Cas des faibles migrations

si et seulement si 0 est valeur propre pour au moins un des sous-syst`emes (4.1.2). L’hyperbolicit´e des solutions de chaque sous-syst`eme assure donc l’hyperbolicit´e de la solution du syst`eme complet. De mˆeme, une solution est stable si et seulement si sa composante sur chaque patch est stable. Une solution stable est donc une solution dont la composante sur chaque patch est une solution stable du sous-syst`eme (4.1.2) correspondant. Chaque patch ayant une unique solution stable, S0

poss`ede ´egalement cette propri´et´e.

4.2 Cas des faibles migrations

On s’int´eresse au syst`eme Sε

lorsque ε est petit. Nous montrons que, lorsque le syst`eme sans migration (ε = 0) admet un ´equilibre positif ou nul lin´eairement asympto-tiquement stable, alors il en va de mˆeme pour Sε

lorsqueε >0 est suffisamment petit. L’existence d’un ´equilibre asymptotiquement stable est une cons´equence imm´ediate du th´eor`eme d’inversion locale. La difficult´e est de montrer que ce nouvel ´equilibreWWW(ε) est positif ou nul, et est donc un ´equilibre biologiquement admissible.

Proposition 4.2.1. Supposons que le syst`eme (S0) admet un ´equilibre

WWW₀ = (RRR(0), UUU₁(0),· · · , UUU_N(0))

hyperbolique stable (resp. instable). Alors il existe ε₀ > 0 tel que, pour tout |ε| < ε₀, le syst`eme Sε admet un ´equilibre WWW(ε) hyperbolique stable (resp. instable) v´erifiant

WWW(0) =WWW₀. De plus ε7→WWW(ε) est de classe C^P.

Preuve : NotonsWWW = (RRR, UUU₁,· · · , UUU_N) et HHH(ε, WWW) =HHH₀(WWW)−εKKKWWW, avec

H HH₀(WWW) = −III+PN i=1FFF_i(RRR)UUU_i+mmm₀RRR (mmm₁−FFF_i(RRR))UUU₁ etKKK =diag((KKK₀, KKK₁,· · · , KKK_N)). Le syst`eme Sε ´equivaut `aHHH(ε, WWW) = 0.

Soit WWW(0) un ´equilibre hyperbolique stable (resp. instable) de HHH₀(WWW) = 0 et L =

D_WWWH₀(WWW(0)). L’hyperbolicit´e de WWW(0) assure que L est inversible. Ainsi, par le th´eor`eme d’inversion locale, il existe ε₁ > 0 tel que, pour tout |ε| < ε₁, il existe

WWW(ε),HHH(ε, WWW(ε)) = 0. De plus,HHH est de classeC^P en (ε, WWW), doncWWW(ε) est de classe

C^P enε.

Enfin, le spectre de Lε=D_WWWH(ε, WWW(ε)) est dans le voisinage du spectre deL. Ainsi, quitte `a prendre ε₀ < ε₁ suffisamment petit, pour tout |ε|< ε₀,WWW(ε) est un ´equilibre hyperbolique stable (resp. instable).

Proposition 4.2.2. Supposons queWWW(0) = (RRR(0), UUU₁(0),· · · , UUU_N(0)) est une solution hyperbolique de(S0)telle queUUU_i ≡0. SoitWWW(ε) = (RRR(ε), UUU₁(ε),· · · , UUU_N(ε))la solution construite dans la proposition 4.2.1. AlorsUUU_i(ε)≡0.

4.2. CAS DES FAIBLES MIGRATIONS 75

Preuve : Sans perte de g´en´eralit´e, on peut supposer queUUU_N(0) ≡0. Alors (RRR(0), UUU₁(0),· · · , UUU_N−1(0))

est une solution hyperbolique du syst`eme

III−^PN_i=1FFF_i(RRR)UUU_i−mmm₀RRR = 0

(FFF_i(RRR)−mmm_i)UUU_i = 0, i= 1,· · · , N −1. ^(4.2.1)

Par la proposition 4.2.1, le syst`eme

III−^PNi=1FFF_i(RRR)UUU_i−mmm₀RRR+εKKK₀ = 0

(FFF_i(RRR)−mmm_i)UUU_i+εKKK_iUUU_i = 0, i= 1,· · ·, N −1 ^(4.2.2) admet une solution (RRR(ε), UUU₁(ε),· · · , UUU_N−1(ε)). Par suite, (RRR(ε), UUU₁(ε),· · · , UUU_N−1(ε),0) est une solution de (SN). Par unicit´e de la solution dans le voisinage deWWW(0), on obtient

UUU_N(ε)≡0.

