Composition des NPs

A abordagem utilizada na avaliação do erro nos campos de velocidade e pressão do pre- sente problema é um pouco mais complexa de ser realizada, entretanto, é extremamente eficaz na determinação do erro numérico, visto que vários parâmetros do campo de informações são considerados agora, diferentemente da abordagem anterior que considerava apenas o compri- mento de recirculação como objeto de análise.

Considerando os níveis de refinamento exibidos na tabela 6.7, observa-se que a quantidade de pontos nodais na direção horizontal é múltipla de 50 e a quantidade de pontos na direção vertical é múltipla de 30. Dessa forma, as posições dos pontos nodais da malha A irão se repetir nos demais níveis de refinamento da tabela 6.7, o que permite realizar a extrapolação e a análise do erro numérico desses pontos em comum. A figura 6.19 ilustra essa situação onde os pontos de uma malha grosseira se repetem numa malha que foi refinada de maneira proporcional a malha grosseira.

Pontos comuns Malha refinada Malha grosseira

Esta segunda forma de análise consiste na seleção desses pontos em comum de todos os níveis de refinamento exibidos na tabela 6.7, criando novos campos com o mesmo números de elementos que a malha menos refinada. A partir desses novos campos é possível realizar a extrapolação de Richardson de cada elemento do campo, de forma que se obtenha um campo de informações extrapolado.

O campo de informações extrapolado será considerado como "exato", possibilitando as- sim realizar a avaliação do erro numérico pela técnica RMS, de maneira similar ao capítulo 5. Novamente adotaram-se as extrapolações do UNIFAES como referência, mas cabe registrar que nessa abordagem, a mudança de referencial praticamente não alterou os resultados dada a quantidade de elementos que estava sendo considerada na avaliação do erro, o que por sua vez compensava as discrepâncias entre as extrapolações dos esquemas.

A figura 6.20 apresenta a evolução do erro RMS do campo de velocidades 𝑢 pelos res- pectivos níveis de refinamento utilizados, considerando o campo extrapolado do esquema UNI- FAES entre as malhas G e H como a referência no procedimento de avaliação do erro.

101 _{2 × 10}1 _{3 × 10}1 _{4 × 10}1 x 103 102 101 Erro RMS (%) CDS Exponencial FOU SOU QUICK UNIFAES (a) Re = 100 101 2 × 101 _{3 × 10}1 _{4 × 10}1 x 103 102 101 Erro RMS (%) (b) Re = 200 101 2 × 101 x 103 102 101 Erro RMS (%) (c) Re = 400 101 2 × 101 x 103 102 101 Erro RMS (%) (d) Re = 800 Figura 6.20: Evolução do erro RMS para o campo de velocidades 𝑢.

Em 𝑅𝑒 = 100, figura 6.20(a), todos os esquemas mostram uma redução efetiva dos erros com o refinamento da malha, novamente observa-se que o CDS e o QUICK são mais acurados para Reynolds 100, seguido pelo UNIFAES, SOU, exponencial simples e FOU. Em 𝑅𝑒 = 200, o mesmo comportamento de 𝑅𝑒 = 100 pode ser observado com exceção do QUICK e CDS que começam a falhar para malhas intermediárias. Em 𝑅𝑒 = 400, novamente o exponencial simples começa a se comportar como o FOU, o UNIFAES se distância dos demais esquemas exibindo os menores erros. Em resumo a figura 6.20 apresenta uma análise muito similar a discutida na figura 6.18, com exceção do SOU que aqui tem a taxa de redução quadrática muito mais definida do que na abordagem anterior.

A figura 6.21 apresenta a evolução do erro RMS do campo de velocidades 𝑣 pelos respecti- vos níveis de refinamento utilizados, considerando o campo extrapolado do esquema UNIFAES como referência no procedimento de avaliação do erro. A evolução do erro RMS para o campo de velocidades 𝑣 é similar ao campo de velocidade 𝑢, onde todos os esquemas apresentam o mesmo desempenho exibido no caso anterior.

101 _{2 × 10}1 _{3 × 10}1 _{4 × 10}1 x 104 103 102 101 Erro RMS (%) CDS Exponencial FOU SOU QUICK UNIFAES (a) Re = 100 101 2 × 101 _{3 × 10}1 _{4 × 10}1 x 104 103 102 101 Erro RMS (%) (b) Re = 200 101 2 × 101 _{3 × 10}1 _{4 × 10}1 x 104 103 102 101 Erro RMS (%) (c) Re = 400 101 2 × 101 x 104 103 102 101 Erro RMS (%) (d) Re = 800 Figura 6.21: Evolução do erro RMS para o campo de velocidades 𝑣.

A figura 6.22 apresenta a evolução do erro RMS do campo de pressões 𝑝 pelos respectivos níveis de refinamento utilizados, considerando o campo extrapolado do esquema UNIFAES como referência no procedimento de avaliação do erro. Os campos de pressão utilizados, foram os campos suaves descritos na seção 6.3.

101 2 × 101 _{3 × 10}1 _{4 × 10}1 x 101 100 101 102 Erro RMS (%) CDSExponencial FOU SOU QUICK UNIFAES (a) Re = 100 101 2 × 101 x 101 100 101 102 Erro RMS (%) (b) Re = 200 101 _{2 × 10}1 x 101 100 101 102 Erro RMS (%) (c) Re = 400 101 _{2 × 10}1 x 101 100 101 102 Erro RMS (%) (d) Re = 800 Figura 6.22: Evolução do erro RMS para o campo de pressões 𝑝.

