Evaluation de la force des ID

A avaliação do erro numérico é a principal indagação diante dos resultados de uma simu- lação numérica, pois, soluções numéricas de escoamentos de fluidos e processos correlaciona- dos sempre serão soluções aproximadas de um dado problema, diante disso as mesmas estão sujeitas a presença de erros numéricos. Ferziger e Peric (2002) afirmam que os erros de mode- lagem, discretização e convergência sempre estão presentes em soluções numéricas. Os erros de modelagem são entendidos como a diferença entre o escoamento real e a solução exata do modelo matemático, os erros de discretização são tidos como a diferença entre as soluções das equações exatas e do sistema algébrico de equações discretizadas, já os erros de convergência ou iterativos são compreendidos como a diferença entre a solução iterativa e a solução exata do sistema algébrico de equações.

Reconhecendo que o erro numérico nunca será totalmente eliminado, ele deve ser redu- zido o máximo possível. Entre todas as possíveis fontes de erro numérico, o erro de discretização é geralmente o mais significativo em problemas de CFD. Os erros de convergência são facil- mente contornados com a utilização de métodos de solução iterativos, já os erros de modelagem são minimizados através da utilização de abordagens e modelos numéricos bem difundidos na literatura. Neste caso, quando o erro predominante da solução numérica for o erro de discre- tização, ele pode ser classificado como difusivo ou dispersivo, como ilustrado na figura 3.11. Segundo Figueiredo (1988) Os erros dispersivos tendem a ser associados a instabilidade numé- rica, enquanto os erros difusivos tendem a ser associados a estabilidade numérica.

Figura 3.11: Forma do erro discretizante em CFD.

Dessa forma, a difusão numérica é uma das formas de erro discretizante presentes em códigos de CFD que são amplamente utilizados na indústria para as mais diversas aplicações. A difusão numérica dificulta a modelagem de problemas práticos da engenharia ao mascarar a

física do problema, a principal fonte de difusão numérica surge da discretização dos termos de advecção nas equações de transporte.

Basicamente a avaliação do erro discretizante é embasado na análise em série de Taylor, entretanto, deve ser reportado que esta análise é criticada com frequência na literatura de análise numérica de CFD, pois, segundo Figueiredo (1988) em alguns casos é reconhecido que o termo de ordem inferior do erro não é necessariamente o termo dominante.

Segundo Wong e Raithby (1979) uma análise em série de Taylor que produz um erro de truncagem pode ser enganosa para altos números de Reynolds, pois o termo básico do erro de trucagem pode não representar adequadamente o erro total. Esta afirmação não é totalmente verdadeira, pois, se baseia num ponto de vista estático no que se refere à ordem de acuidade. Segundo Figueiredo (1988) o enorme potencial da análise em série de Taylor só pode ser com- preendido na perspectiva dinâmica do processo de refinamento da malha, onde o termo de menor ordem do erro pode não ser dominante para um dado refinamento da malha, mas será necessa- riamente o erro dominante se a malha for devidamente refinada até que a convergência para um padrão definido possa ser observada.

Alguns textos em numérica mencionam a alternativa de estimar o erro de consistência por análise formal, e introduzir uma compensação por tal erro como termo fonte no próprio pro- grama. Este procedimento é complexo e praticamente equivale à construção de outro esquema, de ordem superior.

A metodologia mais conhecida e simples, que não envolve nova programação, consiste na análise da evolução dos erros numéricos com o refinamento da malha, entretanto, o erro numérico só pode ser avaliado quando é conhecida a solução exata. Em problemas práticos de escoamento de fluidos e processos correlacionados a solução exata é desconhecida, consequen- temente sendo necessária a utilização de alguma técnica computacional na aferição do valor da solução exata.

Segundo Celik (1993) centenas de trabalhos são publicados utilizando as mais diversas técnicas em CFD, mas pouquíssimos fornecem dados sobre a incerteza numérica dos resultados obtidos, onde os resultados são tratados como se fossem isento de fonte de erros.

Uma maneira de estimar a solução exata é por meio da utilização da técnica conhecida como Extrapolação de Richardson, que avalia a tendência da solução quando o espaçamento tende a zero e permite estimar a solução analítica do problema. A estimativa do erro da solução numérica de uma dada variável de interesse é avaliada pela diferença entre a sua solução exata estimada e a solução numérica do problema em questão.

