M´ ethode

Je reprends ici une partie du formalisme d´evelopp´e dans la th`ese d’Aura Gonzalez [5]. L’utilisation d’un NRA de N trous permet de mesurer la coh´erence pour toutes les paires de trous (n, m), ∀(n, m) ∈ [1, N ]2 _{contenues dans le NRA. Les mesures de la coh´erence}

se font `a l’aide d’une simple transform´ee de Fourier de la figure de diffraction (soit l’autocorr´elation de NRA de trous) g´en´er´ee par la diffraction du faisceau harmonique par le NRA. En effet, la transform´ee de l’interf´erogramme ˜I(~r, z), donne une distribution de pics, centr´es sur les diff´erents vecteurs de s´eparation des r´ef´erences ~dnm [5] :

˜ I(~r, z) = Γ(~r) ⊗  N X 1 Inδ(~r) + N X n=m+1 N −1 X m=1 p InIm×  γnmδ(~r − ~dnm) + γnm∗ δ(~r + ~dnm)  (4.20) o`u Γ(~r) est l’autocorr´elation de la fonction h d´ecrivant les r´ef´erences circulaires de dia- m`etre a (h(~r) = circ(|~r|/a)). L’amplitude de chaque pic pr´esent dans la transform´ee de Fourier de la figure de diffraction est proportionnel au module de la coh´erence spatiale |γnm| et `a l’intensit´e (In, Im) de la paire de trous s´epar´es d’une distance | ~dnm|.

On peut ´ecrire la valeur de la coh´erence ainsi :

|γnm| =

|Cnm|Itot

pIiIj|C0|

(4.21)

o`u |Cnm| est l’amplitude du pic de la transform´ee de Fourier de l’autocorr´elation, centr´e

en ~dnm = ~rn− ~rm. Itot =P Inest l’intensit´e totale faisceau et |C0| est l’amplitude du pic

central de l’autocorr´elation. Nous allons expliquer comment calculer la coh´erence spatiale et les intensit´es sur les r´ef´erences ponctuelles `a partir de l’exemple le plus simple : un

NRA de N = 3 trous tous s´epar´es de la mˆeme distance | ~dnm|. La figure 4.9 illustre cet

exemple. A partir de l’´equation4.21 on peut ´ecrire le syst`eme `a 3 ´equations suivant :

Figure 4.9 A gauche, un NRA de 3 trous ´equidistants donc poss´edant un | ~dnm| ´egal

pour chaque paire de trous. A droite, la transform´ee de Fourier de la figure de diffraction obtenue `a partir du NRA, c’est l’autocorr´elation du NRA.

|γ₁₂| = √|C12| I1I2 Itot C0 |γ13| = |C13| √ I1I3 Itot C0 |γ₂₃| = √|C23| I2I3 Itot C0

On peut r´esoudre ce syst`eme d’´equations si on suppose que |γ12| = |γ13| = |γ23| = |γ|,

c’est `a dire que la coh´erence est invariante par translation (ou shift invariant en anglais). Auquel cas on peut ´ecrire les intensit´es de deux des trois trous en fonction de celle du troisi`eme trou, choisit comme r´ef´erence. Choisissons comme r´ef´erence le trou 1, on a alors : I1= C12C13 C23 Itot C0|γ| I2= I1( C23 C13 )2 I3= I1( C23 C12 )2

En r´ealit´e, mˆeme si on exprime la solution en fonction de la distribution d’intensit´e sur les r´ef´erences ponctuelles, la mesure de cette derni`ere n’est pas n´ecessaire. En effet, on peut normaliser les facteurs I1 etI_Ctot₀ en r´ealisant une interpolation de la courbe de coh´e-

rence |γnm| en fonction de | ~dnm| au point d’abscisse | ~dnm| = 0 o`u la coh´erence vaut par

d´efinition 1. En utilisant le cas N = 3 on peut construire des NRA de N > 3 r´ef´erences ponctuelles g´en´er´es par la superposition de syst`emes de 3 trous. Si tous les syst`emes de 3 trous poss`edent la mˆeme r´ef´erence, la solution du syst`eme de N trous peut ˆetre donn´ee en fonction de l’intensit´e au travers de cette r´ef´erence. Apr`es normalisation, la coh´erence spatiale est calcul´ee pour N (N − 1)/2 valeurs de | ~dnm| -fix´ees par la distance

entre chaque paire de trous- directement `a partir de la figure de diffraction sans mesure de la distribution d’intensit´e du faisceau au niveau du NRA. La figure 4.10 de gauche montre une simulation d’un NRA `a 7 trous et celle de droite pr´esente l’autocorr´elation de ce NRA poss´edant 21 pics (plus 21 autres pics conjugu´es et le pic central) correspon- dants aux 21 ~dnm des paires de trous.

