Chapitre 4. Imagerie dynamique de l’inspiration de gaz hyperpolarisé
4.1. Modélisation de la dynamique de l’aimantation
4.1.3. Dynamique de l’aimantation localisée
L’évolution du moment magnétique total a été formalisée. On cherche ici à exprimer l’évolution locale de l’aimantation dans le champ de l’antenne pour analyser la répartition spatiale de celle-ci lors des séquences dynamiques. Le formalisme est analogue au cas global (Figure 4-1).
4.1.3.1. Evolution du moment magnétique d’un volume qui se déplace
Une fois arrivé dans la zone d’excitation, le gaz HP excité voit son aimantation diminuer. Pour un élément de volume dV de gaz qui entre dans cette zone, le moment magnétique élémentaire qu’il transporte à la répétition j s’écrit m V . La dépolarisation de ce volume suit la même loi que dans le jd cas global (relation <4-4>) lors des excitations répétées et peut s’écrire de manière analogue sans apport de moment magnétique supplémentaire dans le volume dV :
( )
1 1 d d cos exp j j TR m V m V T α + ⎛ ⎞ = ⎜− ⎟ ⎝ ⎠ <4-12>Ainsi, on peut exprimer de manière continue l’aimantation de dV : d
0 d
m m
t +Tα = <4-13>
C’est la relation classique de dépolarisation géométrique du gaz, exprimée dans la description lagrangienne du mouvement (voir 2.2.1.1) pour un élément de volume se déplaçant dans l’antenne. L’évolution temporelle de l’aimantation est donc de la forme:
( )
0exp t m t m Tα ⎛ ⎞ = ⎜− ⎟ ⎝ ⎠ <4-14>Ainsi, l’aimantation portée par dV décroît avec un temps caractéristique Tα. On peut noter qu’en prenant la valeur de cette aimantation tous les TR avec un angle de basculement α, on retrouve l’expression discrète classiquement donnée dans les études précédentes. La description continue reste donc valable de ce point de vue.
4.1.3.2. Description eulérienne de l’aimantation
On considère maintenant, non plus le volume qui se déplace, qui correspond à une description lagrangienne du mouvement, mais le champ 3D d’aimantation m x y z t dans la zone d’excitation
(
, , ,)
dans sa description eulérienne (voir 2.2.1.1). On suppose ici que le gaz ne se déplace pas par diffusion. La dérivée en suivant le mouvement pour l’aimantation s’écrit (voir 2.2.1.1) :
( ) (
, , ,)
grad(
, , ,)
dm m t x y z t v m x y z t dt t ∂ = + ⋅ ∂ <4-15>On relie ainsi l’aimantation au champ de vitesse du gaz et l’expression <4-13> s’écrit :
grad m m v m t Tα ∂ + = − ⋅ ∂ <4-16>
Cette expression, valable dans la zone d’excitation, correspond à ce qui est observé en pratique en imagerie. On ne visualise pas la variation de l’aimantation qui se déplace mais on se place à un endroit et on observe la variation de l’aimantation locale.
Chapitre 4. Imagerie dynamique de l’inspiration de gaz hyperpolarisé 103
4.1.3.3. Simulation de la répartition spatiale de l’aimantation
L’objectif de cette approche est de pouvoir prédire la répartition spatiale et l’évolution temporelle du moment magnétique dans les poumons à partir du champ de vitesse. Le problème peut être posé comme suit :
- La relation <4-16> est respectée dans le champ de l’antenne - L’aimantation sur la surface d’entrée du gaz est m 0
- Le gaz reste confiné à l’intérieur du champ de l’antenne dans les poumons, aux limites de ce domaine, l’aimantation est soit totalement dépolarisée, soit n’a pas pu parvenir aux frontières du domaine, donc m= . 0
On possède une description de l’expérience (Figure 4-4) donnant accès à l’aimantation en fonction du champ de vitesse du gaz et du temps de dépolarisation.
Figure 4-4 Problème de la distribution de l’aimantation dans les poumons. L’aimantation en entrée est m0, et
0
m= sur la surface des poumons. Le champ de vitesse est connu.
Dans de récentes études [163 - Lin 2005,164 - Brook 2004], la répartition spatiale et temporelle d’hélium a été obtenue par simulation dans un arbre bronchique lors d’un cycle respiratoire. Pour remonter à la distribution de l’aimantation, il faudrait, de plus, considérer les effets de dépolarisation. L’approche présentée ici montre qu’il est possible de relier la répartition spatiale de l’aimantation avec des paramètres de flux, la vitesse par exemple. En effet, l’expression <4-16> indique que l’aimantation est liée à la vitesse locale par la valeur de la composante de vitesse colinéaire à grad m . On obtient alors théoriquement des distributions spatiales influencées par des effets locaux de l’écoulement et il est possible de remonter à une composante de la vitesse à partir du champ d’aimantation.
4.1.3.4. Le débit de moment magnétique
On cherche ici à évaluer si l’aimantation qui traverse une surface dépend du débit, comme c’est le cas en entrée de la région d’excitation (relation <4-3>).
En utilisant la relation vectorielle suivante :
grad div div
v⋅ m= m v m− v <4-17>
et en considérant que pour un fluide incompressible divv= (voir 0 2.2.1.2), on a une deuxième expression de la relation <4-16> :
div m m mv t Tα ∂ + = − ∂ <4-18>
On peut alors exprimer un débit de moment magnétique à travers n’importe quelle surface. On le définit comme le flux de m à travers une surface S .
d
m S
Q =
∫
mv n s⋅ <4-19>Pour une surface fermée définissant un volume V, le flux entrant dans le volume est donné par :
d div d
m
S V
Q = −
∫
mv n s⋅ = −∫
mv V <4-20>Donc, en combinant les relations <4-18> et <4-20>, le débit de moment magnétique entrant à travers une surface fermée dans les poumons (Figure 4-5) est déterminé par :
d V V m V M M m m Q V t Tα t Tα ⎛∂ ⎞ ∂ = ⎜ + ⎟ = + ∂ ∂ ⎝ ⎠
∫
<4-21>Où M est le moment magnétique total dans le volume V . V
On remarque que, sur une surface définissant les limites des poumons, en dehors de la surface d’entrée où m m= 0, on a m= sur le reste de cette surface. En appliquant la relation <4-21> on 0 retrouve le résultat global <4-9> reliant le débit à l’évolution du moment magnétique total dans les poumons.
Figure 4-5 Mesure du débit de moment magnétique par intégration du signal dans un volume V, défini par la surface S.
Si on considère une surface fermée quelconque dans les poumons, qui coupe une bronche par exemple, le débit de moment magnétique est proportionnel au débit volumique uniquement dans le cas où l’aimantation est uniforme sur la section (relation <4-19>). En réalité, cette condition n’est pas respectée en général et le moment magnétique qui traverse une surface n’est alors pas proportionnel au débit. Le seul endroit où le débit peut être mesuré simplement à partir de l’évolution de moment magnétique est la surface d’entrée où l’aimantation est considérée comme uniforme (m ). 0
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