3.2 Validation numérique : prise en compte de la peinture
3.2.4 Estimation des sources de chaleur dans un cas hétérogène
Dans cette partie, les données analysées sont celles obtenues à partir de la simula-tion par éléments finis avec la géométrie présentée sur la Fig. 2.11.d. En considérant la géométrie élancée de l’échantillon et les conditions aux limites particulières, le problème thermique est supposé 1D dans la direction axiale −→x. Les évolutions temporelles de la température pour trois pixels différents (n° 25, 100 et 175 de la Fig. 2.11.d) sont tracées sur la Fig. 3.5.a. Les données obtenues à partir du calcul par éléments finis ont été prises sur la surface extérieure de l’échantillon. Les pixels 25 et 175 ont été choisis car ils corres-pondent à des positions localisées sur des extrémums de la modulation spatiale, i.e. égaux aux maximums positifs et négatifs des sources de chaleur. Le pixel 100 a été choisi, car sa valeur est proche de zéro, mais légèrement négative. Les profils de température le long de la direction−→x, sont tracés sur la Fig. 3.5.b, à trois instants différents (t=10s, 85s et 100s). Les deux premiers instants correspondent aux deux maximums sur l’évolution temporelle des sources de chaleur. L’instantt= 100scorrespond à l’instant oùsF EM ≈0, juste après le second pic.
A l’état initial et au pixel 1, la température initiale est bien égale àTini =TBC = 100◦C
(Fig. 3.5.b). La modulation des sources de chaleur dans l’espace permet d’avoir des sources positives ou négatives comme présenté sur les Figs. 3.1.c, 3.1.e et 3.1.f. Cela engendre dif-férents types de perturbations dans le refroidissement naturel de l’échantillon en difdif-férents points (Fig. 3.5.a) et dans les profils de température à différents instants (Fig. 3.5.b). Les profils de température ne sont pas instinctifs même s’il est possible d’observer la forme de la sinusoïde loin de la condition aux limites x=0. Mentionnons que pour une lecture simplifiée des graphiques, les couleurs utilisées correspondent chacunes à un pixel pour les Figs. 3.5.a, c, e et g (trait rouge : pixel 25, bleu : pixel 100, vert : pixel 175) ou un instant considéré pour les Figs. 3.5.b, d, f et h (trait rouge : t=10s, bleu : t=85s, vert : t=100s).
A partir de la réponse thermique obtenue par simulation numérique, les sources de chaleur ont été estimées avec le modèle 1D sans prise en compte de la peinture (équa-tion (1.14)) et avec le modèle 1D avec prise en compte de la température (équa(équa-tion (1.17)). Les évolutions temporelles et les profils thermiques pour les pixels et instants considérés précédemment sont tracés sur les Figs. 3.5.c-f. Sur ces figures, la ligne pleine correspond aux sources de chaleur estimées en utilisant l’équation (1.14), alors que la ligne pointillée est obtenue en utilisant l’équation (1.17) et sont respectivement notées sP Lext etseqP Lext.
Tout d’abord, les effets de bords dus au procédé de filtrage sont observés au début du refroidissement (Fig. 3.5.c) et aux extrémités des profils de température (Fig. 3.5.d). La taille de ces effets dépend de la fréquence de coupure du filtre passe bas utilisé pour le filtrage des données, comme décrit dans [Schlosser et al., 2007]. Les effets de bords sont essentiellement visibles sur les profils axiaux. Dans le cas étudié, la taille de ces effets
de bords est limitée à environ 10 pixels aux deux extrémités. Pour les pixels et instants sélectionnés ici, les estimations des sources de chaleur données par les deux modèles 1D sont qualitativement en accord avec la source de référence. Cependant, le modèle prenant en compte l’effet de la peinture permet de mieux estimer les sources de chaleur mises en jeu.
Une différence entre les deux modèles utilisés est observée. Une erreur importante est faite sur l’estimation des sources de chaleur au début du refroidissement en utilisant le modèle 1D sans prise en compte de la peinture. L’hétérogénéité de la température dans l’épaisseur au début du refroidissement peut expliquer ce phénomène. La prise en compte de la couche de peinture permet d’améliorer les résultats, particulièrement lorsque les sources sont négatives et proches de zéro. Pour le pixel 25, où les sources sont les plus grandes, l’estimation semble meilleure avec le modèle simplifié lorsque les sources sont les plus élevées. Des observations identiques sont réalisées sur les profils de température. A l’instant t = 10s, le modèle ne prenant pas en compte la couche de peinture permet d’évaluer correctement les sources de chaleur positives mais il n’évalue pas correctement les sources négatives.
Dans tous les cas, il apparait que les sources de chaleur sont sous estimées par rapport aux sources de chaleur imposées dans le modèle élément finis.
Des résultats quantitatifs sur l’erreur réalisée sur l’estimation des sources de chaleur sont résumés dans le tableau suivant, aux pixels 75 et 126, aux instants où les sources sont maximales (t=10s et 85s), et pour des sources de chaleur nulles (t=40s).