La figure 4.11 illustre un avantage inh´erent `a cette technique : sa stabilit´e `a la fluc-

Figure 4.10 A gauche, un NRA de 7 trous, poss´edant 3 jeux de 3 trous ´equidistants (donc poss´edant un | ~dnm| ´egal pour chaque paire de trous dans un mˆeme triangle). A

droite, la transform´ee de Fourier de la figure de diffraction obtenue `a partir du NRA, c’est l’autocorr´elation du NRA.

tuation de point´e du faisceau. Les simulations sont effectu´ees pour un faisceau gaussien (wbeam = 5.2µm) et une distribution gaussienne de la coh´erence (wcoh = 4µm). On ef-

fectue une simulation pour une distribution d’intensit´e centr´ee sur le NRA et une autre pour une d´eviation de point´e de −1.6µm en x et −1.1µm en y. On peut alors calculer la valeur de la coh´erence spatiale pour les 21 ~dnm `a partir des valeurs de Cnm simul´ees en

normalisant le facteur d’intensit´e, sans faire de supposition sur la r´epartition d’intensit´e sur les r´ef´erences. Les images (a,c) pr´esentent la simulation de la distribution d’intensit´e centr´ee sur le NRA et d´evi´ee respectivement. Les graphes (b,d) montrent les r´esultats

de la caract´erisation de la coh´erence dans les deux cas. On remarque que les valeurs de la coh´erence sont identiques pour un faisceau centr´e et un faisceau pr´esentant une d´e- viation de point´e, ce qui illustre bien que cette m´ethode ne n´ecessite aucune supposition ou restriction sur la distribution de l’intensit´e du faisceau. Ce n’est pas le cas pour la caract´erisation de la coh´erence d’une impulsion unique XUV `a l’aide de fentes d’Young par exemple, cas pour lequel il faut supposer une r´epartition d’intensit´e ´egale sur les deux fentes. Il a ´et´e montr´e que, dans ce cas, l’erreur exp´erimentale induite sur le calcul de la coh´erence est extrˆemement d´ependante du point´e du faisceau [75]. Cependant, si cette d´eviation s’accompagne d’une fluctuation du profil spatial de la coh´erence, il est impossible de corriger cette erreur dans le calcul du degr´e de coh´erence.

Figure 4.11 (a,c) r´epartition d’intensit´e du faisceau gaussien par rapport au NRA. (a) est centr´ee, (c) est d´evi´ee de (−1.6µm x,−1.1µm). Les trous du NRA sont repr´esent´es par des cercles noirs. (b,d) Courbe de la coh´erence en fonction des s´eparations | ~dnm|

pour chaque paire de trous. Le calcul de la coh´erence est effectu´e apr`es normalisation de l’intensit´e sans supposition sur la r´epartition d’intensit´e. La courbe rouge est la simulation de la coh´erence et les carr´es noirs sont les valeurs de la coh´erence calcul´ees. [5].

Parfois, une accumulations de tirs de diffraction est n´ecessaire pour reconstruire tout les pics de l’autocorr´elation du NRA et il est impossible de mesurer la distribution d’in- tensit´e de chaque tir. C’est le cas lorsque nous ´etudions H33 g´en´er´e dans le n´eon. Il est possible de montrer que l’erreur induite par l’accumulation sur le calcul de la coh´erence lorsque le point´e du faisceau fluctue est moins grande avec l’utilisation de NRA de trous qu’avec des fentes ou trous d’Young [5]. Mˆeme si on ´etait capable de mesurer au travers

des fentes, l’erreur induite par l’accumulation de tirs serait ´egale `a celle obtenue avec la technique NRA ou aucune mesure d’intensit´e est n´ecessaire.

4.5.2.2 R´esultats exp´erimentaux avec une source d’harmoniques d’ordres ´

elev´es

On utilise un NRA de 5 r´ef´erences circulaires (voir figure 4.12) pour caract´eriser la coh´erence spatiale de l’harmonique 25 de notre source harmonique g´en´er´ee dans l’argon. La taille totale du NRA fait 4.5 × 3.2µm. On peut calculer la coh´erence spatiale avec

Figure 4.12 Image MEB de la face avant du NRA `a 5 r´ef´erences ponctuelles utilis´e pour caract´eriser la coh´erence spatiale. Chaque trou fait environ 310nm de diam`etre.

l’´equation4.21pour les 5 paires d’ouvertures poss´edant un | ~dnm| diff´erent. Cette g´eom´e-

trie r´esulte en 2 syst`emes d’´equations donn´ees par les deux jeux de r´ef´erences circulaires ´

equidistantes ((1, 2, 3) et (1, 4, 5)) avec l’ouverture 1 utilis´ee comme r´ef´erence commune. On r´esout les deux syst`emes d’´equations par la mˆeme m´ethode montr´ee pr´ec´edemment, on a alors : I2 = I1( C23 C13 )2 I3 = I1( C23 C12 )2 I4 = I1( C45 C15 )2 I5 = I1( C45 C14 )2