Estimation de la distance à la surface

Il est intéressant de connaître l’évolution de certaines caractéristiques (comme par exemple la vitesse des particules ou encore le nombre d’objets mesurés) au cours du temps, mais plus encore en fonction de la distance parcourue par une particule depuis qu’elle a quitté la surface du proper-gol (aussi appelée distance à la surface). Ce calcul de distance parcourue nécessite de connaître la position à laquelle la particule a quitté la surface du propergol. Le schéma de la figure3.37permet de mettre en évidence plusieurs difficultés :

— la méthodeMSERdétecte les particules lorsqu’elles ne sont plus en contact avec la surface du propergol. Le déplacement important des particules entre deux images successives rend assez rare la détection d’une particule à l’instant précis où celle-ci se détache de la surface. Il est donc presque toujours nécessaire d’extrapoler la trajectoire de la particule pour

déter-CHAPITRE 3. ANALYSE DES IMAGES D’OMBROSCOPIE

FIGURE3.37 – Schéma de deux particules quittant la surface du propergol.

miner son point de départ de la surface. Le calcul est alors sujet à des incertitudes liées à la méconnaissance de la géométrie 3D de la surface et à la cadence d’acquisition.

— sur une partie non négligeable des essais, la surface du propergol a régressé au point de ne plus être visible sur l’image, dans ce cas là il est impossible de connaître précisément l’endroit d’où est parti l’objet.

— comme un propergol est un assemblage de grains, la surface du propergol n’est pas parfai-tement horizontale. C’est un objet en trois dimensions qui est projeté sur le plan du capteur de la caméra. Ainsi l’aspect 3D de la surface est projeté, et devient sur l’image une région sombre en dessous des maxima locaux du propergol. Il est alors difficile de savoir si une par-ticule quitte la surface du propergol depuis la frontière visible sur l’image (parpar-ticule bleue sur le schéma de la figure3.37), ou si elle a quitté la surface depuis une région légèrement plus basse, masquée par la frontière visible du propergol (particule verte dans le schéma de la figure3.37).

Les sections qui suivent détaillent les méthodes de calcul adoptées et l’estimation des incerti-tudes qui en découlent.

Estimation du point de départ et incertitude liée à la cadence d’acquisition

Pour déterminer la position d’où une particule quitte la surface du propergol, nous avons choisi d’extrapoler linéairement la trajectoire des pistes uniques à partir des trois premières détec-tions de la piste. Cette extrapolation spatiale permet d’estimer la trajectoire de la particule avant la première détection. Le point de départ de la particule peut ensuite être estimé en trouvant l’in-tersection entre cette extrapolation de trajectoire et la surface du propergol extraite dans la sec-tion3.1. Or la surface du propergol est une courbe paramétrée on peut donc trouver plusieurs points d’intersection. Nous choisissons comme point de départ de la piste l’intersection la plus éloignée de la première détection de la particule. Pour calculer la distance à la surface il suffit

en-CHAPITRE 3. ANALYSE DES IMAGES D’OMBROSCOPIE

suite de réaliser un calcul de distance euclidienne entre le point de départ estimé de la particule et la position des détections de la piste, ou encore au milieu de deux détections pour correspondre plus précisément aux endroits où l’on estime les vitesses.

La figure3.38illustre l’estimation de l’endroit où la particule quitte la surface du propergol avec :

— la position des détections de la particule antécédentes à l’image affichées en bleu ;

— le contour des régions segmentées en rouges, à savoir la particule et la surface du propergol ; — l’extrapolation des trois premières détections de la piste en vert ;

— le point de départ de la particule qui se situe à l’intersection entre la surface du propergol et la droite d’extrapolation, est indiqué par la flèche blanche sur la figure3.38.

FIGURE3.38 – Détermination de l’endroit où une particule quitte la surface du propergol. En bleu est repré-senté la piste de la particule avec les détections aux instants précédents l’image par des croix, les contours rouges représentent les régions segmentées, et la droite verte l’extrapolation des trois premières détections de la piste. Le point de départ de la particule se situe à l’intersection entre la surface du propergol à l’instant de la première détection de la particule et la droite d’extrapolation.