É conhecido que esquemas de discretização introduzem erros de acordo com o refina- mento da malha e da ordem dos mesmos, essa ordem dos esquemas é uma forma de indicar a acurácia das aproximações obtidas. A acurácia de um esquema discretizante está conectada ao erro de trucagem, se o erro de trucagem é proporcional a ∆𝑥 o esquema é dito de primeira ordem, caso o erro de trucagem seja proporcional a ∆𝑥2 o esquema é dito acurado de segunda ordem. Cabe destacar que numa dada malha métodos de mesma ordem podem apresentar er- ros quantitativamente muito distantes entre si, isso ocorre porque a ordem do esquema informa apenas a taxa de redução com o qual o erro cai conforme a malha é refinada.

Existem muitos esquemas discretizantes disponíveis na literatura e os usuários ou desen- volvedores em CFD podem ter dificuldade na escolha de qual esquema adotar. Dessa forma, a análise da evolução do erro dos esquemas apresenta-se como um subsídio relevante para a escolha de qual esquema utilizar.

3.7.1 Extrapolação de Richardson

A extrapolação de Richardson é uma ferramenta comumente utilizada para quantificar os erros de discretização nas mais diversas aplicações de CFD desde escoamento de fluidos até em problemas de transferência de calor. A extrapolação, proposta por Richardson (1910), teve sua primeira utilização efetiva no trabalho de Richardson e Gaunt (1927), desde então a mesma vem sendo utilizada para reduzir o erro de discretização e aumentar a ordem de precisão da solução numérica de algum problema.

O desempenho da extrapolação de Richardson depende essencialmente das características dos dados em que se baseia, na convergência do algoritmo, em cada nível de refinamento para a solução verdadeira das respectivas equações discretizadas. Os efeitos dos processos iterati- vos incompletos, erros de precisão da máquina, fatores de relaxação, dentre outros, devem ser desprezíveis.

Apesar de ser uma ferramenta muito útil para quantificar erros de discretização em CFD, ainda existem problemas importantes que precisam ser resolvidos para avançar o nível de con- fiança que poderia ser colocado nesta técnica. Primeiro porque não há forma padronizada de emprego da extrapolação de Richardson, segundo porque a extrapolação é baseada na supo- sição de que o primeiro termo da expansão de Taylor do erro de discretização é dominante,

terceiro porque o caminho de convergência deve ser monotônico em qualquer nível de refina- mento adotado.

A condição de emprego da série de Taylor para estimação do resultado assintótico é que a malha seja suficientemente refinada para que os erros de menores ordens sejam efetivamente dominantes. Tal condição dificilmente será satisfeita por esquemas de primeira ordem, como o FOU, ou pelo esquema exponencial simples, cujo comportamento se aproxima o do esquema FOU em altos números de Reynolds, ou por esquemas de convergência não monotônica, como os esquemas híbrido e QUICK. Segundo Figueiredo e Oliveira (2009a) experiências com es- quemas deste tipo que deu origem, certamente, a boa parte do ceticismo da literatura para com a extrapolação.

Assumindo que as soluções numéricas estejam na faixa assintótica de convergência, ou seja, aquela em que o erro do esquema passa a ser dominado pelo termo de ordem mais baixa da análise da série de Taylor do esquema pode-se equacionar a extrapolação da seguinte maneira:

𝜑ℎ− 𝜑ℎ→0 = 𝑎ℎ𝑝 (3.67)

Onde 𝑝 é a ordem aparente do esquema numérico, 𝜑ℎ→0 é a solução extrapolada, 𝜑ℎ é a

solução numérica com o nível de refinamento de malha ℎ, 𝑎 é um coeficiente independente de ℎ, mas pode variar no espaço ou no tempo.

