Correction du biais d’estimation de la taille des particules

Le plan de mise au point de la caméra est un plan perpendiculaire à l’axe optique où les par-ticules vont apparaître nettes. En revanche, lorsque les parpar-ticules s’éloignent du plan de mise au point, elles apparaissent floues et par conséquent la mesure de leur taille est surévaluée. La mé-thode utilisée pour corriger le biais d’estimation de la taille des gouttes en défaut de mise au point a été développée dans l’articleBLAISOTet YON(2005).

CHAPITRE 3. ANALYSE DES IMAGES D’OMBROSCOPIE

Modèle d’image pour un objet sphérique

La méthode deBLAISOTet YON (2005) utilise un modèle d’image pour un objet sphérique, formé par la convolution entre la réponse impulsionnelle incohérente du système optique et une fonction qui décrit la manière dont la lumière est absorbée par l’objet sphérique. La lumière diffu-sée par l’objet sphérique est représentée par un profil "tophat" avec une valeur plus faible à l’inté-rieur du cercle qu’à l’extél’inté-rieur (objet sombre sur fond clair). Cette fonction dépend de la taille de l’objet et de la façon dont l’objet transmet la lumière : plus l’objet est absorbant, plus son niveau de signal sera sombre par rapport au niveau de fond de l’image. Dans le cas d’un éclairage inco-hérent, la fonction de transfert du système optique peut être décrite par une gaussienne fonction de la demi-largeur de la réponse impulsionnelle qui ne dépend que du défaut de mise au point se-lon l’hypothèse dePENTLAND(1987). Le résultat de ce produit de convolution modélise l’intensité lumineuse transmise par une particule au niveau du capteur de la caméra en fonction de la taille de l’objet, de son taux de transmission, de la réponse impulsionnelle du système optique et de l’intensité de la lumière éclairant l’objet. Une représentation du profil théorique obtenu est donné par la figure3.25où les paramètres sont :

— imax: niveau d’intensité lumineuse du fond de l’image ;

— imi n: niveau d’intensité lumineuse le plus sombre du profil, obtenu au centre de l’objet ; — h = imax− imi n, i.e. l’amplitude du phénomène d’absorption ;

— l : niveau d’intensité lumineuse relatif compris entre 0 et 1. Le cas l = 0 correspond au niveau

imax, et le cas l = 1 correspond au niveau imi n;

— rl : rayon de la particule pour le niveau d’intensité lumineuse relatif l . Comme le montre la figure3.25, le niveau d’intensité absolu pour ce diamètre s’écrit ir e f = imi n+ l .h.

FIGURE3.25 – Profil théorique de l’image d’une goutte en absorption. Figure issue deBLAISOTet YON(2005).

Deux remarques peuvent être faites sur ce modèle. La première est que le modèle n’est va-lable que pour des objets sphériques, la correction n’est donc pas applicable pour les agrégats de particules en défaut de mise au point. La seconde est que le modèle ne prend pas en compte le rayonnement propre d’une goutte d’aluminium en combustion. Il devrait être complété pour ce cas en s’appuyant sur des études d’émission thermique de gouttes en combustion comme cela est proposé par exemple dans l’articleHARRISONet BREWSTER(2009). Dans ce chapitre, nous consi-dérons uniquement le cas plus simple des particules inertes.

Les différentes étapes de la méthode de correction de la taille des particules

Le principe de la correction de la taille des particules proposée dansBLAISOTet YON (2005) est d’utiliser le contraste mesuré d’une particule pour définir la correction à appliquer. A partir de considérations théoriques, les auteurs définissent un facteur correctif entre le rayon mesuré dans

CHAPITRE 3. ANALYSE DES IMAGES D’OMBROSCOPIE

l’image et le rayon de la particule avant l’imagerie, facteur qui dépend du contraste normalisé de la particule considérée. La fonction modélisant cette dépendance, polynomiale, est représentée par la courbe en trait noir de la figure3.26ci-dessous.

Le contraste mesuré d’une particule s’écrit :

C =^{imax− imi n}

imax+ imi n

.

Selon le modèle deBLAISOTet YON(2005) ce contraste résulte de la taille réelle de la particule, de la largeur de laPSFet du taux de transmissionτ d’une particule, qui est supposé identique pour toutes les particules d’une séquence (dans le cas inerte). Le taux de transmissionτ est identifié sur la particule de contraste Cmax maximal de la séquence, pour laquelle on suppose que laPSFn’a que peu d’influence. Il s’écrit alors :

τ =^{1 − Cmax} 1 + Cmax

On définit alors le contraste normalisé C0par une correction du contraste mesuré dépendant de τ :

C0= ^C

(1 − τ)(C + 1) − C ^(3.16)

Avec cette correction, les particules ont un contraste normalisé compris entre 0 et 1, la particule de contraste maximal ayant un contraste normalisé de 1.

