2.6 Chauffage
2.6.2 Chauffage dipolaire
Les atomes pi´eg´es au fond de la bulle se trouvent `a une altitude z = −r0 = −pω2−ω2
0/α. On s’aper¸coit donc qu’une variation infinit´esimale de la fr´equenceδωva entraˆıner une variation de l’altitude des atomes pi´eg´es δz proportionnelle `a l’excursion en fr´equence du signal rf. Si la gigue du signal rf a lieu `a une fr´equence proche de la fr´equence de pi´egeage vertical ωtrans, le d´eplacement vertical du nuage entre en r´eso-nance avec le mode d’oscillation transverse du pi`ege habill´e et provoque un chauffage dipolaire de l’´echantillon (§1.2.2).
Gigue de fr´equence
Je rappelle qu’initialement nous utilisions un synth´etiseur analogique modul´e en fr´equence par une tension externe pour produire la rampe. Ce synth´etiseur pouvait ˆetre le Agilent 33250A d´ej`a ´evoqu´e. A l’´epoque, nous pouvions observer un taux de chauffage constant des atomes pi´eg´es d’environ 5 µK/s (figure 2.17(a)). L’id´ee que ce chauffage pouvait ˆetre li´e `a un bruit en fr´equence du signal produit par le synth´etiseur nous a pouss´e `a ´evaluer sa puret´e spectrale.
Celui-ci pr´esente une stabilit´e en fr´equence excellente lorsqu’il est utilis´e `a fr´equence rf fixe (figure2.19(a)). Typiquement, la stabilit´e du signal ´emis est meilleure que le mHz
15. Dans les exp´eriences auxquelles nous faisons r´ef´erence Tf ´etait mesur´ee `a partir de la distribu-tion en posidistribu-tion du nuage apr`es 7 ms de temps de vol seulement, au lieu de 20 ms pour Ti. L’approximation qui consiste `a n´egliger la taille initiale du nuage tend donc `a surestimerTf par rapport `aTi.
2.6 Chauffage 87
(a) (b)
Figure 2.19 – Spectre de puissance du battement entre une r´ef´erence de fr´equence
stable et le synth´etiseurAgilent fonctionnant `a fr´equence fixeω/2π = 2 MHz impo-s´ee(a)par le synth´etiseur lui-mˆeme ou(b)par une tension externe avec une excur-sion en fr´equence autoris´ee ∆f ±1 MHz. Echelles horizontales : (a) 100 mHz/div et (b)10 Hz/div.
Figure 2.19 – Power spectrum of the synthesizer Agilent 33250A at a fixed frequency
ω/2π = 2 MHz in normal mode(a) or with the external wideband FM mode enabled with an allowed frequency span∆f±1 MHz(b). Horizontal scales : (a)100 mHz/div and (b)
10 Hz/div.
`a la fr´equence ω/2π = 2 MHz. Cependant, la qualit´e du signal est fortement alt´er´ee lorsque la fr´equence est impos´ee par une tension externe, et cela se traduit par une gigue en fr´equence importante du signal rf. On a observ´e cette gigue en faisant battre le signal ´emis par le synth´etiseur Agilent `a fr´equence fixe ω/2π = 2 MHz command´ee par une tension externe avec une r´ef´erence de fr´equence stable d´ecal´e de 5 kHz. Le signal de battement enregistr´e sur 1 s est repr´esent´e en figure 2.19(b). Il pr´esente une largeur totale `a 1/√
e de ∆f = 13 Hz environ. Cette largeur d´epend de l’excursion en fr´equence maximale autoris´ee ∆νrf, ce qui se comprend bien puisqu’un bruit sur la tension de commande provoquera une variation de fr´equence d’autant plus grande que ∆νrf sera grand. Ce spectre ne permet pas de caract´eriser enti`erement la gigue de fr´equence et son effet sur les atomes pi´eg´es16. Il indique clairement cependant la n´ecessit´e de porter une attention particuli`ere `a la puret´e spectrale du signal rf qui sera confirm´ee par les exp´eriences suivantes.
Chauffage dipolaire
L’approche d´evelopp´ee en [113,114] permet de relier le chauffage d’atomes confin´es dans un pi`ege dipolaire au bruit de point´e du laser pi´egeant. Cette approche peut facilement ˆetre extrapol´ee au cas de notre pi`ege habill´e : le bruit de point´e – source de chauffage param´etrique du nuage du fait du d´eplacement d´esordonn´e du centre du pi`ege qu’il provoque – sera alors assimil´e au bruit de fr´equence du signal rf.
