E XPRESSIONS DE COMPORTEMENT , CHRONOLOGIE ET REFERENTIEL D ' INSTANCIATION

La chronologie est une forme d'instanciation. En effet, la dynamique des espaces se décrit par un système bidimensionnel dimension complexe : instanciation – transformation. La transformation est la dimension de l'évolution d'un espace vis-à-vis de son environnement (y compris lui-même), une transformation d'un espace se traduit par l'apparition d'un système relationnel différent. L'instanciation est la dimension de l'action, elle rythme l'observation du comportement de l'espace. Elle se traduit par une application du domaine de définition de la propriété sur lui-même.

L'instanciation n'est pas le temps mais une forme de chronologie. Prenons par exemple une propriété quelconque p[P, P] dont le comportement est décrit par l'expression suivante :

Le terme n traduit alors la relation d'ordre entre les différents états de X introduite par le comportement de p[P, P].

L'introduction d'une chronologie dans la description du comportement va correspondre à deux besoins différents pouvant être concomitants :

la description d'un comportement continu,

l'introduction d'un référentiel commun dans les expressions de comportement. Pour la description d'un comportement purement continu, c'est-à-dire dont l'instanciation de la propriété n'est qu'une fonction du temps, l'expression du terme est de la forme : pnX avec n = f(t).

L'expression précédente deviendra alors par convention :

P(X) = p0Xt + p1Xt+ t1 + p2Xt + t2dans le cas d'une fonction discrète

ou

P(X) = p0X f(t) + p1X f(t) + p2X f(t)dans le cas d'une fonction continue.

Quand il est nécessaire d'introduire un référentiel commun dans l'instanciation, on recherche en fait un plus petit commun multiple aux instanciations des propriétés dont la forme qui parait la plus évidente est le temps. Cependant, ce besoin peut intervenir sur des propriétés dont l'instanciation est indépendante du temps, il est donc indispensable de pouvoir définir un référentiel commun, non nécessairement temporel.

Reprenons l'expression de comportement du feu tramway suivante :

FeuTram(X) = (eteint+disque.clignotant+fixe.( verticalXj+disqueXj+1+horizontalXj+2)) Xi.

Nous voulons maintenant construire un croisement entre une voie de tramway et une voie routière, les deux à sens unique pour simplifier.

Nous pouvons simplement déduire l'expression de comportement du feu routier : Feu(X) = (off+yellow.blinking+fixed.( greenXm+yellowXm+1+redXm+2)) Xn. Nota: l'emploi de l'anglais ne se justifie que pour la clarté de ce qui va suivre.

D'après la définition de la relation de réalisation, l'expression de ce carrefour doit donc se définir comme un sous espace de l'association des deux espaces feux.

Nous avons vu dans les chapitres précédents de ce mémoire que les produits peuvent devenir assez rapidement lourds à manipuler.

Reprenons la forme système du comportement du feu tramway : FeuTram(X) = (eteint + disque.clignotant + fixe.forme(X)) Xi. Forme(X) = (verticalXj+disqueXj+1+horizontalXj+2).

Appliquons la au feu routier :

Feu(X) = (off + yellow.blinking + fixed.Couleur(X)) Xn. Couleur(X) = (greenXm+yellowXm+1+redXm+2).

L'association des deux feux va donc se définir par le produit des deux systèmes d'expressions: FeuTram(X).Feu(X) = (eteint.off + eteint.yellow.blinking + eteint.fixed.Couleur(X) + disque.clignotant.off + disque.clignotant.yellow.blinking + disque.clignotant.fixed.Couleur(X) + fixe.Forme(X).off + fixe.Forme(X).yellow.blinking + fixe.Forme(X).fixed.Couleur(X)) Xi+n

A travers la mise en relation que nous venons de faire pour définir le carrefour, nous avons créé un espace commun. C'est-à-dire que l'expression Xi+n traduit l'instanciation unique des deux espaces feu tramway et feu routier Xi.Xn. Sachant que les conditions de fonctionnement d'un carrefour imposent que les feux soient dans le même état, éteints, fixes ou clignotant, on peut en déduire que la relation de réalisation du carrefour entre le feu tram et le feu routier se définit par la condition : i=n.

Le comportement du carrefour peut donc commencer par l'écriture d'une expression:

Carrefour(X)= (eteint.off+disque.clignotant.yellow.blinking+fixe.Forme(X).fixed.Couleur(X))Xk avec k=i+n.

L'expression traduit bien que l'instanciation de l'espace carrefour est le résultat d'un changement d'état sur l'espace du feu routier et sur l'espace du feu tramway : le passage du carrefour éteint au carrefour en fonctionnement se fait par la transition conjointe des feux tramway et routier.

Nous venons donc de définir la relation entre les feux à partir d'un référentiel commun d'instanciation, ici l'identité, sur les espaces de réalisation individuels des deux feux. Il ne reste alors à définir la relation sur les sous espaces de réalisation décrits par Forme(X) et Couleur(X). Les conditions que nous voulons exprimer maintenant sont un peu plus complexes. Tout d'abord, nous définissons ouvert un feu dont l'état est "vert" ou "jaune"; c'est-à-dire les valeurs vertical,

green, disque et yellow. Nous définissons fermé un feu dont l'état est "rouge"; c'est-à-dire les

valeurs horizontal et red.

Les conditions de fonctionnement d'un carrefour peuvent s'exprimer simplement par le fait que les feux ne doivent pas être ouverts ensembles, et qu'il est nécessaire de maintenir une phase fermée intégrale avant chaque ouverture de feu.

