Assemblage de NPs sur des SAMs par interaction entre le ligand des NPs et le

Armaly et al. (1983) também realizaram um estudo numérico, utilizando diferenças finitas e o esquema FOU, e não obtiveram boa concordância com os dados experimentais para altos números de Reynolds. Os autores deixam bem claro em suas observações que o escoamento só pode ser considerado totalmente bidimensional somente para números de Reynolds até 400,

acima disso o escoamento apresentou efeitos tridimensionais, o que muitos autores avaliam ser o causador das diferenças entre os dados experimentais e numéricos para altos números de Reynolds. No entanto, Armaly et al. (1983) atribuiu essa discrepância entre os dados a formação das zonas de recirculação adicionais nas paredes superior e inferior.

O trabalho de Kim e Moin (1984) foi um dos primeiros a investigar o escoamento so- bre um degrau utilizando um método de segunda ordem no espaço e no tempo. Os Autores observaram uma dependência do comprimento de recirculação com número de Reynolds, seus resultados apresentaram boa concordância com os dados experimentais de Armaly et al. (1983) até cerca de Re = 500. Em Re = 600 os resultados computados de Kim e Moin começaram a diferir dos valores experimentais, essa diferença foi atribuída à tridimensionalidade do escoa- mento experimental em torno de um número de Reynolds por volta de 600.

Ghia et al. (1989) calcularam as soluções bidimensionais do escoamento sobre o degrau ao longo do regime laminar e encontraram boa concordância com os escoamentos bidimensio- nais observados por Armaly et al. (1983) para números de Reynolds menores que 565. Segundo os autores a instabilidade do escoamento bidimensional pode ser consequência da instabilidade resultante da formação da região de recirculação secundária na parede superior.

Kaiktsis et al. (1991) investigaram o início dos efeitos de tridimensionalidade, em geome- trias bidimensionais, no escoamento sobre o degrau usando simulações numéricas diretas (DNS, do inglês direct numerical simulations). Regiões altamente tridimensionais foram identificadas através de coeficientes de correlação e índices de tridimensionalidade, apresentados pelos au- tores. Os resultados obtidos indicaram que o início da tridimensionalidade ocorre nos limites entre as zonas de recirculação primária e secundária com o escoamento do canal principal, onde a principal fonte de instabilidade nas camadas de cisalhamento foi observada como proveniente da região onde a expansão abrupta ocorre. Os autores constataram que a tridimensionalidade explica parcialmente a discrepância entre predições numéricas e resultados experimentais da região de recirculação primária, mas o principal motivo de discrepância entre os dados foram atribuídas as condições de entrada do escoamento, sendo esta o principal motivo da transição precoce encontrada em experimentos de laboratório.

Williams e Baker (1997) realizaram simulações tridimensionais na mesma configuração geométrica de Armaly et al. (1983), reproduzindo o escoamento tridimensional laminar obser- vado experimentalmente, para a faixa de número de Reynolds compreendida entre 100 e 800. Desvios da bidimensionalidade foram encontrados próximos às paredes laterais nos números de Reynolds, entre 300 e 400, onde Armaly et al. (1983) relatam fluxos bidimensionais. Os au-

tores observaram que a transição do escoamento bidimensional para tridimensional não é uma mudança abrupta, mas sim um efeito ameno e gradativo dos efeitos tridimensionais da parede lateral ao plano de simetria central conforme a natureza do escoamento muda. Por fim, é rela- tado que a tridimensionalidade observada nos experimentos é resultado de um efeito induzido pelas condições de contorno impostas pelas paredes laterais, dependentes da razão de aspecto da geometria, e não por uma instabilidade hidrodinâmica inerente ao escoamento de base bidi- mensional.

Cruchaga (1998) Resolveu o problema do degrau a montante utilizando o MEF com e sem o canal de entrada, onde observou que os comprimentos de recirculação, das duas regiões, são maiores para a geometria sem o canal de entrada.

Chiang e Sheu (1999b) investigaram a tridimensionalidade para diferentes valores de lar- gura do canal, fornecendo informações para uma ampla faixa de larguras do canal e para Rey- nolds compreendidos entre 100 e 1000. Os autores mostraram que a influência das paredes laterais no escoamento no centro do canal aumenta com o aumento do número de Reynolds e a medida que a largura do canal aumenta, essa influência diminui. Os autores concluem que a lar- gura precisa ser estendida para 100 vezes o tamanho do degrau, de modo a evitar perturbações da bidimensionalidade do escoamento no plano de simetria do canal.

