La m´ ethode de la puissance - Approximation des valeurs propres et des vecteurs propres

Approximation des valeurs propres et des vecteurs propres

5.3 La m´ ethode de la puissance

a un petit résidu dans l’approximation du vecteur propre associé à la valeur propre de A qui est la plus proche de λ, à condition que les valeurs propres de A soient bien séparées (c’est-à-dire que δsoit assez grand).

Pour une matrice A non hermitienne quelconque, on ne sait donner une esti-mationa posterioripour la valeur propreλque si l’on dispose de la matrice des vecteurs propres de A. On a en eﬀet le r´esultat suivant (pour la preuve, voir [IK66], p. 146) :

Propriété 5.6 Soient A ∈ Cⁿ^×ⁿ une matrice diagonalisable et X une ma-trice de vecteurs propres indépendants X = [x₁, . . . ,xn] telle que X⁻¹AX = diag (λ₁, . . . , λ_n). Si, pour unε >0,

r ₂≤ε x ₂, alors

min

λ_i∈σ(A)|λ−λ_i| ≤ε X⁻¹ ₂ X ₂.

Cette estimation est d’une utilit´e pratique limit´ee car elle requiert la connais-sance de tous les vecteurs propres de A. Des estimationsa posterioripouvant ˆ

etre effectivement implémentées dans un algorithme numérique seront propo-sées aux Sections 5.3.1 et 5.3.2.

5.3 La m´ ethode de la puissance

Laméthode de la puissancefournit une très bonne approximation des valeurs propres extrémalesd’une matrice et des vecteurs propres associés. On notera λ₁etλ_n les valeurs propres ayant respectivement le plus grand et le plus petit module.

La résolution d’un tel problème présente un grand intérêt dans beaucoup d’applications concrètes (sismique, étude des vibrations des structures et des machines, analyse de réseaux électriques, mécanique quantique,. . .) dans les-quelles λn et le vecteur propre associé xn permettent la détermination de la fréquence propreet dumode fondamentald’un système physique donné.

Il peut être aussi utile de disposer d’approximations de λ₁ et λ_n pour analyser des méthodes numériques. Par exemple, si A est symétrique définie

positive, λ₁ et λ_n permettent de calculer la valeur optimale du paramètre d’accélération de la méthode de Richardson, d’estimer son facteur de réduction d’erreur (voir Chapitre 4), et d’effectuer l’analyse de stabilité des méthodes de discrétisation des systèmes d’équations différentielles ordinaires (voir Chapitre 10).

5.3.1 Approximation de la valeur propre de plus grand module Soit A ∈ Cⁿ^×ⁿ une matrice diagonalisable et soit X ∈ Cⁿ^×ⁿ la matrice de ses vecteurs propresx_i, pouri= 1, . . . , n. Supposons les valeurs propres de A ordonn´ees de la fa¸con suivante

|λ₁|>|λ₂| ≥ |λ₃|. . .≥ |λ_n|, (5.16) et supposons queλ₁ait une multiplicité algébrique égale à 1. Sous ces hypo-thèses, λ₁ est appelée valeur propredominantede la matrice A.

Etant donn´e un vecteur initial arbitraireq⁽⁰⁾∈Cⁿde norme euclidienne ´egale

a 1, considérons pourk= 1,2, . . .la méthode itérative suivante, connue sous le nom deméthode de la puissance :

z⁽^k⁾= Aq⁽^k⁻¹⁾, q⁽^k⁾=z⁽^k⁾/ z⁽^k⁾ ₂, ν⁽^k⁾= (q⁽^k⁾)^∗Aq⁽^k⁾.

(5.17)

Analysons les propriétés de convergence de la méthode (5.17). Par récurrence surk, on peut vérifier que

q⁽^k⁾= A^kq⁽⁰⁾

A^kq⁽⁰⁾ ₂, k≥1. (5.18)

Cette relation rend explicite le rôle joué par les puissances de A. Ayant supposé la matrice A diagonalisable, ses vecteurs propres x_i forment une base deCⁿ sur laquelle on peut décomposer q⁽⁰⁾ :

q⁽⁰⁾= n i=1

α_ixi, α_i∈C, i= 1, . . . , n. (5.19) De plus, comme Ax_i=λ_ixi, on a

A^kq⁽⁰⁾=α₁λ^k₁

x₁+ n i=2

α_i α₁

λ_i λ₁

, k= 1,2, . . . (5.20) Quand k augmente, comme|λ_i/λ₁| <1 pouri = 2, . . . , n, la composante le long dex₁ du vecteur A^kq⁽⁰⁾ (et donc aussi celle deq⁽^k⁾d’apr`es (5.18)) aug-mente, tandis que ses composantes suivant les autres directionsxj diminuent.