A evolução dos erros dos campos de pressões também tendem a acompanhar o desempe- nho dos erros dos campos de velocidade, com exceção do SOU que em 𝑅𝑒 = 200 e 𝑅𝑒 = 400 apresenta desempenho similar ao FOU, exibindo os erros mais elevados. Em 𝑅𝑒 = 100 e 𝑅𝑒 = 800 é observado o mesmo comportamento para o caso dos campos de velocidades.

6.5 Conclusões do Capítulo

Para baixos números de Reynolds todos os esquemas de discretização aplicados em ma- lhas médias ou refinadas produzem resultados muito semelhantes entre-si. No caso de esco- amentos com altos números de Reynolds, o esquema exponencial simples e FOU falham em fornecer resultados fisicamente realistas. O esquema CDS converge apenas para malhas refi- nadas até 𝑅𝑒 = 600, após isso o esquema não converge para mais nenhum caso. O QUICK também falha em quase todas as malhas intermediárias, obtendo resultados apenas na malha mais refinada até 𝑅𝑒 = 1000.

O desempenho dos esquemas SOU e UNIFAES é muito parecido, estes dois convergem para qualquer número de Reynolds e apresentam resultados melhores do que os demais esque- mas. Os resultados mais próximos dos dados experimentais foram obtidos em malhas inter- mediárias e não em malhas refinadas, justificando o ótimo desempenho do SOU em prever os comprimentos de recirculação devido a sua taxa de convergência mais lenta.

A dominância diagonal do sistema de equações é prejudicada devido ao comprimento de entrada da geometria do canal, o que é uma possível causa para instabilidade apresentada pelos esquemas FOU, CDS e QUICK. A acurácia alcançada pelos esquemas CDS, QUICK, SOU e UNIFAES quando convergentes é praticamente idêntica entre si em termos de magnitude para baixos números de Reynolds, entretanto, conforme o número de Reynolds aumenta os erros dos esquemas aumentam. Na maioria dos casos o UNIFAES apresenta os menores erros, seguido pelo SOU.

A técnica de pós-processamento utilizada no problema do degrau a montante obteve exito em corrigir os campos de pressões oscilatórios obtidos pela malha semi-deslocada. A principal diferença do desempenho dos esquemas nesse problema está na estabilidade apresentada pelos mesmos.

7

CONCLUSÕES DA DISSERTAÇÃO

Através das investigações realizadas nos dois problemas apresentados no presente tra- balho foi possível avaliar os vários aspectos do desempenho dos esquemas discretizantes em diversas condições, possibilitando uma vasta análise do desempenho dos mesmos. No primeiro problema concluiu-se que os esquemas LOADS, QUICK e UNIFAES apresentaram os resulta- dos mais acurados em relação à solução exata. Entretanto, o QUICK apresentou convergência não monotônica em alguns casos. O SOU apresentou desempenho intermediário na maioria dos casos a qual foi submetido, exibindo a taxa de convergência mais lenta dentre os esquemas de segunda ordem. O CDS apresentou boas aproximações quando estável e convergente e o FOU apresentou resultados extremamente difusivos e erros dominantes de primeira ordem.

No segundo problema teste os esquemas UNIFAES e SOU apresentaram as melhores aproximações, mantendo-se estáveis em toda a faixa de Reynolds investigada no presente tra- balho. Os esquemas CDS e QUICK foram muito instáveis nesse problema, convergindo apenas para as malhas mais refinadas. O exponencial simples e o FOU apresentaram resultados não acurados e semelhantes entre si. Os resultados mais próximos dos dados experimentais foram obtidos em malhas intermediárias, justificando a habilidade do SOU em prever os comprimen- tos de recirculação mais próximos do experimental devido a sua taxa de convergência mais lenta. O LOADS falhou em convergir em qualquer caso deste segundo problema teste.

Através do desempenho apresentado pelos esquemas nos dois problemas teste, conclui-se que o UNIFAES apresentou desempenho satisfatório em todos os problemas a qual foi sub- metido, sempre estando entre os melhores esquemas isso quando não foi o melhor. O SOU apresentou resultados satisfatórios no segundo problema teste, mas não foi nenhum destaque no primeiro. O oposto ocorreu com o QUICK, que obteve bom desempenho no primeiro problema, enquanto no segundo falhou para a maioria dos casos. Admitindo a métrica que o melhor es- quema é aquele que é bom em todos os casos, o único que apresenta essa característica foi o UNIFAES. Dessa forma, recomenda-se a utilização do esquema UNIFAES para futuras aplica- ções em problemas onde é necessário aproximar os termos advectivos e difusivos da equação de transporte.

7.1 Sugestões para Trabalhos Futuros

As sugestões para trabalhos futuros são:

∘ Investigar a influência do tratamento das fronteiras nos esquemas de alta ordem, ao invés de utilizar a formulação do esquema central nas fronteiras, propõe-se utilizar outras téc- nicas como repetição do valor na fronteira para o ponto fora do domínio ou a utilização do esquema de discretização a montante na fronteira.

∘ Investigar a acurácia e estabilidade dos esquemas no segundo problema teste utilizando outra estrutura de malha.

∘ Investigar o desempenho dos esquemas no problema do degrau a montante tridimensional. ∘ Investigar a influência na acurácia e estabilidade de novas abordagens de aproximação

dos termos difusivos em esquemas clássicos que aproximam apenas o termo advectivo. ∘ Investigar a influência do canal de entrada na estabilidade dos esquemas no problema do

degrau a montante.

∘ Uma última sugestão seria submeter os mesmos esquemas ao problema da cavidade hi- drodinâmica e constatar se eles apresentam o mesmo desempenho que no problema do degrau a montante.

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