Considerando que a ordem assintótica (𝑝) é conhecida a estimativa de 𝜑ℎ→0pode ser feita

através dos resultados numéricos obtidos em dois níveis de refinamento distintos. Dessa forma, considerando dois níveis de refinamento diferentes ℎ1 e ℎ2, onde ℎ2 é mais refinado que ℎ1, e

as respectivas soluções 𝜑ℎ1 e 𝜑ℎ2 nesses níveis obtém-se o sistema de equações:

𝜑ℎ1 − 𝜑ℎ→0 = 𝑎ℎ1

𝑝

𝜑ℎ2 − 𝜑ℎ→0 = 𝑎ℎ2

𝑝 (3.68)

Resolvendo o sistema de equações 3.68 para 𝜑ℎ→0 obtém-se a expressão da extrapolação

de Richardson valida para quando a ordem do esquema for conhecida, dada por:

𝜑ℎ→0 = 𝜑ℎ2 +

𝜑ℎ2− 𝜑ℎ1

𝑟𝑝_{− 1} (3.69)

Onde 𝑟 é a razão de refino definida por 𝑟 = ℎ1

Cabe destacar que a razão de refino da malha 𝑟 e a ordem assintótica sempre serão maiores que a unidade, fazendo com que o denominador da equação 3.69 seja sempre positivo.

Como observado anteriormente, os parâmetros fornecidos para a extrapolação podem não estar na faixa assintótica de convergência, quando o nível do refinamento não for o suficiente para atingir a taxa assintótica. Além disso, o expoente 𝑝 pode não corresponder à ordem formal do erro devido à descontinuidades nas condições de contorno ou discretizações com diferentes ordens de precisão nas fronteiras, as quais podem deteriorar a convergência global como ob- servado por Sousa (2007). Nestes casos, é recomendado não assumir nenhuma ordem de erro inicialmente e utilizar três níveis de refinamento de malha para a determinação das incógnitas 𝑝, 𝑎 e 𝜑 da equação (3.67), o que pode gerar valores não inteiros de 𝑝, gerando equações não line- ares o que dificultaria o processo de extrapolação. Outra alternativa para esses casos é empregar não somente um, mas os dois termos de ordem mais baixa do erro, assim também exigindo três níveis de refinamento de malha para a obtenção do resultado extrapolado 𝜑ℎ→0.

Roache (1997) investigou sistematicamente a validação e verificação da acuidade de mé- todos numéricos e de modelos físicos, baseando-se na extrapolação de Richardson. Apoiado pelos seus resultados o autor sentiu necessidade de acrescentar um fator de correção empírico na extrapolação para a estimação da incerteza.

Shyy et al. (2002) concluíram que, para um campo de escoamento suave, esse procedi- mento pode melhorar a acurácia dos resultados moderadamente, mas em soluções com mudan- ças abruptas a extrapolação pode prejudicar os resultados.

Segundo Sidi (2003) a extrapolação de Richardson pode ser mais efetiva se for aplicada de forma recursiva, também conhecida como Extrapolação de Richardson Repetida, de modo que cada aplicação represente outro nível de extrapolação.

Segundo Salas (2006) o uso da extrapolação pode ser simplificado se a malha é refinada proporcionalmente em todas as direções, de modo que a relação de aspecto da malha seja man- tida constate com o refinamento.

Em resumo a extrapolação de Richardson usa cálculos em múltiplos conjuntos de malhas para estimar a solução no tamanho de malha zero. Quanto ao seu cálculo, duas possibilidades se fazem presentes, a primeira consiste em utilizar a ordem teórica do esquema e dois níveis de malha, e a segunda consiste em também utilizar a teórica do esquema com pelo menos três níveis de malhas significativamente distante entre si.

4

DESENVOLVIMENTO NUMÉRICO

Este capítulo tem a finalidade de apresentar a modelagem utilizada no desenvolvimento do algoritmo de solução das equações de Navier-Stokes. Na seção 4.1, apresentam-se as equa- ções diferenciais parciais que modelam o movimento dos fluidos, assim como as respectivas adimensionalizações adotadas. Na seção 4.1.1, apresenta-se o método de acoplamento da pres- são com a velocidade por meio da obtenção da equação de Poisson. Na seção 4.1.2 apresenta-se o procedimento de discretização das equações do modelo, utilizando a formulação de variáveis primitivas e a estrutura de malha semi-deslocada. Por fim, na seção 4.2 apresentam-se os méto- dos numéricos adotados na solução numérica do sistema de equações gerado pela discretização da equação de transporte advectiva-difusiva.