Barkley et al. (2002) realizaram uma análise numérica de estabilidade tridimensional do escoamento sobre o degrau com uma taxa de expansão de 1:2 numa faixa de números Reynolds entre 450 a 1050 utilizando o método DNS de solução das equações de Navier Stokes. Os autores observaram que o escoamento pode ser desestabilizado antes de se atingir o número de Reynolds crítico, de transição do escoamento, devido a efeitos das paredes laterais.

Tylli et al. (2002) investigaram os efeitos tridimensionais induzidos pela presença de pa- redes laterais utilizando medidas de velocímetro de imagem de partículas, obtidas através de simulações numéricas tridimensionais, para uma taxa de expansão de 1:2 e uma razão de as- pecto de 20. Os autores observaram que para números de Reynolds menores que 400 os efeitos da parede lateral não afetam a estrutura do fluxo bidimensional do canal. Entretanto, o fenômeno observado como responsável por causar a tridimensionalidade do escoamento foi a existência de um jato oriundo da parede movendo-se em direção ao plano intermediário do canal, a inten- sidade desse jato da parede aumenta de acordo com o número de Reynolds. Por fim, os autores observaram que as paredes laterais são sim as responsáveis pela discrepância entre os resultados experimentais e as simulações numéricas bidimensionais.

Kaiktsis e Monkewitz (2003) investigaram a desestabilização do escoamento sobre o de- grau através de simulações numéricas utilizando o método do elemento espectral. Os resultados obtidos mostraram que em geometrias 2D, o fluxo pode ser globalmente estável até um valor crítico do número de Reynolds igual a 1000.

Biswas et al. (2004) investigaram o escoamento laminar do degrau a montante para uma ampla gama de números de Reynolds e razões de expansão em simulações bidimensionais e tri- dimensionais. A conclusão obtida pelos autores foi que a zona de recirculação primária aumenta de maneira não linear com o aumento da taxa de expansão.

Erturk (2008) investigou os efeitos que as condições de entrada e saída do canal no pro- blema do degrau a montante tem na solução numérica, seus resultados indicaram que uma maior acurácia é atingida quando o canal de entrada tiver no mínimo cinco vezes o tamanho do de- grau. Além disso, o autor também registrou que a condição adotada na saída do canal influência diretamente a acurácia dos resultados obtidos principalmente em altos números de Reynolds.

Schãfer et al. (2009) investigaram a transição do escoamento laminar para o turbulento utilizando o DNS como abordagem de solução das equações em questão. Os resultados obtidos pelos autores indicaram que a discrepância entre os dados experimentais e numéricos das re- giões de recirculação é causado por uma rede de vórtices presente entre o escoamento principal e as regiões de recirculação.

Santos et al. (2010) investigaram a influência do canal de entrada no problema do de- grau a montante utilizando a metodologia desenvolvida por Harlow e Welch (1965) estendida para a estrutura de malha semi-deslocada no MVF. Os resultados obtidos evidenciaram que a utilização do canal de entrada no domínio computacional influencia os comprimentos de des- colamento e reatamento das regiões de recirculação. Por fim, os autores concluem que o com- primento do canal de entrada deve ser escolhido de forma que não afete o comprimento das regiões de recirculação. Foi demonstrado numericamente que um comprimento de entrada de aproximadamente duas vezes a altura do degrau é suficiente para não influenciar a região de recirculação primária.

Chen et al. (2018) realizaram um trabalho notável na síntese dos principais trabalhos experimentais e numéricos realizados no estudo do escoamento sobre o degrau a montante, os trabalhos foram classificados por razão de expansão, faixa de número de Reynolds, método numérico utilizado e ano de publicação.

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ESQUEMAS DE DISCRETIZAÇÃO EM VOLUMES FINITOS

O seguinte capítulo tem a finalidade de apresentar alguns dos principais esquemas discre- tizantes utilizados na solução numérica da equação de transporte advectiva-difusiva utilizando a abordagem de volumes finitos. Na seção 3.1, apresenta-se a discretização da equação de trans- porte advectiva-difusiva sobre uma malha cartesiana. Na seção 3.2, apresentam-se os esquemas discretizantes clássicos baseados em interpolações pela montante e centradas. Na seção 3.3, apresenta-se a família de esquemas do tipo exponencial. Na seção 3.4, observa-se o tratamento numérico adotado nas fronteiras para os esquemas de segunda ordem. Na seção 3.5 expõe-se a justificativa da escolha dos sete esquemas discretizantes utilizados na presente dissertação. Na seção 3.6 apresentam-se alguns comentários relativos a implementação e paralelização dos esquemas utilizados. Por fim, na seção 3.7 apresenta-se a forma de análise do erro adotada para os esquemas discretizantes utilizados.

