Étude de la convergence en maillage

La convergence en maillage consiste à vérifier que les résultats de la simulation numérique ne sont pas dépendants de la taille des cellules du maillage. En théorie, lorsque la taille des cellules tend vers zéro, les résultats obtenus par la simulation numérique tendent vers la solution continue du problème. C’est pourquoi il est important de diminuer la taille des cellules du maillage afin de se rapprocher le plus possible de la solution continue. Cependant une diminution de la taille des cellules entraîne une augmentation du nombre de cellules, donc une augmentation du nombre de calculs à effectuer pour obtenir le résultat de la simulation numérique et donc un temps (ou coût) de calcul plus long. C’est pourquoi il est important de trouver un bon compromis entre le coût du calcul et la précision de la solution approchée. La convergence en maillage est une façon de parvenir à ce compromis. La procédure consiste à réaliser un premier maillage (grossier) avec une taille de cellule assez grande et d’obtenir la solution approchée au problème posée par simulation numérique sur ce maillage. La taille des cellules du maillage est ensuite diminuée afin de réaliser un maillage plus fin et d’obtenir une nouvelle solution approchée. Ces deux solutions sont ensuite comparées afin de savoir si la solution obtenue sur le second maillage (plus fin) est différente de celle obtenue sur le premier maillage (grossier). Dans le cas où les solutions sont différentes, il faut recommencer le processus de raffinement du maillage, simulation et comparaison entre le second maillage (le maillage plus fin) et un nouveau maillage encore plus raffiné. Dans le cas où les solutions sont identiques (ou très proches), alors le maillage est suffisamment fin pour que la taille des cellules n’ait plus d’impact sur la solution de la simulation numérique.

Comparaison des maillages sur les champs Yget Vy

Dans notre cas, nous avons comparer les 3 raffinements du maillage no6, dont les caractéris-tiques sont rappelées dans le tableau4.9. Nous avons utilisé plusieurs éléments de comparaison pour vérifier la convergence en maillage. Le premier élément de comparaison a été de regarder le champ de fraction massique de gaz issu de la combustion du propergol Yg ainsi que le champ Vy

proche de la condition limite de paroi débitante (cf. figure4.10qui représente pour les 3 raffine-ments du maillage : le champ Yg sur les champs à gauche et le champ Vy avec une superposition du maillage à droite).

TABLEAU4.9 – Tableau des caractéristiques pour les différents niveaux de raffinement du maillage no6.

Maillage Type de Taille des cellules Nombre de

maillage proches surface [µm] cellules

no6 grossier (MG) hybride 210 19067

no6 moyen (MM) hybride 105 76290

no6 fin (MF) hybride 41 474566

Le champ Ygpour le maillage grossier est représenté sur la figure4.10a. On peut voir sur cette figure que l’écoulement se dirige suivant la normale à la condition limite de paroi débitante avec un gradient de mélange de Yg dans l’azote important entre l’écoulement de gaz brûlé et l’azote présent dans la chambre de combustion. En effet, la couche de mélange entre l’écoulement de gaz brûlé et l’azote semble se situer dans une épaisseur de mélange de 0.3 mm, ce qui entraîne aussi une diffusion importante des gaz brûlés dès la première cellule se situant au dessus de la condition limite de paroi débitante au niveau de la frontière entre les gaz brûlés et l’azote. La figure4.10breprésente le champ Vypour le maillage grossier. On peut voir sur cette figure, que la vitesse de l’écoulement des gaz brûlés suivant la composante Y se situe entre 3 et 4 m/s, tandis que la zone où est uniquement présent l’azote correspond à des vitesses faibles (ici filtré par le code couleur qui ne tient pas compte des vitesses inférieures à 3 m/s). On peut aussi voir que la zone de transition entre le cœur de l’écoulement de gaz brûlé et l’azote n’est pas bien défini à cause de la taille importante des mailles.

