Enonc´ ´ e des th´ eor` emes

(f_i(r^ε+Re^ε)−m_i)(u^ε_i +Ue_i^ε) et, pour i= 0, F0(X^ε, Y^ε, ε)₀ = Z Ω I− Z Ω m₀(r^ε+Re^ε) − N X i=1 Z Ω f_i r^ε+Re u^ε_i +Ue_i .

En vertu du th´eor`eme 5.1.1, WWW<sup>ε</sup> est born´ee en norme L<sup>∞</sup> ind´ependamment de t et ε. Quitte `a tronquer les fonctions F0 et G1, on peut les supposer born´ees uniform´ement dans respectivementRN+1etL_∞(Ω)^N+1. Les fonctions ainsi obtenues sont globalement lipschitziennes de X×Y ×(0,1) dans respectivementRN+1 etL₂(Ω)^N+1.

On sait que les solutions de l’´equation de diffusion pure

∂_tWWW = ^K

ε^{WWW;∂nWWW = 0 ;WWW(0)}∈L^N₂ ⁺¹(Ω)

tendent exponentiellement vite en tempst/εvers un ´equilibre constant en espace, c’est-`

a-dire vers un ´el´ement de E. Le syst`eme, sous sa forme lente-rapide, d´ecrit d’une part la dynamique sur E et d’autre part la dynamique sur l’orthogonal F du noyau. Ces deux dynamiques sont coupl´ees. Si la composante surF a tendance `a converger vers un ´

equilibre, elle modifie la dynamique sur E qui, en retour, modifie celle surF. Lorsque

ε → 0, la conjonction des deux dynamiques conduit `a s’´equilibrer vers une vari´et´e centrale ε proche de E et param´etr´ee parx^ε ∈E.

5.2 Le th´eor`eme de la vari´et´e centrale

Nous ´enon¸cons ici le th´eor`eme de la vari´et´e centrale (Th´eor`eme 5.2.1) utilis´e dans cette th`ese. Celui-ci montre l’existence d’une vari´et´e invariante, pour le syst`eme sous la forme lente-rapide, permettant de r´eduire l’´etude de la dynamique `a celle du probl`eme r´eduit `a cette vari´et´e. Nous ´enon¸cons ensuite les estimations pr´ecisant l’erreur entre la dynamique du syst`eme original et celle du syst`eme r´eduit (Th´eor`eme 5.2.2).

5.2.1 Enonc´^´ e des th´eor`emes

Th´eor`eme 5.2.1. [Th´eor`eme de la vari´et´e centrale]

5.2. LE TH´EOR`EME DE LA VARI´ET´E CENTRALE 93 G0(X, Y, ε) ∈ C¹(E ×F ×[0,1];F). Soit K un op´erateur de domaine dense dans F,

D(K) ⊂ F . On suppose que K g´en`ere un semi-groupe compact analytique exp(tK)

d’op´erateurs lin´eaires born´es sur F et qu’il existe µ >0 tel que

∀t ≥0, ∀ε∈(0,1], ^exp t ε^K Y F ≤CkYkFexp −µ^t ε .

Pour toute condition initiale, (x₀, y₀) ∈ E ×F et, pour tout ε ∈ (0,1], on d´efinit

X^ε(t, x₀, y₀) ≡ X^ε(t) et Y^ε(t, x₀, y₀) ≡ Y^ε(t) comme la solution⁵, pour t ≥ 0, du syst`eme diff´erentiel⁶

(S_ε)    d dtX^ε(t) = F0(X^ε(t), Y^ε(t), ε), d dtY^ε(t) = G1(X^ε(t), Y^ε(t), ε) + ¹_εKY^ε(t) X^ε(0) =x₀, Y^ε(0) =y₀. (5.2.1)

On suppose que les solutions de (S_ε) v´erifient, pour tout t∈[0, T],

kX^ε(t)kE+kY^ε(t)kF ≤C_T,

o`u C<sub>T</sub> est ind´ependant de ε. Alors, il existeε<sub>0</sub> >0 tel que, pour tout ε < ε<sub>0</sub>, le syst`eme

(S_ε) admet une vari´et´e centrale Cε dans le sens suivant.

Il existe une fonction h(x, ε) ∈ C¹(E×[0, ε₀];F) telle que, pour tout ε ∈]0, ε₀], l’en-semble Cε = {(x, h(x, ε));x∈ E} est invariant sous le semi-flot g´en´er´e par (S_ε) pour

t ≥0. De plus, kh(x, ε)kL∞(E,F)=O(ε) lorsque ε→0.

Remarque 5.2.1. Cette version du th´eor`eme de la vari´et´e centrale est similaire `a celle ´

enonc´ee dans [15] dans le cadre d’un op´erateur K int´egral. Dans notre ´etude, K est un op´erateur elliptique de la forme K =diag(A_i) avec conditions de Neumann sur le bord. E est l’espace des constantes et F des fonctions `a moyenne nulle. K est donc d´efini de D(K) = {W ∈ (H<sup>2</sup>)<sup>N+1</sup>, ∂<sub>n</sub>W = 0} ∩F dans F et non pas de F dans lui-mˆeme. Cependant, D(K) ´etant dense dans F, K engendre un semi-groupe analytique d’op´erateurs deF dans lui-mˆeme [38, 66] ce qui est suffisant pour prouver le th´eor`eme.

Remarque 5.2.2. Nous pouvons tout aussi bien ´enoncer ce th´eor`eme (qui est cette fois exactement celui ´enonc´e dans [15]) dans le cadre d’un mod`ele discret en espace. Les id´ees principales et les calculs sont exactement les mˆemes ; les questions d’espaces fonctionnels ´etant plus simples. Le mod`ele discret est d´etaill´e en annexe de ce chapitre.