Pour des atomes situ´es au fond de la bulle, le potentiel de pi´egeage dans la direction
16. Il nous faut pour cela avoir acc`es `a une information sur la vitesse `a laquelle cette gigue de fr´equence se produit, et donc `a la densit´e spectrale de puissance du bruit de fr´equence relatif du signal rf.
88 Chapitre 2. Pi`ege habill´e bidimensionnel
verticale peut ˆetre approxim´e parU = 12M ωtrans2 (z−z0)2 o`uz0 =−pω2−ω2
0/α. Toute variation de la fr´equence rf d’une quantit´e δω va d´eplacer le centre de ce potentiel harmonique d’une distance :
ǫ = ω
αpω2−ω2
0
δω (2.51)
et donc secouer et chauffer les atomes dans la direction verticale.
Pour un potentiel harmonique dont le centre oscille au cours du temps de la forme
U = 12M ω2
trans(z −[z0+ǫ(t)])2 o`u ǫ ≪ z0, l’´el´evation de l’´energie totale moyenne du nuage < E > au cours du temps s’´ecrit [114] :
<E >˙ = π
2M ω 4
transSǫ(ωtrans), (2.52) o`uSǫ(ωtrans) est le spectre de puissance des fluctuations de position du centre du pi`ege `a la fr´equence d’oscillation du pi`ege ωtrans :
Sǫ(ωtrans) = 2
π
Z ∞
0
cos(ωtransτ)< ǫ(t)ǫ(t+τ)> dτ . (2.53) L’augmentation de l’´energie totale du nuage est donc proportionnelle aux fluctuations de position du centre du pi`ege r´esonantes avec la fr´equence du pi`ege.
Pour relier l’´echauffement `a la gigue du signal rf il faut introduire dans la for-mule (2.52) le bruit relatif de fr´equence rf Sy, o`u y =δω/ω. D’apr`es l’´equation (2.51) on a donc : Sy(ωtrans) = y 2 ǫ2Sǫ(ωtrans) = α 2(ω2−ω2 0) ω4 Sǫ(ωtrans). (2.54) Si l’on ´ecrit< E >= 3kBT, on peut directement d´eduire un taux de chauffage dipolaire dans le pi`ege de la mesure du bruit de fr´equence relatif `a ωtrans :
˙ T = π 6M ω 4 trans ω4 kBα2(ω2−ω2 0)Sy(ωtrans). (2.55) La m´ethode mise en œuvre pour mesurer le bruit de fr´equence relative pr´esent sur notre signal est d´etaill´ee en annexe dans la partieB.3.3. Pour le synth´etiseur DDS con¸cu au laboratoire fonctionnant `a ω/2π = 3 MHz et Ω0/2π = 25 kHz, on observe un bruit de fr´equence relative Sy(ωtrans) = −180 dB/Hz correspondant `a un taux de chauffage
˙
T = 2,1 pK/s. Ce taux de chauffage n’est pas observable exp´erimentalement sur notre exp´erience, ce qui explique assez bien le fait que les taux de chauffage mesur´es dans le pi`ege QUIC seul (figure 1.15) et dans le pi`ege habill´e cr´e´e par le DDS (figure 2.17(b)) sont tr`es similaires. C’est pourquoi il ´etait urgent de modifier le pi`ege statique (voir p. 40). Cependant, des probl`emes techniques nous empˆechent encore pour l’instant de v´erifier l’am´elioration de la stabilit´e du pi`ege habill´e dans le pi`ege QUIC «en s´erie»
(voir note 23, p. 42).
Pour le synth´etiseur Agilent 33250A fonctionnant `a ω/2π = 3 MHz et Ω0/2π = 180 kHz en mode FM externe avec une excursion de fr´equence autoris´ee de 2 MHz, il est difficile de reproduire la mesure d´ecrite en annexe B tant le signal est bruit´e17.
17. Il est impossible en effet de maintenir un d´ephasage de l’ordre de φ=−π/2 (§ B.3.3) entre le signal rf et le signal de r´ef´erence quand la fr´equence elle-mˆeme fluctue `a ce point.
2.6 Chauffage 89
On a essay´e n´eanmoins d’estimer le bruit de fr´equence relative du synth´etiseur Agilent
pour avoir une id´ee de son impact sur le chauffage dipolaire du nuage. D’apr`es les r´ef´erences [115,116], pour de grandes excursions en fr´equence et des composantes de bruit f ≪100 kHz, on peut ´ecrire en faisant l’approximation d’un bruit blanc :
Sy = 2π ω