En utilisant (5.18) et (5.20), on obtient

Le vecteurq⁽^k⁾s’aligne donc le long de la direction du vecteur propre x₁ quand k→ ∞. On a de plus l’estimation d’erreur suivante à l’étapek: Théorème 5.6 Soit A ∈ Cⁿ^×ⁿ une matrice diagonalisable dont les valeurs propres satisfont (5.16). En supposant α₁= 0, il existe une constante C >0 telle que Démonstration.On peut, sans perte de généralité, supposer que les colonnes de la matrice X ont une norme euclidienne égale à 1, c’est-à-direx_i2 = 1 pour

L’estimation (5.21) exprime la convergence de la suite ˜q⁽^k⁾ versx₁. La suite des quotients de Rayleigh

Si la matrice A est r´eelle et sym´etrique, on peut prouver, toujours en supposantα₁= 0, que (voir [GL89], p. 406-407)

|λ₁−ν⁽^k⁾| ≤ |λ₁−λ_n|tan²(θ₀) ----λ₂

λ₁

----²^k, (5.23)

où cos(θ₀) = |x^T₁q⁽⁰⁾| = 0. L’inégalité (5.23) montre que la convergence de la suiteν⁽^k⁾versλ₁ estquadratiquepar rapport à |λ₂/λ₁| (voir Section 5.3.3 pour des résultats numériques).

Nous concluons cette section en proposant un critère d’arrêt pour les it´ era-tions (5.17). Introduisons pour cela le résidu à l’étapek

r⁽^k⁾= Aq⁽^k⁾−ν⁽^k⁾q⁽^k⁾, k≥1, et, pour ε > 0, la matrice εE⁽^k⁾ = −r⁽^k⁾.

q⁽^k⁾/_∗

∈ Cⁿ^×ⁿ avec E⁽^k⁾ ₂ = 1.

Puisque

εE⁽^k⁾q⁽^k⁾=−r⁽^k⁾, k≥1, (5.24) on obtient

A +εE⁽^k⁾

q⁽^k⁾ =ν⁽^k⁾q⁽^k⁾. Ainsi, à chaque étape de la méthode de la puissance ν⁽^k⁾ est unevaleur propre de la matrice perturbéeA +εE⁽^k⁾. D’après (5.24) et (1.20), ε = r⁽^k⁾ ₂ pour k = 1,2, . . .. En utilisant cette identité dans (5.10) et en approchant la dérivée partielle dans (5.10) par le quotient|λ₁−ν⁽^k⁾|/ε, on obtient

|λ₁−ν⁽^k⁾| r⁽^k⁾ ₂

|cos(θλ)|, k≥1, (5.25) où θλ est l’angle entre les vecteurs propres à droite et à gauche, x₁ et y₁, associés àλ₁. Remarquer que si A est hermitienne, alors cos(θλ) = 1 et (5.25) conduit à une estimation analogue à (5.13).

En pratique, pour pouvoir utiliser les estimations (5.25), il est nécessaire de remplacer à chaque étape |cos(θλ)|par le module du produit scalaire des deux approximationsq⁽^k⁾et w⁽^k⁾dex₁ et y₁calculées par la méthode de la puissance. On obtient alors l’estimationa posteriorisuivante

|λ₁−ν⁽^k⁾| r⁽^k⁾ ₂

|(w⁽^k⁾)^∗q⁽^k⁾|, k≥1. (5.26) Des exemples d’applications de (5.26) seront donn´es `a la Section 5.3.3.

5.3.2 M´ethode de la puissance inverse

Dans cette section, nous recherchons une approximation de la valeur propre d’une matrice A ∈ Cⁿ^×ⁿ la plus proche d’un nombre µ ∈ C donné, avec µ ∈σ(A). On peut pour cela appliquer la méthode de la puissance (5.17) à la matrice (M_µ)⁻¹= (A−µI)⁻¹, ce qui conduit à la méthode desitérations inversesou méthode de lapuissance inverse. Le nombreµest appeléshiften anglais.