Pour démarrer le raisonnement, l'association fournit un sur espace de réalisation : fixe.Forme(X).fixed.Couleur(X) =

fixe.(verticalXj+disqueXj+1+horizontalXj+2).fixed.(greenXm+yellowXm+1+redXm+2).

Etant donné que fixe et fixed sont des constantes dans ce cas précis, pour simplifier la suite de la démonstration nous allons raisonner uniquement sur les espaces décrits par Forme(X) et Couleur(X).

Examinons les graphes, les expressions de comportement et la matrice de l'espace de réalisation de l'association des espaces décrits par Forme(X) et Couleur(X) :

verticalXj_.greenXm verticalXj_.yellowXm+1

disqueXj+1_.greenXm

verticalXj_.redXm+2

disqueXj+1_.yellowXm+1 _disqueXj+1_.redXm+2

horizontalXj+2_.greenXm _horizontalXj+2_.yellowXm+1 _horizontalXj+2_.redXm+2

1 4 7

2 5 8

3 6 9

les flèches pleines indiquet une instanciation simple de m (horizontalement) et j (verticalement) les flèches en pointillés indiquent une instanciation double (m et j)

Figure 34 : graphe global des états d'un carrefour

Ce graphe correspond à l'expression de comportement suivante :

Forme(X).Couleur(X) = verticalXj.greenXm + verticalXj.yellowXm+1 + disqueXj+1.greenXm +

verticalXj.redXm+2 + disqueXj+1.yellowXm+1 + disqueXj+1.redXm+2 + horizontalXj+2.greenXm +

horizontalXj+2.yellowXm+1 + horizontalXj+2.redXm+2

L'expression que nous avons décrite ci-dessus donne le comportement du carrefour comme l'association de deux feux aux fonctionnements indépendants; c'est-à-dire sans aucune relation entre les valeurs de j et m. Les états pertinents ont été grisés sur le graphe et retranscrits en gras sur l'expression de comportement.

L'expression de l'espace du carrefour décrit par le comportement conjoint des deux feux devient : vertical.redXk + disque.redXk+1 + horizontal.redXk+2 + horizontal.greenXk+3

+ horizontal.yellowXk+4 + horizontal.redXk+5

Cette approche si elle décrit correctement le fonctionnement des deux signaux sur le carrefour ne reflète par le fait que l'espace du carrefour est le résultat d'une relation entre les deux espaces que sont les voies se croisant. Dans l'expression ci-dessus le carrefour est considéré comme un espace unique d'instance k = j+m. Il est donc plus pertinent de pouvoir conserver dans l'expression le fait que la relation porte sur la dépendance d'instanciation.

Revenons à notre exemple : on constate que le comportement souhaité du carrefour, instancie j puis m alternativement et inversement à partir de l'état fermé des deux voies – on parle de rouge intégral. Il existe une relation entre j et m, qui peut se décrire par des conditions d'instanciation de j et m par un simple algorithme :

Condition initiale : m0 = j0 +2

Tant que j m , incrémenter j Tant que m j+2, incrémenter m

Ce qui permet d'écrire l'expression du comportement du carrefour par l'expression suivante : (verticalXj+disqueXj+1+horizontalXj+2).redXm+2 +(greenXm+.yellowXm+1+redXm+2).horizontalXj+2

L'expression des espaces des relations de dépendance, ou relation de réalisation, est le point de la modélisation qui demande le plus d'attention. En effet, chaque relation crée un espace particulier dont la seule certitude que nous avons est qu'il est compris dans l'espace décrit par la relation d'association. La description qui va résulter de l'expression produite par le modélisateur va donc induire le comportement du modèle final. Pour cette raison, il vaut mieux considérer une relation de dépendance comme une propriété indépendante sur l'instanciation.

C

Nous venons à travers ce chapitre de définir tous les éléments sur lequel est fondé le modèle de représentation. En premier lieu, nous avons défini la notation d'une propriété p[P, P] comportant un identifiant p qui peut dans le cas d'une propriété dynamique être considéré comme une variable, P le domaine de définition et surtout P l'unité sémantique permettant de manipule la propriété comme un élément du langage. Nous avons complété cette expression en montrant qu'il est qu'il est possible de définir n'importe quel comportement comme la somme d'expression rationnelles de propriétés sur l'espace général . Toute propriété est une expression rationnelle de ses parties finies, celles-ci étant représentées par des propriétés élémentaires, des associations de ces propriétés, et par l‟union de leurs espaces de réalisation.

Nous avons ensuite montré l'existence d'un morphisme de l'espace des expressions rationnelles (Ω, +, . , *, e) dans (Ω, +, .) qui permet de définir A(X) =

t i i i iX p 0 une forme algébrique de ces expressions rationnelles comme l'évolution de l'espace X relativement au comportement A de la propriété p[P,P)]. Nous avons rapproché cette forme de représentation des comportements des différents types de relations qui peuvent être établies entre les propriétés, de l'association jusqu'au relations de dépendance, en particulier les relations fondées sur une interaction de la chronologie des instanciations.

La définition donnée d'une propriété p[P,P] permet de caractériser les évolutions d'un espace quelconque de propriétés à travers sa relation avec les réalisations de ses propriétés. Le choix du système d'écriture formel d'une propriété associant sémantique et valeurs des réalisations permet de ne pas perdre le couplage avec le langage lors de la transposition du comportement vers l'expression rationnelle. Enfin, nous avons montré à partir de la définition d'un élément neutre que la modélisation proposée est en fait l'image d'un morphisme de l'espace observable vers un espace observé et ainsi que l'information non utilisée n'est en aucun cas "oubliée", ce qui autorise le modélisateur à ne s'intéresser qu'à l'information utile.