En supposant que la méthodeMSERsoit parfaite (rappel et precision égal à 100 %), la première détection de la particule a lieu sur la première image après le moment où elle quitte la surface du propergol. On comprend alors qu’entre le moment où la particule quitte la surface du propergol et l’instant où l’acquisition de l’image a lieu, la particule a parcouru une distance qu’il est possible de borner par une valeur maximale. La valeur maximale correspond à la distance parcourue par la particule entre deux images successives et conduit à une incertitude notéeσc ad ence

Z car elle est principalement liée à la cadence d’acquisition de la caméra. En utilisant le modèle 1D présenté en section3.5.1, on peut tracer l’évolution de la distance parcourue par les particules en fonction du numéro des images pour une cadence d’acquisition de 6 kHz (figure3.39). Les paramètres des par-ticules sont celles du tableau3.8. Le tracé est réalisé pour les conditions de combustion détaillées dans le tableau3.7. On suppose ici que les particules quittent la surface du propergol sur l’image no1. Les marqueurs épais représentent la position de la particule au moment de faire l’acquisition des images. On peut voir que la distance parcourue par les particules entre l’image no 1 et l’image no2 est toujours inférieure à 50µm pour une cadence d’acquisition de 6 kHz, ce qui constitue une incertitude faible sur la position initiale.

On peut aussi s’intéresser à la distance parcourue par les particules si la cadence d’acquisition est deux fois plus faible, soit de 3 kHz, en estimant la distance entre l’image no 1 et l’image no 3. Dans ce cas, la distance parcourue pour les grosses particules (Microblast® B120) reste toujours

CHAPITRE 3. ANALYSE DES IMAGES D’OMBROSCOPIE

inférieure à 50µm, en revanche la distance des particules plus petites (Microblast® B205) est com-prise entre 100µm et 150 µm en fonction des conditions d’essais. Cela souligne l’importance des conditions d’acquisition sur les incertitudes de position initiale.

FIGURE3.39 – Distance maximale parcourue entre deux images pour deux tailles de particules différentes représentées en bleu et en rouge, et pour deux conditions d’essais différentes.

Extrapolation de la position du propergol non visible

Afin de pouvoir obtenir la distance qui sépare les particules de la surface sur le plus grand nombre de pistes uniques, il est intéressant d’estimer la position de la surface du propergol lorsque celle-ci n’est plus visible sur les images. Pour cela, nous avons extrapolé linéairement la position moyenne de la surface du propergol dans le temps à partir des instants précédents. Cela repose sur l’hypothèse que la vitesse de régression reste constante sur la durée de l’essai. Cette hypothèse est valable dans la mesure où la pression reste presque constante au cours des essais. Un moyen de vérifier si cette extrapolation est valable est d’estimer la position moyenne de la surface à partir de la moitié des images où la surface est visible, et de comparer la position extrapolée sur l’autre moitié des images où la surface est visible. L’erreur ainsi calculée étant inférieure à 2 px sur les séries étudiées, l’estimation d’une vitesse de régression constante du propergol semble une bonne approximation sur les échantillons étudiés et pour les conditions d’essais explorées.

Incertitudes liées à la géométrie 3D de la surface

Nous considérons ici l’incertitude liée à la projection en 2D de la surface 3D du propergol. Elle ne peut être résolue de manière rigoureuse sans données 3D complétant la projection, par exemple issues d’une mesure tomographique, un type de mesure qui n’a pas été envisagé durant ce travail. Cependant, une estimation de l’incertitude sur la distance à la surface peut être réalisée à l’aide du profil de la surface projetée sur l’image. En effet, un échantillon de propergol est un assemblage aléatoire de grains, on peut donc penser que la surface de l’échantillon se comporte de la même façon dans toutes les directions. Les hétérogénéités de relief visibles sur l’image sont donc représentatives des reliefs de la surface perpendiculairement au plan image. Pour estimer cette incertitude (notéeσ^{r el i e f}_Z ), nous avons choisi de prendre l’écart entre la hauteur minimale et maximale de la surface du propergol, divisé par deux, dont une illustration est donnée sur la figure3.40. De cette façon l’incertitudeσ^{r el i e f}_Z est comprise entre 50µm et 400 µm sur les diffé-rentes séries étudiées. Cette incertitude permet de renseigner sur l’erreur commise en mesurant la distance à la surface d’une particule.

CHAPITRE 3. ANALYSE DES IMAGES D’OMBROSCOPIE

FIGURE3.40 – Illustration de l’incertitude sur la distance à la surfaceσr el i e f

Z . Les droites horizontales en pointillés verts représentent les hauteurs minimale et maximale entre lesquelles évolue la surface du pro-pergol pour une image donnée.

Cependant la géométrie 3D de la surface a un autre impact sur l’incertitude des calculs de distance, associé à la situation de la particule verte dans le schéma de la figure3.37: une particule quittant un endroit de la surface du propergol situé légèrement plus bas et caché par la surface visible du propergol. Dans les faits, cette particule ne serait pas visible sur les premières images expérimentales et ne le serait qu’à partir de l’image 4, ce qui implique que la mesure de la distance à la surface est réalisée entre l’image 4 et l’image 5, donc avec une vitesse plus élevée.