Comme la solution obtenue est de classe C^p, on peut ´ecrire, dans le voisinage de

ε= 0, RRR^j(ε) =PP k=0ε^{k rrr} j k k! +o(ε^P) avec rrr^j_k=h dk dεkRRR^j(ε)i |ε=0 et UUU_i(ε) = PP k=0ε^{k uuu} j i,k k! o(ε^P) avecuuu^j_i,k =h dk dεkUUU^j(ε)i |ε=0.

Comme, pour toutj = 1,· · · , P, on aRRR^j(0)>0, il vientRRR(ε)>0. En revanche,UUU_i(0) n’est pas n´ecessairement strictement positif ; certaines de ses composantes pouvant ˆetre nulles. On a vu, dans la proposition 4.2.2 pr´ec´edente que, siUUU_i(0)≡0, alorsUUU_i(ε)≡0. SiUUU_i(0)6≡0, on note, sous r´eserve d’existence,

k(i, j) = min{0≤k ≤P, uuu^j_i,k 6= 0}.

UUU^j_i(ε) s’´ecrit UUU^j_i(ε) = ε^k(i,j)uuu^j_i,k(i,j) +o(ε^k(i,j)). Par cons´equent, si ε est suffisamment petit, UUU^j_i(ε) est du signe de uuu^j_i,k(i,j). Pour montrer l’existence de ce nombre k(i, j) et calculer le signe de uuu^j_i,k(i,j), nous utilisons le lemme suivant.

Lemme 4.2.3. Soit KKK une matrice irr´eductible de termes non diagonaux positifs ou nuls. SoitVVV un vecteur positif ou nul.

Si VVV 6≡0, alors il existe un entier k(j)>0 ne d´ependant que de K, j etVVV v´erifiant – ∀0≤k < k(j), (KKK^kVVV)_j = 0,

– (KKK^k(j)VVV)_j >0.

Preuve : Supposons que KKK soit une matrice irr´eductible et positive (c’est-`a-dire dont tous les coefficients sont positifs ou nuls). Notons, pour tout m > 0,KKK^m = (k^[_ij^m])_ij. Il est connu [78] que l’irr´eductibilit´e deKKK ´equivaut au fait que, pour tout (i, j), il existe

76 CHAPITRE 4. MIGRATION LENTE DANS LE MOD`ELE DISCRET

m(i, j) tel que k_ij^[m(i,j)] >0. Soit VVV un vecteur v´erifiant VVV ≥ 0 etVVV_j = 0. On a, pour tout m,

(KKK^mVVV)_j =X i

k_ji^[m]VVV_i. (4.2.3) On en d´eduit que

siVVV 6≡0, il existek(j)≥0 tel que si 0≤k < k(j), (KKK^kVVV)_j = 0,

(KKK^[k(j)]VVV)_j >0. ^(4.2.4)

Maintenant, supposons queKKKsoit irr´eductible de termes non diagonaux positifs ou nuls mais dont certains termes diagonaux peuvent ˆetre n´egatifs. Soit I la matrice identit´e de mˆeme taille queKKK etM >0 suffisamment grand pour queM I+KKK soit une matrice positive.

Pour tout vecteur VVV et k ≥0, on a

((M I+KKK)^kVVV)_j = (KKK^kVVV)_j + X

0<s<k

C_k^sM^k−s(K^sVVV)_j+M^kVVV_j.

Ainsi, pour tout m >0 tel que pour tout k < m, (KKK^kVVV)_j = 0, on a ((M I+KKK)^mVVV)_j = (KKK^m)VVV_j.

L’application de (4.2.4) `a la matrice (M I+KKK) termine la preuve.