Les valeurs propres de M⁻¹_µ sont ξ_i = (λ_i−µ)⁻¹; supposons qu’il existe un entier mtel que

|λ_m−µ|<|λ_i−µ|, ∀i= 1, . . . , n et i=m. (5.27)

Cela revient à supposer que la valeur propreλ_mqui est la plus proche deµa une multiplicité égale à 1. De plus, (5.27) montre queξ_mest la valeur propre de M⁻¹_µ de plus grand module ; en particulier, siµ= 0,λ_mest la valeur propre de A de plus petit module.

Etant donn´e un vecteur initial arbitraireq⁽⁰⁾ ∈Cⁿ de norme euclidienne

egale à 1, on construit pourk= 1,2, . . .la suite définie par (A−µI)z⁽^k⁾=q⁽^k⁻¹⁾,

q⁽^k⁾=z⁽^k⁾/ z⁽^k⁾ ₂, σ⁽^k⁾= (q⁽^k⁾)^∗Aq⁽^k⁾.

(5.28)

Remarquer que les vecteurs propres de M_µ sont les mêmes que ceux de A puisque M_µ= X (Λ−µI_n) X⁻¹, où Λ = diag(λ₁, . . . , λ_n). Pour cette raison, on calcule directement le quotient de Rayleigh dans (5.28) à partir de la matrice A (et non à partir de M⁻¹_µ ). La différence principale par rapport à (5.17) est qu’on doit résoudre à chaque itérationk un système linéaire de matrice Mµ = A−µI. D’un point de vue numérique, la factorisation LU de Mµ est calculée une fois pour toute quandk= 1, de manière à n’avoir à résoudre à chaque itération que deux systèmes triangulaires, pour un coût de l’ordre de n² flops.

Bien qu’étant plus coûteuse que la méthode de la puissance (5.17), la méthode de la puissance inverse a l’avantage de pouvoir converger vers n’im-porte quelle valeur propre de A (la plus proche deµ). Les itérations inverses se prêtent donc bien au raffinement de l’approximationµd’une valeur propre de A. Cette approximation peut être par exemple obtenue en appliquant les techniques de localisation introduites à la Section 5.1. Les itérations inverses peuvent aussi être utilisées efficacement pour calculer le vecteur propre associé

a une valeur propre (approch´ee) donn´ee.

En vue de l’analyse de convergence des itérations (5.28), supposons A diago-nalisable et décomposonsq⁽⁰⁾sous la forme (5.19). En procédant de la même manière que pour la méthode de la puissance, on a

˜q⁽^k⁾=x_m+ n i=1,i=m

αi

α_m ξi

ξ_m k

x_i,

où lesx_i sont les vecteurs propres de M⁻¹_µ (et donc aussi ceux de A), et les α_i sont comme en (5.19). Par conséquent, en rappelant la définition desξ_i et en utilisant (5.27), on obtient

lim

k→∞q˜⁽^k⁾=xm, lim

k→∞σ⁽^k⁾=λ_m.

La convergence sera d’autant plus rapide que µ est proche de λ_m. Sous les mˆemes hypoth`eses que pour prouver (5.26), on peut obtenir l’estimation a

posteriorisuivante de l’erreur d’approximation sur λ_m

|λ_m−σ⁽^k⁾| r⁽^k⁾ ₂

|(w⁽^k⁾)^∗q⁽^k⁾|, k≥1, (5.29) oùr⁽^k⁾= Aq⁽^k⁾−σ⁽^k⁾q⁽^k⁾et oùw⁽^k⁾est lak-ième itérée de la méthode de la puissance inverse pour approcher le vecteur propre à gauche associé à λm. 5.3.3 Implémentations

L’analyse de convergence de la Section 5.3.1 montre que l’efficacité de la m´ e-thode de la puissance dépend fortement des valeurs propres dominantes. Plus précisément, la méthode est d’autant plus efficace que les valeurs dominantes sont bien séparées, i.e.|λ₂|/|λ₁| 1. Analysons à présent le comportement des itérations (5.17) quand il y a deux valeurs propres dominantes de même module (c’est-à-dire quand|λ₂|=|λ₁|). On doit distinguer trois cas :

1. λ₂=λ₁: les deux valeurs propres dominantes co¨ıncident. La m´ethode est encore convergente, puisque pourkassez grand, (5.20) implique

A^kq⁽⁰⁾λ^k₁(α₁x₁+α₂x₂)

qui est un vecteur propre de A. Pour k→ ∞, la suite ˜q⁽^k⁾ (convenable-ment redéfinie) converge vers un vecteur appartenant à l’espace engendré parx₁ etx₂. La suite ν⁽^k⁾converge encore vers λ₁.