Afin d’estimer la distance parcourue par les particules cachées par la surface visible du proper-gol, on peut calculer la vitesse maximale qu’elles peuvent avoir lorsqu’elles se situent au niveau de la surface visible du propergol. La vitesse maximale est obtenue pour le plus grand trajet caché possible, qui peut être estimé égal àσ^{r el i e f}_Z , ce qui nous donne dans le pire des cas une distance de 400µm. La solution de l’équation (3.19) du modèle 1D de la section3.5.1permet alors d’estimer la vitesse d’une particule en fonction de sa taille et de la condition de l’essai lorsqu’elle a parcou-rue la distance correspondant àσ^{r el i e f}_Z . Cette vitesse est ensuite utilisée pour la vitesse initiale V_p⁰ de l’équation (3.19) afin de déterminer la distance maximale parcourue pour des particules ayant déjà une vitesse lorsqu’elles dépassent la surface visible du propergol.

Estimation de l’incertitude totale de mesure de la distance à la surface

Le tableau3.9récapitule les incertitudes et distances maximales parcourues par les particules avant d’être détectées parMSERpour les essais inertes. Les distances maximales parcourues sont calculées à l’instant correspondant à l’estimation de la première vitesse de la piste pour une ca-dence d’acquisition de 6 kHz, qui sera l’utilisation principale du calcul de distance à la surface dans la section3.6.

Les différentes colonnes du tableau3.9représentent, de la gauche vers la droite : — le nom de l’essai ;

— la moyenne de l’incertitude liée à la projection 3D de la surface sur toutes les images de l’essai ;

— la cadence d’acquisition des séries en kHz ;

— la distance maximale parcourue par des particules passant la surface visible du propergol avec une vitesse nulle ;

— la distance maximale parcourue par des particules passant la surface visible du propergol avec une vitesse non nulle ;

— l’incertitude maximaleσt ot al e

Z combinantσr el i e f

Z etσc ad ence

CHAPITRE 3. ANALYSE DES IMAGES D’OMBROSCOPIE

TABLEAU3.9 – Tableau des incertitudes et distances maximales parcourues par les particules avant la pre-mière estimation de leur vitesse.

Essai σr el i e f Z Cadence σc ad ence Z à V⁰_p= 0 σc ad ence Z à V_p⁰6= 0 σt ot al e Z [µm] [kHz] [µm] [µm] [µm] Si1a-10b 214 6 88 332 546 Si1b-10b 317 6 88 382 699 Si1a-20b 65 6 56 165 230 Si2a-10b 84 3 56 190 274 Si2b-10b 80 6 14 80 160 Si2c-10b 59 6 14 71 130 Si2a-20b 191 6 9 90 281 Si2b-20b 135 3 37 171 306 Si3b-20b (B205) 129 6 56 207 336 Si3b-20b (B120) 129 6 9 76 205

On peut voir sur le tableau3.9que les incertitudesσ^{r el i e f}_Z estimées pour les essais Si1a-10b et Si1b-10b sont beaucoup plus importantes que les autres. Comme le montrent les images de la figure3.41, le propergol de ces deux séries ne régresse pas de façon homogène sur toute la lar-geur de l’image, ce qui entre en contradiction avec l’hypothèse de relief isotrope que nous avons faite. L’incertitude estimée est donc ici non représentative et cela se répercute directement sur les incertitudesσc ad ence

Z .

Sur les autres essais, on peut voir que les incertitudes de reliefσ^{r el i e f}_Z sont plus importantes pour les essais Si2 et Si3 que pour les essais Si1. On peut supposer que l’incertitude de reliefσ^{r el i e f}_Z est liée à la taille des particules présentes dans la composition du propergol. Les particules Micro-blast® B120 des essais Si2 et Si3 sont plus grosses que des essais Si1, et peuvent donc produire des variations de relief sur la surface du propergol plus importantes - c’est particulièrement le cas des essais Si2 et Si3 à 20 bar.

Si on s’intéresse à la colonne de l’incertitudeσc ad ence

Z , on peut remarquer que la taille des particules est un des deux critères prépondérants sur cette incertitude. En effet, sans tenir compte de l’incertitude des essais Si1a-10b et Si1b-10b, on peut voir que les essais Si1a-20b et Si3b-20b (B205) comportant des particules Microblast® B205 possèdent les incertitudesσc ad ence

Z les plus

importantes, ce qui est dû à la mise en vitesse plus rapide des petites particules. Le deuxième critère important pour évaluer l’incertitudeσc ad ence

Z est la cadence d’acquisition qui dans le cas des essais Si2a-10b et Si2b-20b est plus faible que pour les autres essais, donnant une incertitude σc ad ence

Z plus importante.

(a) Essai Si1a-10b (b) Essai Si1b-10b

FIGURE3.41 – Exemple d’images expérimentales où la régression de la surface du propergol n’est pas ho-mogène.

CHAPITRE 3. ANALYSE DES IMAGES D’OMBROSCOPIE