Bases de mécanique des fluides dans les voies conductrices

L’influence des forces d’inertie est importante dans les premières générations bronchiques. L’écoulement est fortement influencé par l’accélération convective. La complexité de l’étude des écoulements dans les poumons nécessite une approche préliminaire sur des géométries modèles simplifiées de l’arbre bronchique que sont le tube droit, le tube coudé et la bifurcation.

2.2.2.1. Ecoulement dans un tube droit

On rappelle que la forme d’un écoulement établi dans un tube cylindrique droit de diamètre d est unidirectionnelle, parabolique et axisymétrique (écoulement de Poiseuille) (Figure 2-7).

Chapitre 2. Eléments de l’écoulement dans les voies aériennes pulmonaires conductrices 59

Figure 2-7 Etablissement du profil de vitesse parabolique dans un tube circulaire droit avec la distance. Schéma emprunté dans [108 - Pedley 1977]. Le profil est établi au bout du tube (en B) si la longueur le permet.

La viscosité du fluide impose une condition d’adhésion sur les parois (les vitesses le long des parois sont nulles). Il se forme une couche limite dans laquelle les forces de viscosité sont importantes. L’épaisseur δ de cette couche augmente au fur et à mesure de l’écoulement jusqu’à l’obtention d’un profil établi.

Pour un profil d’entrée quelconque, et un nombre de Reynolds compris entre 50 et 2300, l’établissement du profil parabolique est obtenu au bout d’une distance d’environ [108 - Pedley 1977] :

0,03 Red <2-20>

On détermine ainsi la distance au bout de laquelle le profil d’entrée n’a plus qu’une influence minime sur l’écoulement. On parle alors d’écoulement établi.

En coordonnées radiales (Figure 2-7), le profil de vitesse établi a pour expression :

2 max 2 1 ^r v V z d ⎛ _{⎡ ⎤} ⎞ = ⎜_⎜ −_{⎢ ⎥} ⎟_⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ^<2-21>

et la distribution de vitesse sur la section est uniforme entre 0 et la vitesse maximale V_max (Figure 2-8).

Figure 2-8 Distribution de la vitesse dans un écoulement parabolique dans un tube circulaire. Sur une section du tube, elle est uniforme entre 0 et V_max.

La chute de pression totale entre les extrémités (AB) du tube, appelée perte de charge, est donnée par [114 - Comolet 1982] : 2 4 128 2 t lQ v P k d µ _ρ π ∆ = + <2-22>

La première partie de cette expression 128 lQµ πd4correspond à la loi de Hagen-Poiseuille. La différence de pression dans un écoulement parabolique établi est proportionnelle au débit. Ce terme dépend de la viscosité et est fortement dépendant du diamètre (d−4).

La deuxième partie correspond à la chute supplémentaire de pression résultant du changement de profil de vitesse entre l’entrée et la sortie. Cette pression supplémentaire est affectée d’un coefficient k qui n’est connu seulement de manière approximative car il dépend du profil de vitesse aux extrémités du tube. Ce coefficient est en pratique compris entre 1,08 et 1,45 pour un tube droit [114 - Comolet 1982].

De manière générale, la différence de pression totale contient un terme dissipatif relatif aux forces de viscosité et un terme résultant de la différence de débit d’énergie cinétique du fluide entre les extrémités. C’est cette perte de charge totale qu’il faut imposer pour créer l’écoulement dans le tube. La résistance fluide est définie comme le rapport de la perte de charge au débit :

t f P R Q ∆ = <2-23>

Dans un tube droit, en raison du changement de profil de vitesse entre l’entrée et la sortie, la résistance n’est donc indépendante du débit que pour un écoulement établi.

2.2.2.2. Ecoulement dans un tube coudé

On considère un tube circulaire de diamètre d , coudé avec un rayon de courbure R tel que présenté sur la Figure 2-9.

Figure 2-9 (a) Représentation schématique du coude. Eléments de l’écoulement typiquement rencontrés dans ce cas à un angle θ après l’entrée :

(b) Profil de vitesse sur un diamètre du tube pris dans le plan du coude. (c) Profil sur un diamètre pris dans la direction normale au plan du coude.

(d) Représentation des écoulements secondaires dans le plan de la section normale à l’axe du coude.

La mise en évidence des effets d’inertie dans des tubes coudés a été faite dans une étude théorique par Dean [117 - Dean 1927]. Le nombre de Dean est défini par :

Re 2 d De R = <2-24>

La théorie montre que l’écoulement dépend de ce nombre [114 - Comolet 1982].

Olson [118 - Olson 1971] a effectué une étude expérimentale sur les trois composantes de la vitesse pour des nombres de Dean plus élevés. Il ressort que les effets d’inertie provoquent la naissance d’un

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profil de vitesse asymétrique avec un pic de vitesse sur la paroi extérieure par un effet d’accélération centrifuge (Figure 2-9 b). Le profil transversal prend la forme d’un M (Figure 2-9 c). La projection du vecteur vitesse sur la section, qui définit les écoulements secondaires, montre deux tourbillons, orientés vers le pic de vitesse et qui le renforce (Figure 2-9 d). Ils reviennent en longeant les parois et traduisent la présence de mouvements tridimensionnels hélicoïdaux dans le coude. Ces effets s’intensifient avec le nombre de Dean, plus le rapport entre le diamètre du tube et la courbure est élevé et plus les effets d’inertie sont importants.

2.2.2.3. Ecoulement dans une bifurcation

On considère une bifurcation (Figure 2-10), possédant un angle d’embranchement θ. On cherche à caractériser le profil de vitesse à une distance h dans une bronche fille lors d’une inspiration.

Figure 2-10 (a) Représentation schématique d’une bifurcation. Le diamètre des branches diminue de la branche mère aux branches filles. L’angle d’embranchement θ définit l’orientation des branches filles. La mesure est effectuée à une profondeur h à partir de la carène dans la branche fille lors d’une inspiration (b, c, d).

Dans la suite, les parois « intérieures » et « extérieures » des bronches filles d’une bifurcation désigneront les parois comme représentées sur la Figure 2-10.

Une bifurcation (Figure 2-10) est similaire au coude au sens où l’on impose un changement de direction au flux et donc une courbure. Les motifs observés sont tout à fait similaires en terme d’asymétrie du profil de vitesse et de présence de tourbillons.

Une étude expérimentale de Schroter [119 - Schroter 1969] décrit les motifs du flux dans une bifurcation similaire à la première bifurcation bronchique. Lors d’une inspiration, le profil de vitesse est asymétrique avec un pic de vitesse sur la paroi intérieure de la bifurcation et une forme en M est observée pour les profils sur un diamètre normal au plan de la bifurcation. Deux tourbillons se forment comme pour le coude.

Les aspects globaux observés correspondent principalement au changement de direction. On note que les caractéristiques locales comme les raccords entre branche mère et branches filles, les courbures, l’aspect de la carène, influencent le profil de vitesse. Par exemple, une étude de Martonen [120 - Martonen 2001] décrit l’influence sur l’écoulement de la présence de défauts locaux.