Ce lemme permet de calculer le signe des solutions obtenues dans la proposition 4.2.1.

Th´eor`eme 4.2.4. On suppose queWWW(0) = (RRR(0), UUU₁(0),· · · , UUU_N(0)) est une solution positive ou nulle hyperbolique de (S0) telle que, pour tout i, UUU_i(0) 6≡0. On note WWW(ε)

la solution construite dans la proposition 4.2.1.

(i) SiWWW(0)est une solution stable, alors, pour toutj ∈ {1,· · · , P}, eti∈ {1,· · · , N}, il existe k(i, j)∈ {0,· · · , P} tel que

– ∀0≤k < k(i, j), uuu^j_i,k = 0, – uuu^j_i,k(i,j) >0.

(ii) Si WWW(0) est une solution instable, alors il existe j = 1,· · · , P, i ∈ 1,· · · , N et

k(i, j)>0 tel que

– ∀0≤k < k(i, j), uuu^j_i,k = 0, – uuu^j_i,k(i,j) <0.

Preuve : Pour tout k ∈ {0,· · · , P}, on note www_k = (rrr_k, uuu_1,k,· · · , uuu_N,k). Remarquons quewww₀ =WWW(0).UUU_i(ε) v´erifie l’´equation

m m

m_iUUU_i(ε)−FFF_i(RRR(ε))UUU_i =εKKK_iUUU_i(ε). (4.2.5) Notons uuu_i,k = (uuu^j_i,k)^j. En d´erivant k + 1 fois (4.2.5) par rapport `a ε puis en prenant

4.2. CAS DES FAIBLES MIGRATIONS 77

mmm_iuuu_i,k+1−FFF_i(rrr₀)uuu_i,k+1+QQQ_k(www₀,· · · , www_k) =KKK_iuuu_i,k, (4.2.6) o`u Q QQ_k(www₀,· · · , www_k) = k X s=0 u uu_i,s d^k+1−s dεk+1−sFFF_i(RRR(ε)) |ε=0 .

Nous utilisons de mani`ere essentielle le fait suivant :

siuuu^j_i,s = 0, pour tout 0≤s≤k, alorsQQQ_k(www₀,· · · , www_k)^j = 0. (4.2.7) Supposons que (RRR(0), UUU₁(0),· · · , UUU_N(0)) est une solution hyperbolique et stable. Le vecteuruuu_i,1 v´erifie

Q

QQ₀(www₀) + (mmm_i−CCC_irrr₀)uuu_i,1 =KKK_iuuu_i,0. (4.2.8) Notons J₀ = {j ∈ {1,· · · , P}, uuu^j_i,0 > 0} et I₀ = {j ∈ {1,· · · , P}, uuu^j_i,0 = 0}. Soit α la matrice diagonale d´efinie par α_jj = 1, si j ∈J₀; α_jj = (mmm^j_i −CCC^j_iRRR^j₀)>0 si j ∈I₀. Pour toutj ∈I₀, on a, d’apr`es (4.2.7) et (4.2.8),α_jjuuu^j_i,1 = KKKuuu_i,0j

.En d’autres termes, ∀j ∈I₀, uuu^j_i,1 = α⁻¹KKK_iuuu_i,0j j. En notant KKK_ijs =k^js_i , on obtient u uu^j_i,1 =α⁻_jj¹ P X s=1 k_i^jsuuu^s_i,0 =α⁻_jj¹X s∈J0 k_i^jsuuu^s_i,0. (4.2.9)

Deux cas sont possibles :

– ou bienuuu^j_i,1 >0 et alors k(i, j) = 1 et la preuve est termin´ee, – ou bienuuu^j_i,1 = 0 et alors∀s ∈J₀, k_i^js= 0.

Notons J₁ = {j ∈ I₀, uuu^j_i,1 > 0} et I₁ = {j ∈ I₀, uuu^j_i,1 = 0}. D’apr`es la discussion pr´ec´edente,

∀j ∈I₁, ∀s∈J₀, k^js_i = 0. (4.2.10) Soit j ∈I₁. D’apr`es (4.2.7) et (4.2.6),uuu^j_i,2 v´erifie

α_jjuuu^j_i,2 = KKK_iuuu_i,1j . D’apr`es (4.2.10), on obtient K KK_iuuu_i,1j = P X s=1 k_i^jsuuu^j_i,1 = X s∈J1 k_i^jsuuu^s_i,1.