Instant Pixel sF EM sP Lext seqP Lext |sP Lext−sF EM|
sF EM |seqP Lext−sF EM| sF EM (s) (W m−3) (W m−3) (W m−3) (%) (%) 10 75 −9,76 106 −8,07 106 −9,05 106 17,2 7,2 10 126 9,79 106 9,72 106 9,26 105 5,4 0,7 40 75 0 4,86 104 1,29 104 - -40 126 0 4,51 104 6,92 103 - -85 75 −7,81 106 −7,04 106 −7,29 106 9,8 6,6 85 126 7,83 106 7,08 106 7,32 106 9,6 6,5
Table3.1: Estimations des sources sP Lext etseqP Lext obtenues avec les deux modèles 1D (equation (1.14) et (1.17)) et erreur relative associée.
De façon identique au cas 0D, l’énergie, par unité de volume, associée à ces sources de chaleur a été estimée pour les pixels considérés précédemment (Fig. 3.6.a).
Quel que soit le pixel choisi, et donc quelle que soit la valeur de la source de chaleur choisie, l’énergie estimée à partir du modèle prenant en compte la couche de peinture permet d’obtenir de meilleurs résultats en regard des sources imposées dans le modèle éléments finis. Concernant l’erreur faite (Fig. 3.6.b), elle est toujours inférieure en consi-dérant le modèle complet, comme dans le cas 0D. Ensuite, pour des pixels localisés dans des zones où l’énergie volumique est positive (pixel 25), l’estimation de l’énergie semble correcte dans les deux cas. Lorsque les énergies sont négatives (pixel 175), l’erreur faite avec les deux modèles est plus élevée mais toujours inférieure à 10 % dans le cas du modèle complet. Lorsque l’énergie est faible (pixel 100), l’erreur faite avec le modèle le plus simple
Figure 3.5: a) Évolution temporelle de la température des trois pixels 25, 100 et 175. b) Profils axiaux de température aux instants t=10s, 85s et 100s calculés avec le modèle éléments finis. Comparaison des sources de chaleur initiales (sF EM) et des sources estimées avec le modèle homogène (sP Lext) et hétérogène (seqP Lext) pour : c) le pixel 25, d) l’instant t=10s, e) le pixel 100, f) l’instant t=85s, g) le pixel 175 et h)l’instant t=100s.
est supérieure à 100 %, mais est inférieure à 15 % avec le modèle complet.
Figure 3.6: a) Evolution de l’énergie volumique aux pixels 25, 100 et 175 et b) erreur relative sur ces estimations.
Finalement, cette étude montre que lorsque l’épaisseur de la couche de peinture n’est pas négligeable face à l’épaisseur de l’échantillon (12 % de l’épaisseur du matériau central dans cette étude), elle peut avoir une influence sur l’estimation des sources de chaleur et sur l’énergie calculée. La peinture ayant des propriétés thermiques plus isolantes que l’échantillon central, elle isole l’échantillon de l’environnement. Négliger l’effet de la pein-ture pour estimer des sources de chaleur conduit à de faibles erreurs. Cependant, l’erreur est plus importante en terme d’énergie, les sources de chaleur étant en effet surestimées ou sous-estimées lorsqu’elles sont respectivement positives ou négatives. L’utilisation du mo-dèle complet permet alors de réduire l’erreur faite sur l’estimation des sources de chaleur et sur l’énergie associée.
Notons enfin que cette prise en compte de l’effet de la peinture suppose la connaissance des caractéristiques (épaisseur, propriétés thermophysiques) de la peinture.
3.2.5 Bilan
Dans cette partie, une validation numérique a été proposée pour l’estimation des sources de chaleur. L’impact de la couche de peinture sur la réponse thermique d’un échan-tillon et l’importance de la prendre en compte pour réaliser des estimations quantitatives de sources de chaleur ont été étudiés. Ainsi, on voit que :
(i) la peinture déposée sur l’échantillon isole ce dernier de l’environnement extérieur. La température mesurée à la surface de la peinture n’est alors pas égale à la température moyenne de l’échantillon dans l’épaisseur,
(ii) l’estimation des sources de chaleur et de l’énergie volumique associée en négligeant la couche de peinture conduit à sous estimer les sources de chaleur imposées lorsqu’elles sont significatives ou à les sur estimer lorsqu’elles sont proches de valeurs nulles,
(iii) l’estimation des sources de chaleur avec le modèle complet permet de réduire cette erreur. Ce modèle est plus adapté, particulièrement lorsque les sources sont faibles ou proches de zéro. L’erreur faite sur l’énergie en considérant le modèle complet est alors inférieure à 7 % dans le cas des chargements étudiés.
Cette étape a permis de valider numériquement les modèles 0D et 1D, avec prise en compte de l’effet de la peinture, permettant d’estimer plus précisément les sources de chaleur à partir des données thermiques de surface. Cependant, la quantification des erreurs est très délicate car dépendante de l’exemple choisi. En effet, si des variations de sources plus sévères sont imposées dans le temps ou dans l’espace, les erreurs seront plus importantes. De plus, cette approche reste assujettie à la connaissances des caractéristiques géométriques (épaisseur) et physiques (C etk) de l’échantillon et de la couche de peinture.