Chauffage param´etrique

2π ω 2 (∆f)2 B ^{, (2.56)} o`u ∆f = ∆fFWHM/(√

2 ln 2) est la largeur totale `a 1/√

e du signal, B est la bande passante d’int´egration, ω/2π la fr´equence rf et o`u S_y est exprim´ee en Hz−1. A partir du signal repr´esent´e en figure 2.19(b) on obtient ∆f = 13±3 Hz pour B = 1 Hz, soit

Sy(ωtrans) =−107±2 dB/Hz. Ce bruit relatif de fr´equence `a la fr´equence d’oscillation dans le pi`ege est assimilable `a une valeur de chauffage ˙T = 3,35±1,5µK/s assez proche de la valeur effectivement mesur´ee dans ce cas de figure ˙T = 5 µK/s (figure 2.17(a)).

Le bruit en fr´equence semble donc bien expliquer le chauffage observ´e lors de la phase de maintien du pi`ege habill´e et il faudra faire particuli`erement attention `a la qualit´e spectrale du signal rf utilis´e lors du choix du synth´etiseur `a employer pour ce genre d’exp´eriences. Typiquement, pour limiter le chauffage `a ˙T < 1 nK/s il faudra que le synth´etiseur pr´esente un bruit en fr´equence relative Sy(ωtrans) < −153 dB/Hz pour ω= 3 MHz et ωtrans = 1,54 kHz.

2.6.3 Chauffage param´etrique

Toujours dans les r´ef´erences [113,114], on peut trouver une ´evaluation de l’´el´evation de temp´erature d’un nuage dans un pi`ege dipolaire due au bruit d’intensit´e du laser pi´egeant. Une variation d’intensit´e lumineuse dans un pi`ege dipolaire va entraˆıner une modification de la fr´equence de pi´egeage. On peut donc utiliser ces calculs pour essayer de pr´evoir la mani`ere dont un bruit d’amplitude du signal rf pourra ´eventuellement chauffer l’´echantillon pi´eg´e.

Ce chauffage est de type exponentiel de la forme < E >^˙ = ΓdipE o`u le taux de chauffage peut s’´ecrire [114] :

Γdip = ^π 2 ^ω

2

transSǫ(2ωtrans). (2.57)

Cette expression est valable pour un pi`ege habill´e consid´er´e comme harmonique dans la direction transverse et dont la constante de rappel k(t) = M ω2

trans(1 +ǫ(t)) varie au cours du temps. Or dans le pi`ege habill´e, ωtrans d´epend directement de la fr´equence de Rabi Ω0 (´eq. 2.37) et donc de l’amplitude du signal ´emis par le synth´etiseur. Par cons´equent, une fluctuation de l’amplitude de l’onde radiofr´equence va entraˆıner une variation de la constante de rappel transverse k du pi`ege habill´e qui peut provoquer un chauffage des atomes. Pour une variation infinit´esimale de l’amplitude du signal ´electrique rf parcourant l’antenne not´eeδArf, on peut ´ecrire :

ǫ = −^δ_Ω^Ω0

0

= −^δA_A^rf

rf

90 Chapitre 2. Pi`ege habill´e bidimensionnel

si Ω0 peut ˆetre consid´er´e comme proportionnel `a Arf. La relation qui lie ces deux param`etres n’est pas ´evidente `a ´etablir, d’autant que l’att´enuateur Mini-Circuits et l’amplificateur Kalmus d´eforment le signal et que l’imp´edance de l’antenne rf d´epend bien sˆur de ω. Pour simplifier le calcul et donner un ordre de grandeur, on fera ici l’hypoth`ese que l’´equation (2.58) est valide. On d´ecrira cependant un peu plus loin (p. 90) comment le couplage Ω0 est mesur´e exp´erimentalement.

On a donc directement Sǫ = SI o`u SI est la densit´e spectrale de puissance des fluctuations relatives d’amplitude du signal ´electrique ´emis par le synth´etiseur rf :

I =δArf/Arf. On obtient alors finalement : Γdip = ^π

2^ω 2

transSI(2ωtrans). (2.59)

On remarque que ce chauffage, de type param´etrique, est li´e `a une agitation de l’ampli-tude du signal `a une fr´equence ´egale au double de la fr´equence d’oscillation transverse. En sortie du DDS fonctionnant `a Ω<sub>0</sub> = 25 kHz (soit ω<sub>trans</sub> ≃ 1,54 kHz), on mesure une bruit relatif d’amplitude SI(2ωtrans) = −142 dB/Hz correspondant `a un taux Γdip = 9,3×10−7 s−1. L’att´enuateur ajustable Mini-circuits ZAS-3 ajoute 5,1 dB de bruit et multiplie donc ce taux de chauffage par un facteur √

2 environ. Dans tous les cas, le chauffage dˆu au bruit en amplitude du signal rf ´emis par le DDS est n´egligeable.