CHAPITRE 4. COMPARAISON DES RÉSULTATS SUR LES PARTICULES INERTES AVEC LA SIMULATION NUMÉRIQUE

Le champ Yg pour le maillage moyen est représenté sur la figure4.10c. La couche de mélange entre Yg et l’azote est moins large que dans le cas du maillage grossier. En effet, l’épaisseur de mélange semble plus large (épaisseur autour de 0.4 mm) proche de la condition limite de paroi débitante (pour une distance Y comprise entre 5 et 6 mm). Cette épaisseur de diffusion s’élargit brusquement (épaisseur X comprise entre 1 mm et 2 mm) à partir de Y = 6.5 mm ce qui semble sur-prenant et peu physique car on s’attendrait à un élargissement de l’épaisseur de diffusion continu. On retrouve aussi une importante diffusion entre les gaz brûlés et l’azote dans les 2 cellules situées les plus à droite sur la condition limite de paroi débitante. La figure4.10dreprésente le champ Vy

pour le maillage moyen. On retrouve le même échelle de teintes que pour la figure4.10b, c’est-à-dire une gamme de Vycomprise entre 3 et 4 m/s. On peut voir que la variation de Vy entre les gaz brûlés et l’azote est plus progressive et semble mieux définie.

Le champ Yg pour le maillage fin est représenté sur la figure4.10e. Cette fois il n’y a pas d’élar-gissement brusque de l’épaisseur de mélange entre la fraction massique de gaz brûlés et l’azote, l’épaisseur de couche de mélange augmente selon une tendance linéaire, ce qui est plus repré-sentatif. Plus quantitativement l’épaisseur de mélange est de 0.1 mm au niveau de la condition limite, et s’élargit de façon continue pour atteindre une épaisseur de 0.8 mm à une distance de la surface du propergol de 3 mm (ou Y = 8 mm). Aussi, on peut voir que la Ygest proche de la valeur 0.9 (représenté par la couleur orange) au niveau de la condition limite d’injection jusqu’au bord de l’échantillon de propergol. Pour le maillage grossier et moyen ce n’était pas le cas à cause de la taille des mailles qui imposait une diffusion plus importante. Ce qui impacte aussi l’allure de la Vy

des gaz brûlés sur la figure4.10fqui est mieux définie.

Comparaison des maillages sur les profils de vitesse des particules

Le second élément de comparaison prend en compte l’objectif de réaliser des comparaisons sur les particules dans l’écoulement, et plus précisément sur les profils de vitesse des particules. Il est alors intéressant de rajouter les profils de vitesse de la phase dispersée dans notre étude sur la convergence en maillage. De plus, comme nous l’avons évoqué dans la sous-section4.3.1, l’ajout de la phase dispersée par une approche Lagrangienne dans l’écoulement stationnaire représente des temps de calcul très court. Nous avons donc simulé le transport des particules de la composi-tion Si1 depuis la surface du propergol dans l’écoulement avec le solveur SPARTE. Nous avons fait le choix de prendre le D₃₂de la distribution de référence (D₃₂= 36.9µm) pour représenter la taille des particules. Le D32est un choix couramment fait pour représenter la taille des particules dans les simulations de cas réels. La condition limite de paroi débitante SPARTE nous permet d’injecter des particules avec une vitesse nulle. Le reste des paramètres utilisés pour représenter la phase dispersée n’est pas détaillé ici, car cela fait l’objet de la sous-section4.4.1.