Au final, dans le cas d’un objet détecté parMSER, la correction de diamètre s’effectue donc ainsi :

1. estimer le contraste maximal Cmax sur toutes les particules de la séquence, en déduire τ; 2. pour chaque objet détecté parMSERet classifié comme une particule :

(a) évaluer le diamètre rmesde l’objet : voir la section3.4.3;

(b) mesurer le contraste C à l’aide du niveau sombre de l’objet et du niveau de fond lu-mineux, évalué sur les pixels du fond lumineux proches de l’objet, puis déduire le contraste normalisé C0par l’équation (3.16)

(c) déduire la valeur de la taille réelle rr eel de la particule de cette valeur de C0en utilisant la courbe polynomiale rr eel/rmes= f (C0) de la figure3.26

FIGURE3.26 – Modèle théorique du facteur de correction du diamètre des gouttes r_{r eel}/rmesen fonction du contraste normalisé C₀issu deBLAISOTet YON(2005). Les "x" bleus représentent les facteurs mesurés sur les disques calibrés.

CHAPITRE 3. ANALYSE DES IMAGES D’OMBROSCOPIE

Évaluation de la méthode de correction sur le montage d’ombroscopie

La méthode de correction précédente a été utilisée sur des images de la mire à disques calibrés présentées dans le chapitre2en figure2.3. Les points correspondant aux mesures d’étalonnage réalisées avec les disques calibrés sont représentés par des "x" bleus dans la figure3.26. On pourra noter que les mesures d’étalonnage sont légèrement supérieures au modèle théorique, ce qui in-dique une tendance de ce dernier à surévaluer la correction à appliquer sur la taille des particules pour nos conditions expérimentales.

La figure3.27représente les diamètres des disques calibrés à plusieurs positions le long de l’axe optique (le disque calibré de diamètre 300µm n’est pas représenté sur cette figure pour faciliter la lecture des mesures). Les "+" représentent la mesure du diamètre des disques calibrés (i.e. avant correction), et les "x" représentent les diamètres corrigés par la méthode. On peut ainsi voir que la correction permet de rapprocher la mesure de la taille des disques de leur taille réelle représentée par les lignes horizontales de la grille sur la figure3.27.

FIGURE3.27 – Diamètres des disques calibrés en fonction de la distance au plan de mise au point. Les "+" représentent la mesure du diamètre des disques calibrés et les "x" représentent les diamètres corrigés par la méthode deBLAISOTet YON(2005).

La figure3.28représente l’erreur relative commise sur la correction du diamètre des disques calibrés. On peut voir que l’erreur relative est inférieure à 5 % pour l’ensemble les disques de 30µm à 300µm (les taches calibrées inférieures à 20 µm sont difficiles à distinguer desFPsur nos images et donc difficiles à exploiter) jusqu’à une distance de 0.5 mm du plan de mise au point. Les épais-seurs des échantillons testées est de l’ordre de 1.0 à 1.2 mm d’épaisseur, la tolérance de 0.5 mm autour du plan de mise au point correspond bien aux conditions expérimentales. De cette façon on peut voir que la méthode de correction utilisant le modèle théorique deBLAISOTet YON(2005) permet de corriger les tailles de particules visées avec une erreur relative de l’ordre de 5%.

La correction utilisant le modèle théorique est ensuite appliquée sur les particules détectées par la méthodeMSER. Un exemple sur une particule en défaut de mise au point est présenté sur la figure 3.29. Le cercle rouge correspond au diamètre estimé avant correction et le cercle bleu au diamètre estimé après correction. On peut ainsi voir que la correction permet bien de ne plus prendre en compte le flou autour de la particule et donc de diminuer la taille estimée pour la particule.

L’application de cette correction sur tous les objets détectés au cours d’un essai par la méthode MSERest représentée par la figure3.30. La figure3.30représente laPDFdes particules de l’essai Si1a-20b avant et après la correction du biais d’estimation de la taille des particules en défaut de mise au point. On peut voir un décalage de laPDFvers les petits diamètres après la correction, ce qui donne, sur cette séquence, un très bon accord avec laPDFde référence.

CHAPITRE 3. ANALYSE DES IMAGES D’OMBROSCOPIE

FIGURE3.28 – Erreur relative sur la correction du diamètres des disques calibrés en fonction de la distance au plan de mise au point.

FIGURE3.29 – Illustration de la méthode de correction de l’estimation de la taille des particules en défaut de mise au point. Le cercle rouge représente la taille de la particule après la détectionMSER. Le cercle bleu représente la taille de la particule après correction.

FIGURE3.30 –PDFen nombre de la taille des particules de l’essai Si1a-20b avant correction du biais de mesure de la taille des particules en rouge et après correction du biais de mesure de la taille des particules en bleu. La mesure du diamètre utilise le diamètre équivalent, cf. section3.4.3

CHAPITRE 3. ANALYSE DES IMAGES D’OMBROSCOPIE