2. λ₂ = −λ₁ : les deux valeurs propres dominantes sont opposées. Dans ce cas, la valeur propre de plus grand module peut être approchée en appliquant la méthode de la puissance à la matrice A². En effet, pour i = 1, . . . , n, λi(A²) = [λi(A)]², donc λ²₁ = λ²₂ et on est ramené au cas précédent avec la matrice A².

3. λ₂=λ₁: les deux valeurs propres dominantes sont complexes conjugu´ees.

Cette fois, des oscillations non amorties se produisent dans la suite q⁽^k⁾ et la m´ethode de la puissance ne converge pas (voir [Wil65], Chapitre 9, Section 12).

Pour l’implémentation de (5.17), il est bon de noter que le fait de normaliser le vecteur q⁽^k⁾à 1 permet d’éviter les problèmes d’overflow(quand|λ₁|>1) ou d’underflow(quand|λ₁|<1) dans (5.20). Indiquons aussi que la condition α₁ = 0 (qui est a prioriimpossible à remplir quand on ne dispose d’aucune information sur le vecteur proprex₁) n’est pas essentielle pour la convergence effective de l’algorithme. En effet, bien qu’on puisse prouver qu’en arithm´ e-tique exacte la suite (5.17) converge vers le couple (λ₂,x₂) si α₁ = 0 (voir Exercice 8), les inévitables erreurs d’arrondi font qu’en pratique le vecteur q⁽^k⁾ contient aussi une composante non nulle dans la direction de x₁. Ceci permet à la valeur propreλ₁ d’être “visible” et à la méthode de la puissance de converger rapidement vers elle.

Une implémentation MATLAB de la méthode de la puissance est donnée dans le Programme 24. Dans cet algorithme comme dans les suivants, le test de convergence est basé sur l’estimationa posteriori(5.26).

Ici, et dans le reste du chapitre, les valeurs en entréez0,toletnmaxsont respectivement le vecteur initial, la tolérance pour le test d’arrêt et le nombre maximum d’itérations admissible. En sortie, les vecteurs lambda et relres contiennent les suites {ν⁽^k⁾} et { r⁽^k⁾ ₂/|cos(θ_λ)|} (voir (5.26)), x et iter sont respectivement les approximations du vecteur propre x₁ et le nombre d’itérations nécessaire à la convergence de l’algorithme.

Programme 24 - powerm: M´ethode de la puissance function [lambda,x,iter,relres]=powerm(A,z0,tol,nmax)

%POWERM M´ethode de la puissance

% [LAMBDA,X,ITER,RELRES]=POWERM(A,Z0,TOL,NMAX) calcule la

% valeur propre LAMBDA de plus grand module de la matrice A et un vecteur

% propre correspondant X de norme un. TOL est la tol´erance de la m´ethode.

% NMAX est le nombre maximum d’it´erations. Z0 est la donn´ee initiale.

% ITER est l’itération à laquelle la solution X a été calculée.

q=z0/norm(z0); q2=q;

relres=tol+1; iter=0; z=A*q;

while relres(end)>=tol & iter<=nmax q=z/norm(z); z=A*q;

lambda=q’*z; x=q;

z2=q2’*A; q2=z2/norm(z2); q2=q2’;

y1=q2; costheta=abs(y1’*x);

if costheta>= 5e-2 iter=iter+1;

temp=norm(z-lambda*q)/costheta;

relres=[relres; temp];

else

fprintf(’Valeur propre multiple’); break;

end end return

Un code MATLAB pour la méthode de la puissance inverse est donné dans le Programme 25. Le paramètre d’entrée muest l’approximation initiale de la valeur propre. En sortie, les vecteurs sigmaet relres contiennent les suites {σ⁽^k⁾} et { r⁽^k⁾ ₂/(|(w⁽^k⁾)^∗q⁽^k⁾|)} (voir (5.29)). La factorisation LU (avec changement de pivot partiel) de la matrice M_µ est effectuée en utilisant la fonctionlude MATLAB, tandis que les systèmes triangulaires sont résolus avec les Programmes 2 et 3 du Chapitre 3.

Programme 25 - invpower: M´ethode de la puissance inverse function [sigma,x,iter,relres]=invpower(A,z0,mu,tol,nmax)

%INVPOWER M´ethode de la puissance inverse

% [SIGMA,X,ITER,RELRES]=INVPOWER(A,Z0,MU,TOL,NMAX) calcule la

% valeur propre LAMBDA de plus petit module de la matrice A et un vecteur

% propre correspondant X de norme un. TOL est la tol´erance de la m´ethode.