78 CHAPITRE 4. MIGRATION LENTE DANS LE MOD`ELE DISCRET – ou bienuuu^j_i,2 >0 et alors k(i, j) = 2 et la preuve est termin´ee,

– ou bienuuu^j_i,2 = 0 et alors∀s ∈J₁, k_i^js= 0. Par (4.2.10), on en d´eduit ´egalement

∀j ∈I₁, uuu^j_2,i=

α⁻¹KKK_i2 u uu_i,0j

.

Par r´ecurrence, pour toutj ∈I₀, il existe un entier M >0 tel que ∀k < M, uuu^j_i,k = α⁻¹KKK_ik uuu_i,0j = 0 etuuu^j_i,M = α⁻¹KKK_iM uuu_i,0j .

La matriceα⁻¹KKK_iest irr´eductible de termes non diagonaux positifs etuuu_i,0est positif non identiquement nul. Le lemme 4.2.3 nous assure alors qu’il existe k(i, j) ∈ {0,· · · , P} tel que ∀k < k(i, j), uuu^j_i,k = α⁻¹KKK_ik uuu_i,0j = 0 etuuu^j_i,k(i,j) = α⁻¹KKK_ik(i,j) uuu_i,0j >0 ce qui termine la preuve dans le cas d’une solution stable.

Supposons queWWW(0) soit une solution instable. Alors, par le th´eor`eme 4.1.1, il existe

i et j tel queuuu^j_i,0 = 0 et (mmm^j_i −CCC^j_iRRR^j_i)< 0. On fixe i. Comme ci-dessus, on note I₀ = {j, uuu^j_i,0 = 0} etJ₀ son compl´ementaire. On note ´egalementI_s={j,(mmm^j_i −CCC^j_iRRR^j_i)<0}. Remarquons que I_s ⊂I₀. Soit α et β les matrices diagonales d´efinies par

α_jj = (mmm^j_i −CCC^j_i), si j ∈I₀, α_jj = 1 si j /∈I₀,

β_jj =α_jj si j /∈I_s, β_jj = 1 si j ∈I_s. ^(4.2.11)

Comme dans la preuve de (i), pour tout j ∈I₀,uuu^j_i,1 v´erifie

α_jjuuu^j_i,1 = (KKK_iuuu_i,0)^j. (4.2.12) Trois cas sont possibles :

– ou bien (KKK_iuuu_i,0)^j >0 et α_jj <0, – ou bien (KKK_iuuu_i,0)^j >0 et α_jj >0, – ou bien (KKK_iuuu_i,0)^j = 0.

Notons I₁ ={j ∈ I₀,(KKK_iuuu_i,0)^j = 0} et J₁ son compl´ementaire dans I₀. Si I_s∩J₁ 6=∅, alors il existe j ∈I_s∩J₁ tel que le premier se produit et la preuve est termin´ee. Sinon

I_s∩J₁ =∅ et doncI_s ⊂I₁. Il vient alors

∀j ∈I₀, uuu^j_i,1 = (β⁻¹KKK_iuuu_i,0)^j. (4.2.13) Comme dans la preuve de (i), on en d´eduit par r´ecurrence que, pour tout j ∈ I₀, il existe un entier M > 0 tel que

∀k < M, uuu^j_i,k = β⁻¹KKK_ik u u u_i,0j = 0 et α_jjuuu^j_i,M = K KK_i β⁻¹KKK_iM₋1 uuu_i,0j .

Si j ∈I_s, on a β_jj = 1 et on peut r´e´ecrire cette derni`ere ´egalit´e sous la forme

α_jjuuu^j_i,M =

β⁻¹KKK_iM

uuu_i,0j

.

Le lemme 4.2.3 montre alors l’existence d’unk(i, j) minimal tel que

β⁻¹KKK_ik(i,j) u uu_i,0j

>

Dans le document Hétérogénéité spatiale en dynamique des populations (Page 75-80)