possible ; les seules limitations sur ces param`etres seront donc d’ordre technique. Par cons´equent nous fixons ces deux param`etres `a des valeurs facilement atteignables et ma-nipulables. On fixe comme objectif 500 mW de puissance lumineuse utile, qui peuvent couramment ˆetre produits `a partir d’un laser Titane-Saphir par exemple. Pour le gra-dient magn´etique, on viseb′ = 150 G/cm, correspondant `a un gradient de 300 G/cm le long de l’axe du quadrupˆole. C’est le gradient d´ej`a utilis´e dans notre exp´erience [145]. Un point important concerne le choix du waist du faisceau laserwpour un rayon r0 de l’anneau d´esir´e. Il y a dans ce cas un choix optimal qui maximise la profondeur du r´eseau optique et par cons´equent la fr´equence d’oscillation verticale ωz. Le waist doit ainsi ˆetre ´egal `a w = √
2r0, le facteur √
2 correspondant au maximum de la fonction 1
xe−1/x2
, comme on le d´eduit des ´equations (3.10) et (3.14). Ce choix fixe la relation entre le d´eplacement lumineux moyen sur l’axe du faisceauU0 et la profondeur du pi`ege `a V0 = 2U0/e.
Une fois ces valeurs fix´ees, on impose une contrainte sur le maximum de pertes et de chauffage acceptables dans le pi`ege. Cela revient `a fixer une limite sup´erieure aux valeurs de l’amplitude de l’effet tunnel J, du taux de diffusion de photons Γsc et du taux de transition Landau-Zener ΓLZ d´efinis au paragraphe 3.1.2.
On fixe ces param`etres respectivement `a une amplitude donn´ee J0, `a une fraction
ε de la largeur spectrale naturelle Γsc = εΓ, et `a ΓLZ = γ. Maintenant, le choix de J impose une certaine valeur pour la profondeur du potentiel dipolaire V0 (voir § 3.1.2), ainsi que la fr´equence d’oscillation verticale ωz, directement li´ee `a V0 et Erec par ~ωz = 2√
V0Erec. Ceci d´ecide par cons´equent du d´esaccord optique ¯δ `a choisir pour limiter le taux de diffusion de photons dans l’´etat fondamental `a εΓ. On obtient : ¯
δ =ωz/4ε (voir § 3.1.2).
Le d´eplacement lumineuxU0 est connu de par sa relation impos´ee avecV0, et comme la puissance laserP et le d´esaccord ¯δsont maintenant fix´es, le waistwpeut ˆetre d´eduit de la connaissance de U0. De w on obtientr0 =w/√
2 et la radio fr´equence ω =α′r0. Le seul param`etre libre restant est alors la fr´equence de Rabi du couplage rf Ω0, qui est choisie de fa¸con `a obtenir la valeur souhait´ee pour γ.
Cette proc´edure a ´et´e appliqu´ee pour les valeurs d´esir´ees suivantes : J/h = 1 Hz, Γsc(3µK) = 0,25 s−1 et γ = 0,1 s−1 `a une temp´erature de 3 µK et a permis d’´etablir la liste de param`etres exp´erimentaux donn´ee dans le tableau 3.1.
3.2 Dimensions restreintes
L’une des caract´eristiques originales de ce pi`ege annulaire est qu’il poss`ede de tr`es grandes fr´equences d’oscillations dans les directions transverse et radiale. Il est alors int´eressant de se poser la question de la dimensionnalit´e d’un gaz d´eg´en´er´e confin´e dans ce potentiel. Cette question a gagn´e en int´erˆet au cours de ces cinq derni`eres ann´ees, et elle est li´ee entre autres `a la possibilit´e de cr´eer des excitations de statistique fractionnaire (anyons) [46] ou `a la fermionisation des excitations dans un gaz bosonique [58]. D´ej`a, dans un condensat 3D allong´e, les propri´et´es de coh´erence sont affect´ees par la g´eom´etrie du pi`ege [53,55,146,147]. Afin d’estimer dans quel r´egime (1D, 2D, ou 3D) le gaz d´eg´en´er´e se trouve, nous ´evaluons son potentiel chimiqueµselon l’approximation
124 Chapitre 3. Pi`ege en anneau
de Thomas-Fermi en ayant fix´e au pr´ealable la dimensionnalit´e. Nous comparons ensuite le r´esultat obtenu aux fr´equences d’oscillations du pi`ege. Les trois r´egimes – 3D, 2D ou 1D – correspondent respectivement aux conditions : µ > ~ωz, ~ωz > µ > ~ωρ
et ~ωρ > µ. La limite d’un r´egime `a l’autre peut ˆetre exprim´ee en termes de nombre
d’atomes condens´es. Le calcul d´etaill´e du potentiel chimique dans les diff´erents r´egimes est donn´ee en annexe C.