% NMAX est le nombre maximum d’it´erations. X0 est la donn´ee initiale.

% MU est le shift. ITER est l’it´eration `a laquelle la solution X a

% été calculée.

Exemple 5.3 On se donne les matrices

A = les vecteur propres correspondants sont les vecteurs colonnes de la matrice V.

Pour approcher le couple (λ₁,x1), nous avons exécuté le Programme 24 avecz⁽⁰⁾= [1,1,1]^T pour donnée initiale. Après 71 itérations de la méthode de la puissance, les erreurs absolues sont|λ₁−ν⁽⁷¹⁾|= 7.91·10⁻¹¹et x1−x⁽⁷¹⁾₁ ∞= 1.42·10⁻¹¹.

Dans un second cas, nous avons prisz⁽⁰⁾=x2+x3(remarquer qu’avec ce choix on aα₁= 0). Apr`es 215 it´erations les erreurs absolues sont|λ₁−ν⁽²¹⁵⁾|= 4.26·10⁻¹⁴ etx1−x⁽²¹⁵⁾₁ ∞= 1.38·10⁻¹⁴.

La Figure 5.2 (à gauche) montre la fiabilité de l’estimationa posteriori(5.26) : on a représenté les suites|λ1−ν^(k)|(trait plein) et les estimations a posteriori(5.26) correspondantes (trait discontinu) en fonction du nombre d’itérations (en abscisses).

Noter l’excellente ad´equation entre les deux courbes.

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Fig. 5.2. Comparaison entre l’estimation d’erreura posterioriet l’erreur absolue effective pour la matrice (5.30) (à gauche); courbes de convergence de la méthode de la puissance appliquée à la matrice (5.31) dans sa forme symétrique (S) et non symétrique (NS) (à droite)

Considérons les matrices λ₃ =−0.8868 (avec 4 chiffres significatifs).

Il est intéressant de comparer le comportement de la méthode de la puissance quand on calculeλ₁ pour la matrice symétrique A et pour la matrice M = T⁻¹AT qui lui est semblable, où T est la matrice inversible (et non orthogonale) définie en (5.31).

En exécutant le Programme 24 avec z⁽⁰⁾ = [1,1,1]^T, la méthode de la puissance converge vers la valeur propre λ₁ en 18 itérations pour la matrice A et en 30 it´ e-rations pour la matrice M. La suite des erreurs absolues |λ₁−ν^(k)|est tracée sur la Figure 5.2 (à droite) où (S) et (NS) se rapportent respectivement aux calculs effectués sur A et sur M. Remarquer la réduction rapide de l’erreur dans le cas sy-métrique, conformément à la propriété de convergence quadratique de la méthode de la puissance (voir Section 5.3.1).

Nous utilisons enfin la méthode de la puissance inverse (5.28) pour calculer λ₃ = 0.512 qui est la valeur propre de plus petit module de la matrice A définie en (5.30).

En ex´ecutant le Programme 25 avecq⁽⁰⁾= [1,1,1]^T/√

3, la m´ethode converge en 9 it´erations, avec comme erreurs absolues|λ₃−σ⁽⁹⁾|= 1.194·10⁻¹²etx₃−x⁽⁹⁾₃ ∞=

4.59·10⁻¹³. •

5.4 La m´ ethode QR

Nous présentons dans cette section des méthodes itératives pour approcher simultanément toutesles valeurs propres d’une matrice A donnée. L’idée de base est de transformer A en une matrice semblable pour laquelle le calcul des valeurs propres est plus simple.

Le problème serait résolu si on savait déterminer de manière directe,

c’est-`

a-dire en un nombre fini d’itérations, la matrice unitaire U de la décomposition de Schur 1.4, i.e. la matrice U telle que T = U^∗AU, où T est triangulaire supérieure avec t_ii = λ_i(A) pour i = 1, . . . , n. Malheureusement, d’après le théorème d’Abel, dès que n ≥ 5 la matrice U ne peut pas être calculée de fa¸con directe (voir Exercice 6). Notre problème ne peut donc être résolu que de manière itérative.

L’algorithme de référence sur ce thème est laméthode QR que nous n’exami-nerons que dans le cas des matrices réelles (pour des remarques sur l’extension des algorithmes au cas complexe, voir [GL89], Section 5.2.10 et [Dem97], Sec-tion 4.2.1).