Ce th´eor`eme assure l’existence d’une vari´et´eCε invariante pour le syst`eme (S_ε) et pa-ram´etr´ee parX^ε∈E qui est solution d’un syst`eme de dimension plus petite<sup>7</sup>. Dans les 5. Cette solution existe et est unique, au sens des mild-solutions, d’apr`es les hypoth`eses de r´egularit´e sur les fonctions F0 etG0 et les hypoth`eses surK. De plus, c’est une solution classique au sensL2.

6. Un tel syst`eme est dit “lent-rapide”. La variable lente estXε

∈Eet la variable (`a d´ecroissance) rapide estYε

∈F.

94

CHAPITRE 5. MIGRATION RAPIDE DANS LES PROBL`EMES DISCRET ET CONTINU applications,Eest le plus souvent le noyau de l’op´erateurKe (d´efini surD(Ke)∈E×F) etF son suppl´ementaire, stable par Ke. Dans cette situation,K =Ke<sub>|F</sub>. La vari´et´e cen-trale est ainsi param´etr´ee par une quantit´e X(t)∈ ker(Ke), o`uX(t) est solution d’un syst`eme d’´equations diff´erentielles ordinaires, appel´e syst`eme r´eduit. Celui-ci approche, dans un sens que nous pr´ecisons ci-dessous, le probl`eme d’origine. Ainsi, la dynamique de (S<sub>ε</sub>) est d´ecrite par un probl`eme plus simple.

Une fois le th´eor`eme de la vari´et´e centrale ´etabli, d´efinissons les mod`eles r´eduits

S_ε^[∞] d dt^X ε,[∞](t) = F0(X^ε,[∞](t), h(X^ε,[∞](t), ε), ε), Y^ε,[∞](t) =h(X^ε,[∞](t), ε) et S_ε^[0] d dt^X ε,[0](t) =F0(X^ε,[0](t),0, ε), Y^ε,[0](t) = h(X^ε,[0](t), ε).

Remarque 5.2.3. Le calcul exact de la vari´et´e centrale est le plus souvent hors de port´ee. Une id´ee pratique est d’en faire des calculs approch´es. Le th´eor`eme 5.2.1 as-sure que h(x, ε) = O(ε). Donc, en premi`ere approximation, h ≈ 0 et on obtient le syst`eme r´eduit

Sε^[0]

. En fait, h(x, ε) admet un d´eveloppement asymptotique, de la forme h(x, ε) = h^r(x, ε) +O(ε^r), calculable explicitement enε et de mˆeme ordre que la r´egularit´e des fonctionsF0etG0. L’approximationh(x, ε)≈h^r(x, ε)conduit `a l’´ecriture de syst`emes r´eduits d’ordre r [15]. Nous nous limitons ici au cas r= 0.

Le th´eor`eme suivant d´ecrit l’erreur entre les syst`eme r´eduits

S_ε^[∞] et

S_ε^[0] et le probl`eme d’origine (S_ε).

Th´eor`eme 5.2.2. Sous les hypoth`eses et notations du th´eor`eme 5.2.1, pour toute constante 0 < µ⁰ < µ et toute condition initiale (x₀, y₀) ∈ E×F, on a les propri´et´es suivantes.

(i) Convergence exponentielle vers la vari´et´e centrale.

Il existe une constante C > 0 telle que

∀t ≥0, kY^ε(t)−h(X^ε(t), ε)kF ≤Cexp −µ^0t ε .

(ii) Erreur pour le syst`eme

Sε^[∞]

.

Pour tout T > 0, il existe une condition initiale x^ε₀, d´ependante de T et ε-proche de x₀, et une constante C_T >0, telles que les solutions du probl`eme r´eduit

∀t∈[0, T], kX^ε(t)−X^ε,[∞](t)kE +kY^ε(t)−Y^ε,[∞](t)kF ≤C_Texp −µ^0t ε ,

o`u C_T >0 est ind´ependante de t et de ε. De plus, s’il existe C >0 ind´ependante detetεtelle que, pour tout t >0,kX^ε(t)kE ≤C, alors on peut prendreT = +∞.

5.2. LE TH´EOR`EME DE LA VARI´ET´E CENTRALE 95

(iii) Erreur pour le syst`eme

Sε^[0]

.

Pour tout T > 0, il existe une condition initiale x^ε₀, d´ependante de T et ε-proche de x₀, et une constanteC_T >0, telles que les solutions du probl`eme r´eduit

S_ε^[l]

, avec X^ε,[l](0) =x^ε₀, satisfont l’estimation

∀t∈[0, T], kX^ε(t)−X^ε,[0](t)kE+kY^ε(t)−Y^ε,[0](t)kF ≤C_T ε+exp −µ^0t ε ,

o`u C_T >0 est ind´ependante de t et de ε. De plus, s’il existe C >0 ind´ependante detetεtelle que, pour tout t >0,kX^ε(t)kE ≤C, alors on peut prendreT = +∞.

Ce th´eor`eme nous dit donc que, quitte `a modifier les conditions initiales, les syst`emes r´eduits approchent bien le mod`ele d’origine d`es lors que ε est suffisamment petit. Ce th´eor`eme nous permet de d´ecrire le comportement qualitatif du probl`eme originel en travaillant sur les syst`emes r´eduits de dimension inf´erieure. Notons que le syst`eme

Sε^[∞]

n’est pas, en pratique, calculable explicitement. Les calculs deviennent tr`es ra-pidement difficiles et, le plus souvent, une approximation `a l’ordre 0 ou 1 suffit. Nous n’effectuons que le calcul de h `a l’ordre 0, c’est-`a-dire que l’on approche hpar 0 ce qui induit une erreur d’ordre 1 en ε.