3.1 Discretização da Equação de Transporte Advectiva-Difusiva

Com métodos analíticos, as soluções de uma equação diferencial são válidas para todo o domínio de interesse, já com os métodos numéricos, as soluções são encontradas apenas para um conjunto de pontos discretos dentro do espaço do domínio de interesse. Para o MDF, o domínio tem um número fixo de pontos e as equações são resolvidas respectivamente em cada ponto. Em contraste, para o MVF, o domínio é dividido em vários volumes de controle, onde a informação do volume de controle é avaliada a partir dos pontos discretos vizinhos.

Ao integrar a equação de transporte advectiva-difusiva ao volume de controle, a equação é convertida em uma forma que garante a conservação numérica. As derivadas nas faces do volume são aproximadas por equações de diferenças finitas e um sistema de equações lineares esparsas é gerado e pode ser resolvido através dos mais diversos métodos. A equação de trans- porte transiente de um escalar inerte 𝜑 em um fluido submetido à advecção e difusão pode ser escrita conforme a equação (3.1).

𝜕 (𝜌𝜑)

Onde Γ é o coeficiente de difusão, S é o termo de fonte para o escalar 𝜑, 𝜌 é a densidade do fluido e 𝑢 é o campo de velocidade do fluido. O primeiro termo da equação (3.1) é a derivada de tempo que avalia a variação de 𝜑 em relação ao tempo. O segundo termo é o componente advectivo que representa o transporte líquido de 𝜑 pelo do campo de velocidade. O terceiro termo representa o transporte devido à difusão, no outro lado da igualdade o termo final é a contribuição devida às fontes de 𝜑 dentro do campo.

Escrevendo explicitamente os termos do operador ∇, a equação (3.2) pode ser escrita em duas dimensões na forma cartesiana como:

𝜕 (𝜌𝜑) 𝜕𝑡 + 𝜕(𝜌𝑢𝜑) 𝜕𝑥 + 𝜕(𝜌𝑣𝜑) 𝜕𝑦 − 𝜕𝜑 𝜕𝑥 (︂ Γ𝜕𝜑 𝜕𝑥 )︂ − 𝜕𝜑 𝜕𝑦 (︂ Γ𝜕𝜑 𝜕𝑦 )︂ = 𝑆 (3.2)

A equação (3.2) pode ser escrita na forma adimensional (3.3), dividindo-se as coordenadas espaciais (𝑥,𝑦) por um comprimento característico 𝐿𝑐e os componentes da velocidade (𝑢,𝑣) por

uma velocidade característica 𝑉𝑐sem causar mudanças notacionais.

𝜕𝜑 𝜕𝑡 + 𝜕(𝑃 𝑒𝑢𝜑) 𝜕𝑥 + 𝜕(𝑃 𝑒𝑣𝜑) 𝜕𝑦 − 𝜕2_𝜑 𝜕𝑥2 − 𝜕2_𝜑 𝜕𝑦2 = 𝑆 (3.3)

Onde 𝑃 𝑒 é o número global de Peclet determinado por 𝑃 𝑒 = 𝜌𝑉 𝐿/Γ. A variável t agora representa o tempo adimensional, determinado pelo tempo dimensional multiplicado por Γ/𝜌𝐿4_{. S representa o termo fonte adimensional, que é dado pela sua forma dimensional multi-}

plicada por 𝐿2_{/Γ, assim a equação (3.3) pode ser reescrita como:}

𝜕𝜑

𝜕𝑡 + ∇. (𝑃 𝑒𝑉 𝜑) − ∇.(∇𝜑) = 𝑆 (3.4)

Integrando a equação (3.4) no volume de controle apresentado na figura 3.1 obtém-se:

Δx Δy S E Js e Jn Jw J W P N

∫︁ 𝑉 𝐶 𝜕𝜑 𝜕𝑡𝑑𝑉 + ∫︁ 𝑉 𝐶 ∇. (𝑃 𝑒𝑉 𝜑) 𝑑𝑉 − ∫︁ 𝑉 𝐶 ∇.(∇𝜑)𝑑𝑉 = ∫︁ 𝑉 𝐶 𝑆𝑑𝑉 (3.5)

Pelo teorema da divergência, as integrais de volume dos divergentes dos fluxos podem ser escritas como integrais de superfícies dos fluxos respectivos conforme a equação (3.6), onde as integrais de superfície representam o fluxo nas interfaces do volume de controle uniforme. De (3.6) para (3.7) as integrais de fluxo em cada face do volume de controle são aproximadas pelo valor na linha de centro multiplicado pela área da superfície.