Essayons d’abord d’estimer le potentiel chimique Thomas-Fermi 3D. Il peut ˆetre cal-cul´e en normalisant la fonction d’onde du condensat dans l’approximation de Thomas-Fermi. Le terme d’interaction en trois dimensions est g3D = 4π~2a/M, le param`etre
a ≃ 5,2 nm ´etant la longueur de diffusion en 3D (tableau 1 et r´ef´erence [1]). En fai-sant l’approximation harmonique pour notre potentiel toro¨ıdal, soit en consid´erant que l’´equation (3.15) est valable, le potentiel chimique est donn´e par l’expression (C.5) :
µ3D = ~ω¯
r
2N a
πr0 . (3.20)
o`u ¯ω=√ω
ρωz est la moyenne g´eom´etrique des fr´equences d’oscillation et N le nombre d’atomes. Cette ´equation n’a de sens que si le gaz est tridimensionnel, c’est-`a-dire si
µ3D >~ωz. En terme de nombre d’atomes, cette condition peut ˆetre exprim´ee sous la forme : N > πr0 2a ωz ωρ , (3.21)
ce qui correspond `a N > 2,4× 106 compte tenu des param`etres propos´es dans le tableau 3.1. Ce nombre est suffisamment grand pour qu’il soit possible d’obtenir un condensat qui soit au moins dans le r´egime bidimensionnel sans difficult´e. Avec 105 atomes condens´es par exemple, le potentiel chimique vaut µ3D/h = 8,9 kHz, ce qui est de loin inf´erieur `a la plus grande fr´equence d’oscillation du pi`ege ωz/2π = 43 kHz. L’´energie totale par atome ne nous permet alors pas de peupler le premier niveau d’excitation transverse (z) et le degr´e de libert´e vertical est compl`etement gel´e. Un gaz d´eg´en´er´e typique dans notre pi`ege serait donc au moins 2D, et le potentiel chimique doit ˆetre recalcul´e `a partir de cette hypoth`ese de bidimensionnalit´e.
Dans le cas 2D, le param`etre d’interaction est modifi´e et s’´ecritg2D =g3D/ √ 2πlz
= 2√
2π~2a/(M lz) o`u lz = p~/(M ωz) est la taille de l’´etat fondamental de l’oscillateur harmonique dans la direction qui est gel´ee3 [148]. De nouveau, le potentiel chimique en deux dimensions est d´eduit de la normalisation au nombre total d’atomes de la densit´e int´egr´ee dans le r´egime de Thomas-Fermi (´equation (C.8)) :
µ2D = ~ω¯ ωρ ωz 1/6 3N a 4√ πr0 2/3 . (3.22)
Le nuage serait donc dans le r´egime unidimensionnel si le potentiel chimique 2D ´etait inf´erieur `a la fr´equence d’oscillation radialeωρ. Cela correspond `a un nombre d’atomes :
N < 4 √ πr0 3a r ωρ ωz , (3.23)
3. On note que l’expression deg2D donn´ee en page 11 de la r´ef´erence [148] doit ˆetre corrig´ee d’un facteur√
πet doit ˆetre lueg= 2√
3.2 Dimensions restreintes 125
R´egime Nombre d’at. condens´es potentiel chimique µ param. d’interaction g
3D 2,4.106 < N ~ω¯ r 2N a πr0 4π~2a M 2D 1,5.104 < N <2,4.106 ~ω¯ωρ ωz 1/6 3N a 4√ πr0 2/3 2√ 2π~2a M lz 1D N <1,5.104 hωN a¯ πr0 2~2a M lzlρ
Tableau 3.2 – Fronti`eres des r´egimes 1D, 2D et 3D en terme de nombre d’atomes
pour les param`etres du tableau3.1 et expression du potentiel chimique et du para-m`etre d’interaction dans ces diff´erents r´egimes [148].
Tableau 3.2 – Limits of the 1D, 2D and 3D regimes in terms of number of atoms for the
parameters indicated in table 3.1and expression of the chemical potential and interaction parameter in these different regimes [148].
soit N <1,5×104 pour les param`etres propos´es.
Un gaz 1D uniforme de densit´e lin´eique n1D = N/(2πr0) pi´eg´e dans l’anneau aurait pour param`etre d’interaction g1D = g3D/(2πlzlρ) = 2~2a/(M lzlρ) [148] avec
lρ=p~/(M ωρ). Son potentiel chimique vaudrait :
µ1D = ~ω¯N a
πr0
. (3.24)
Encore une fois, cette expression est valable si l’´energie cin´etique du nuage est n´e-gligeable devant l’´energie de champ moyen. Cependant, mˆeme si c’est le cas, il est probable que des ´etats excit´es longitudinaux (le long de l’anneau) soient peupl´es car leur fr´equence d’excitation est de l’ordre du millihertz. Avec un tel syst`eme 1D, le gaz pourrait ˆetre dans le r´egime de Tonks-Girardeau [58,149,150,59] si le param`etre
γ = M g1D/(~2n1D) est tr`es grand devant 1. Avec nos param`etres, cela signifierait un nombre d’atomes tr`es petit ; beaucoup plus petit que les 850 atomes correspondant `a la limite γ = 1. Avec un condensat plus imposant (quelques milliers d’atomes) on doit par contre pouvoir observer un quasi-condensat pr´esentant des fluctuations de phase.
En conclusion, un nuage atomique confin´e dans le pi`ege en anneau d´ecrit ici serait tr`es facilement dans le r´egime bidimensionnel ; son degr´e de libert´e vertical (z) serait gel´e. Ce serait en effet le cas pour un condensat contenant entre 1,5×104 et 2,4×106 atomes en consid´erant les param`etres du tableau 3.1. Le r´egime unidimensionnel est accessible si le nombre d’atomes condens´es est plus faible, mais le r´egime de Tonks-Girardeau n´ecessiterait au plus quelques centaines d’atomes, et la d´etection du nuage deviendrait alors probl´ematique. Le tableau 3.2 r´ecapitule les limites des r´egimes 1D, 2D, et 3D en termes de nombre d’atomes ainsi que l’expression du potentiel chimique
126 Chapitre 3. Pi`ege en anneau
et du param`etre d’interaction dans les diff´erents r´egimes.