L’utilisation des particules inertes dans cette étude de convergence en maillage permet de se rapprocher du résultat que l’on souhaite obtenir pour les comparaisons avec les mesures expéri-mentales, mais reste uniquement à des fins de validation de la convergence en maillage, c’est-à-dire comparer les trajectoires de particules identiques et modélisées avec les mêmes paramètres du solveur SPARTE sur des raffinements de maillages différents. De cette façon, nous pouvons ob-tenir les profils moyennés de vitesse des particules pour les 3 raffinements du maillage afin de vérifier la convergence en maillage. Cette comparaison entre les profils de vitesse est représentée sur les graphiques4.11aet4.11bde la figure4.11. Le graphique4.11areprésente les profils moyen-nés de vitesse dans la zone de visualisation du montage d’ombroscopie (environ 2 mm au dessus de la surface du propergol dans le cas d’une résolution spatiale autour de 3µm/px pour des images de 700 px de hauteur), et le graphique4.11bdans une zone de visualisation plus grande (environ 15 mm au dessus de la surface du propergol). Dans le champ de visualisation du montage d’om-broscopie, nous pouvons voir que les 3 profils de vitesse se superposent très bien, en revanche dans le champ de visualisation élargi (cf. graphique4.11b) des écarts légers sur les profils moyen-nés de vitesse sont présents entre les différents raffinements du maillage à partir de 5 mm de la condition limite de paroi débitante. On peut aussi remarquer qu’à partir de 9 mm de distance de la condition limite de paroi débitante, il y a un écart plus important entre les profils moyennés de

CHAPITRE 4. COMPARAISON DES RÉSULTATS SUR LES PARTICULES INERTES AVEC LA SIMULATION NUMÉRIQUE

(a) Champ de Y_gpour le maillage grossier. (b) Champ de V_ypour le maillage grossier.

(c) Champ de Y_gpour le maillage moyen. (d) Champ de V_ypour le maillage moyen.

(e) Champ de Y_gpour le maillage fin. (f ) Champ de V_ypour le maillage fin.

FIGURE4.10 – Comparaison des champs de Y_get V_ypour 3 raffinements de maillage. Les échelles spatiales sont en mètres.

CHAPITRE 4. COMPARAISON DES RÉSULTATS SUR LES PARTICULES INERTES AVEC LA SIMULATION NUMÉRIQUE

vitesse des maillages grossier et moyen, et le maillage fin. En effet, la vitesse des particules semble être plus rapide dans le cas du maillage fin que dans le cas des autres maillages. Ce qui nous amène à la conclusion qu’il est nécessaire de continuer de raffiner le maillage afin de vérifier sa conver-gence pour des mesures au delà de 5 mm de distance de la surface du propergol, en revanche en dessous de cette distance la convergence en maillage est validée pour les 3 raffinements du maillage. Nous nous limiterons donc donc ici aux 3 tailles de maillage commentées.

(a) Champ de visualisation du montage d’ombroscopie.

(b) Champ de visualisation élargi.

FIGURE 4.11 – Comparaison des profils moyennés de vitesse des particules pour les 3 raffinements de maillage.

Conclusion de l’étude de la convergence en maillage

En conclusion de l’étude sur la convergence en maillage, le maillage grossier ne permet pas de définir précisément l’écoulement de gaz brûlé comme le montrent les figures4.10aet4.8, en revanche cette imprécision ne semble pas perturber le profil moyenné des particules dans la zone de visualisation. Le maillage moyen apporte une meilleure représentation de l’écoulement même s’il reste encore quelques imprécisions comme par exemple dans la couche de mélange. Enfin, le maillage fin apporte une couche de mélange de Yg plus représentative entre l’écoulement de gaz brûlé et l’azote. Aussi, les profils moyennés de vitesse des particules sont très proches pour les 3 raffinements de maillage dans la zone de visualisation du montage d’ombroscopie, mais ne le sont plus en dehors de cette zone. Ce qui indique de devoir continuer l’étude sur la convergence en maillage pour des études sur les particules en dehors du champ de visualisation du montage d’ombroscopie. Pour l’étude sur les particules inertes dans l’écoulement (cf. section4.4), nous utilisons le maillage fin.

CHAPITRE 4. COMPARAISON DES RÉSULTATS SUR LES PARTICULES INERTES AVEC LA SIMULATION NUMÉRIQUE