∫︁ 𝑉 𝐶 𝜕𝜑 𝜕𝑡𝑑𝑉 + ∮︁ (𝑃 𝑒⃗𝑉 𝜑)𝑑𝐴 − ∮︁ ( ⃗∇𝜑)𝑑𝐴 = ∫︁ 𝑉 𝐶 𝑆𝑑𝑉 (3.6) 𝜕𝜑 𝜕𝑡∆𝑥∆𝑦 + [(𝑃 𝑒𝑢𝜑)𝑒− (𝑃 𝑒𝑢𝜑)𝑤] ∆𝑦 + [(𝑃 𝑒𝑣𝜑)𝑛− (𝑃 𝑒𝑣𝜑)𝑠] ∆𝑥 −[︂(︂ 𝜕𝜑 𝜕𝑥 )︂ 𝑒 −(︂ 𝜕𝜑 𝜕𝑥 )︂ 𝑤 ]︂ ∆𝑦 −[︂(︂ 𝜕𝜑 𝜕𝑦 )︂ 𝑛 −(︂ 𝜕𝜑 𝜕𝑦 )︂ 𝑠 ]︂ ∆𝑥 = 𝑆∆𝑥∆𝑦 (3.7)

Considerando a equação do transporte em regime permanente na ausência de fontes da propriedade 𝜑 no domínio de interesse, a equação (3.7) fica da seguinte forma:

[(𝑃 𝑒𝑢𝜑)𝑒− (𝑃 𝑒𝑢𝜑)𝑤] ∆𝑦 − [︂(︂ 𝜕𝜑 𝜕𝑥 )︂ 𝑒 −(︂ 𝜕𝜑 𝜕𝑥 )︂ 𝑤 ]︂ ∆𝑦+ [(𝑃 𝑒𝑣𝜑)𝑛− (𝑃 𝑒𝑣𝜑)𝑠] ∆𝑥 − [︂(︂ 𝜕𝜑 𝜕𝑦 )︂ 𝑛 −(︂ 𝜕𝜑 𝜕𝑦 )︂ 𝑠 ]︂ ∆𝑥 = 0 (3.8)

Para obter equações discretizadas para o problema de advecção-difusão é necessário apro- ximar os termos da equação (3.8) de alguma forma. O termo de difusão pode ser determinado por aproximações utilizando diferenças finitas centradas. As derivadas para a direção 𝑥 numa malha regular são aproximadas como:

(︂ 𝜕𝜑 𝜕𝑥 )︂ 𝑒 ≈ 𝜑𝐸− 𝜑𝑃 ∆𝑥 (︂ 𝜕𝜑 𝜕𝑥 )︂ 𝑤 ≈ 𝜑𝑃 − 𝜑𝑊 ∆𝑥 (3.9)

Considerando essa aproximação por diferenças centrais a equação (3.8) pode ser reescrita da forma: [(𝑃 𝑒𝑢𝜑)𝑒− (𝑃 𝑒𝑢𝜑)𝑤] ∆𝑦 − [𝜑𝐸 − 2𝜑𝑃 + 𝜑𝑊] ∆𝑦 ∆𝑥+ [(𝑃 𝑒𝑣𝜑)𝑛− (𝑃 𝑒𝑣𝜑)𝑠] ∆𝑥 − [𝜑𝑁 − 2𝜑𝑃 + 𝜑𝑆] ∆𝑥 ∆𝑦 = 0 (3.10)

Os termos de advecção são aproximados pela utilização de algum esquema discretizante na determinação do valor do escalar 𝜑 na face do volume de controle. De modo a obter essas aproximações, é conveniente definir duas variáveis 𝐹 e 𝐷 para representar o fluxo advectivo e difusivo que atravessa as faces dos volumes de controle. Assim sendo, tomando como exemplo a face 𝑒, essas variáveis podem ser representadas por:

𝐹𝑒 = (𝑃 𝑒𝑢)𝑒∆𝑦

𝐷𝑒 = ∆𝑦/∆𝑥

(3.11)

Considerando essas novas variáveis pode-se escrever a equação (3.8) como: 𝐹𝑒𝜑𝑒− 𝐹𝑤𝜑𝑤+ 𝐹𝑛𝜑𝑛− 𝐹𝑠𝜑𝑠 =

𝐷𝑒(𝜑𝐸 − 𝜑𝑃) − 𝐷𝑤(𝜑𝑃 − 𝜑𝑊) + 𝐷𝑛(𝜑𝑁 − 𝜑𝑃) − 𝐷𝑠(𝜑𝑃 − 𝜑𝑆)

(3.12)

Para solucionar a equação (3.12) é necessário calcular a propriedade transportada 𝜑 nas faces 𝑒, 𝑤, 𝑠, 𝑛. Os esquemas interpolantes com essa finalidade serão apresentados nas próximas secções deste capítulo.