)
7. (7x - 1)/(x + 3) - (2x + 1)/(x - 1) 8. 3/(x2 - x - 12) + 2/(x2 - 16)
9. (2x - 5)/(x2 + 3x - 40) - (3x + 2)/(x2 - x - 72)
10. Si le temps est égal à la distance divisée par le taux, rédiger une expression mathématique qui indique le temps total requis par les deux voitures dans l'énoncé suivant:
La voiture A parcourt 120 km à une certaine vitesse, tandis que la voiture B parcourt 150 km à une vitesse de 10 km/heure de plus que la voiture A. Simplifier.
Les élèves peuvent formuler le procédé que l'on pourrait utiliser pour
additionner ou soustraire tous les types d'expressions rationnelles. Les élèves peuvent choisir un algorithme écrit, un exercice algébrique, un paragraphe écrit, une présentation orale (avec illustrations), la
programmation d'une calculatrice ou d'un ordinateur, ou une série
d'exemples résolus, suivant le choix des élèves. (COM)
L'enseignante peut choisir des exemples ou des exercices semblables aux suivants:
Simplifier chacune des expressions suivantes:
1. (6/-5) • (13/10) 2. (7/3x) • (5x2/-56) 3. 2x + 10 • x - 7
14 - 2x x + 5 4. x2 - 5x - 14 • x2 - 5x + 6
4 - x2 3 - x 5. 2x2 - 7x + 3 ÷ 4x2 + 5x - 6
6 - x - x2 15 - 7x - 4x2
L'enseignante peut élargir ce sujet en incluant des exercices qui comportent trois expressions rationnelles ou plus ainsi que des combinaisons de
multiplication ou de division. Elle peut aussi inclure des parenthèses pour créer d'autres possibilités.
Exemple:
25 - 4x2 • 3x2 + 10x - 8 ÷ 6x2 + 7x - 3 1 - 9x2 4x2 - 4x - 15 2x2 + 13x + 20
Concept C: Polynômes et expressions rationnelles
Objectifs spécifiques Suggestions pédagogiques
C.8
Résoudre et vérifier des équations linéaires à une variable
comportant des expressions algébriques rationnelles (y compris des dénominateurs polynomiaux).
L'enseignante peut donner aux élèves une variété d'équations linéaires simples du genre qu'ils ont résolu les années
précédentes. Leur demander de décrire les procédés
fondamentaux de la résolution d'équations, c'est-à-dire simplifier les deux côtés, isoler la variable, résoudre la variable et vérifier la solution.
Lorsqu'ils ont revu les stratégies nécessaires, les élèves peuvent s'exercer en résolvant les équations présentées dans la révision, individuellement, en groupes de deux, en petits groupes ou en grand groupe.
Une fois la révision terminée, l'enseignante peut leur présenter les équations comportant des expressions algébriques
rationnelles.
Leur demander si les procédés fondamentaux demeurent les mêmes, ou s'il y a des étapes supplémentaires. Le cas échéant, quelles sont ces étapes?
Les élèves peuvent travailler en groupes de deux ou en petits groupes pour résoudre plusieurs de ces équations.
Exemples/Activités Pistes supplémentaires
Les équations proposées par les élèves peuvent inclure des équations semblables à celles-ci:
1. 4 + 2 = 13 3x 5x
2. 3 = 2 + 1 x - 1 x
3. 4 - 1 = 5 x + 2 x - 2 x + 2
4. Traduire les énoncés suivants en équations mathématiques, puis résoudre.
a) Pour parcourir 150 km à une certaine vitesse, il faut exactement le même temps que pour parcourir 120 km à une certaine vitesse moins 15 km/heure.
b) La longueur de deux rectangles différents est la même. Le premier rectangle a une aire de 2 400 cm2, et l'aire du second est égale à deux-tiers de cette aire. La largeur du premier rectangle est de 20 cm supérieure à la largeur du second.
Les élèves peuvent trouver des exemples d'utilisation de ce type d'équations dans la vie courante. Si les élèves trouvent des exemples, ils peuvent en faire part à la classe. Si les élèves ne réussissent pas à en trouver, l'enseignante pourra leur donner deux ou trois exemples.
L'enseignante peut ensuite demander aux élèves d'essayer de résoudre les équations produites par ces exemples tirés de la vie courante.
Ou bien, l'enseignante peut
commencer par demander aux élèves de résoudre quelques-uns des
problèmes qu'ils ont énoncés eux-mêmes, puis de formaliser le procédé à l'aide des résultats et des solutions obtenus. (CRC)
Concept C: Polynômes et expressions rationnelles
Objectifs spécifiques Suggestions pédagogiques
C.9
Résoudre et vérifier la solution d'équations du second degré comportant des expressions algébriques rationnelles.
Les élèves devraient revoir brièvement les techniques permettant de résoudre les équations du second degré et résoudre quelques équations. (À ce stade-ci, ils ont résolu les équations du second degré uniquement par la mise en facteurs et en extrayant la racine carrée des deux côtés de l'équation.)
Lorsque la revue est terminée, demander aux élèves de résoudre quelques équations comportant des expressions algébriques. Ils peuvent travailler en grand groupe, individuellement, en groupes de deux ou en petits groupes. Il convient de souligner encore une fois l'importance de vérifier les solutions.
Exemples/Activités Pistes supplémentaires
Demander aux élèves de résoudre des équations semblables aux suivantes:
1. 5 = 1 + 30 x - 3 x2 - 9 2. 2 + 6 = 12
x - 1 x2 - 1 3. 1 - 5x = 3x + 1 + x + 3
x + 3 x2 - 9 3 - x
En petits groupes, les élèves peuvent résoudre des problèmes énoncés en langage courant semblables aux suivants:
Traduire les énoncés suivants en une équation mathématique comportant des expressions algébriques rationnelles. Puis résoudre et vérifier la solution.
Joan parcourt 200 km à x km/heure. Franco prend sa place et parcourt 200 km à (x - 10) km/heure. Les deux conducteurs ont mis 9 heures pour faire le trajet. À quelle vitesse chacun conduisait-il?
Demander aux élèves de chercher dans des livres de référence des exemples illustrant comment on utilise ce type d'équations dans des situations de la vie courante. Ils peuvent consulter des livres de référence dans d'autres domaines tels que le commerce, l'administration, le génie, la médecine, etc. en plus de divers manuels de mathématiques.
Les élèves peuvent faire part à toute la classe des exemples qu'ils trouvent et tenter de trouver la solution.
Les problèmes énoncés en langage courant comportant ce genre
d'équations devraient également être présentés à la classe.