Soit A∈Rⁿ^×ⁿ; on se donne une matrice orthogonale Q⁽⁰⁾ ∈Rⁿ^×ⁿ et on pose T⁽⁰⁾ = (Q⁽⁰⁾)^TAQ⁽⁰⁾. Les itérations de la méthode QR s’écrivent pour k= 1,2, . . ., jusqu’à convergence :

d´eterminer Q⁽^k⁾,R⁽^k⁾telles que

Q⁽^k⁾R⁽^k⁾= T⁽^k⁻¹⁾ (factorisation QR);

puis poser T⁽^k⁾= R⁽^k⁾Q⁽^k⁾.

(5.32)

A chaque étape k ≥ 1, la première phase consiste en la factorisation de la matrice T⁽^k⁻¹⁾ sous la forme du produit d’une matrice orthogonale Q⁽^k⁾ par une matrice triangulaire supérieure R⁽^k⁾(voir Section 5.6.3). La seconde phase est un simple produit matriciel. Remarquer que

T⁽^k⁾ = R⁽^k⁾Q⁽^k⁾= (Q⁽^k⁾)^T(Q⁽^k⁾R⁽^k⁾)Q⁽^k⁾= (Q⁽^k⁾)^TT⁽^k⁻¹⁾Q⁽^k⁾

= (Q⁽⁰⁾Q⁽¹⁾· · ·Q⁽^k⁾)^TA(Q⁽⁰⁾Q⁽¹⁾· · ·Q⁽^k⁾), k≥0,

(5.33)

autrement dit, toute matrice T⁽^k⁾estorthogonalement semblableà A. Ceci est particulièrement appréciable pour lastabilitéde la méthode. On a en effet vu

a la Section 5.2 que dans ce cas le conditionnement du probl`eme aux valeurs propres pour T⁽^k⁾est au moins aussi bon que celui pour A (voir aussi [GL89], p. 360).

On examine à la Section 5.5 une implémentation basique de la méthode QR (5.32) où on prend Q⁽⁰⁾ = In. Un version plus efficace en termes de calcul, qui démarre avec T⁽⁰⁾ sous la forme d’une matrice de Hessenberg supérieure, est décrite en détail à la Section 5.6.

Si A possède des valeurs propres réelles, distinctes en valeur absolue, nous verrons à la Section 5.5 que la limite de T⁽^k⁾ est une matrice triangulaire supérieure (avec bien sûr les valeurs propres de A sur la diagonale). En re-vanche, si A a des valeurs propres complexes, la limite T de T⁽^k⁾ne peut pas

etre triangulaire supérieure. Si c’était le cas, les valeurs propres de T seraient nécessairement réelles et T semblable à A, ce qui est contradictoire.

Il peut aussi ne pas y avoir convergence vers une matrice triangulaire dans des situations plus g´en´erales comme le montre l’Exemple 5.9.

Pour cette raison, il est nécessaire d’introduire des variantes de la méthode QR (5.32) basées sur des techniques de translation et déflation (voir Section 5.7 et, pour une discussion plus détaillée sur ce sujet, voir [GL89], Chapitre 7, [Dat95], Chapitre 8 et [Dem97], Chapitre 4).

Ces techniques permettent à T⁽^k⁾ de converger vers une matrice quasi-triangulairesupérieure, connue sous le nom dedécomposition de Schur réelle de A, pour laquelle on a le résultat suivant (nous renvoyons à [GL89], p.

341-342 pour la preuve).

Propriété 5.7 Etant donné une matrice A ∈ Rⁿ^×ⁿ, il existe une matrice orthogonaleQ∈Rⁿ^×ⁿ telle que

Q^TAQ =

⎡

⎢⎢

⎣

R₁₁ R₁₂ . . . R₁_m 0 R₂₂ . . . R₂_m ... ... . . . ...

0 0 . . . R_mm

⎤

⎥⎥

⎦

, (5.34)

où chaque bloc diagonal R_ii est soit un nombre réel soit une matrice d’ordre 2 ayant des valeurs propres complexes conjuguées. De plus

Q = lim

k→∞

Q⁽⁰⁾Q⁽¹⁾· · ·Q⁽^k⁾ 1

(5.35) oùQ⁽^k⁾ est la matrice orthogonale construite à lak-ième étape de la méthode QR (5.32).

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