Calibration du couplage radiofr´equence

La connaissance de la valeur Ω0 de la pulsation de Rabi de couplage radiofr´equence est l’un des points cl´es de l’analyse de nos r´esultats exp´erimentaux. Ce param`etre r´egit non seulement la fr´equence d’oscillation transverse (´equation (2.37)) mais aussi, comme on le verra plus loin, le temps de vie des atomes dans le pi`ege habill´e (´equation (2.62)). Il doit donc ˆetre mesur´e avec la plus grande attention. Il nous est impossible d’utiliser pour cela une sonde de champ radiofr´equence car nous n’avons pas acc`es `a l’endroit o`u les atomes sont pi´eg´es, et il a donc fallu imaginer la m´ethode d´ecrite ci-dessous.

On effectue pour commencer une s´erie d’´evaporations `a faible amplitude rf du nuage pi´eg´e dans le champ statique `a l’aide de l’antenne d’´evaporation (§1.2.3). D’une rampe `a l’autre, on baisse peu `a peu la fr´equence finale d’´evaporation ωf in

ev jusqu’`a ce qu’on n’observe plus d’atomes pi´eg´es dans le QUIC. Cette premi`ere ´etape a pour but de d´eterminer la fr´equence de transition au fond du pi`ege statique ω0 sans trop d´eformer le potentiel magn´etique.

La seconde ´etape consiste `a r´eit´erer une s´erie de rampes ´evaporatives comme d´ecrit pr´ec´edemment, mais avec l’antenne qui servira `a produire le champ rf habillant et en appliquant l’amplitude de champ rf que l’on utilise dans nos exp´eriences. On arrive alors `a vider le pi`ege QUIC pour une fr´equence finale d’´evaporation ωf in

ev = ω′ > ω0

d’autant plus grande que Ω₀ est grand.

Pour obtenir la valeur exacte de Ω0 `a partir de la mesure de ω′, on trace l’allure du potentiel habill´e inf´erieur | −2′i `a la fr´equence rf ω′ pour diff´erentes valeurs de Ω0 (voir figure 2.20). On estime alors que la valeur r´eelle de Ω0 est ´egale `a celle que l’on doit entrer dans le calcul pour que le potentiel ne soit plus du tout pi´egeant.

Exp´erimentalement, nous avons mesur´e lors de la calibration de l’antenne pour des exp´eriences men´ees avec le DDS (figures 2.17(b) et 2.22(c)) des fr´equences ω0/2π =

2.6 Chauffage 91 -40 -20 0 20 40 -0,2 -0,1 0,0 ω₀ / 2π = 1,300 MHz ω' / 2π = 1,327 MHz P o te n ti e l U^-2 ' / h (M H z ) z (µm) Gravité Ω/2π = 0 Ω/2π = 10 kHz Ω/2π = 20 kHz Ω/2π = 25 kHz

Figure 2.20 – Calibration du couplage radiofr´equence Ω0. On d´etermine d’abord

le fond du pi`ege magn´etique ω0 par une s´erie de rampes ´evaporatives `a couplage faible. On mesure ensuite la fr´equence finale d’´evaporationω′ pour laquelle le pi`ege est vid´e au couplage utilis´e dans l’exp´erience. On trace alors le potentiel adiabatique | −2′i `a ω = ω′ pour diff´erents couplages. La valeur de Ω0 utilis´ee dans notre exp´erience correspond `a celle `a partir de laquelle le potentiel n’est plus pi´egeant. Dans cet exemple on a mesur´eω0/2π= 1,300 MHz et ω′/2π = 1,327 MHz, dont on a d´eduit une valeur du couplage Ω0/2π = 25 kHz.

Figure 2.20 – Measurement of the coupling strength Ω₀ for our experiment. We first

measure the rf frequency ω₀ corresponding to the bottom of our magnetic trap by a series of low amplitude evaporative ramps. We then apply the same procedure to find the final evaporative frequency ω′ at which the trap is emptied for our working rf amplitude. We finally deduce the value of Ω₀ by plotting the adiabatic potential | −2′i at ω = ω′ and different values of the coupling strength. The right one will be the one for which the potential is not trapiing anymore. In the case presented here, we had measured ω0/2π = 1.300MHz and ω′/2π= 1.327 MHz, from which we have inferred Ω₀/2π = 25kHz.

1,300 MHz et ω′ = 1,327 MHz. De l’analyse d´ecrite ci-dessus, nous avons d´eduit Ω0/2π = 25 kHz, soit une amplitude du champ radiofr´equence Brf = 70 mG. On remarque cependant que cette mesure se fait n´ecessairement `a une fr´equence proche de

ω0 et que par cons´equent le couplage produit `a la fr´equence ω cr´eant le pi`ege habill´e s’´ecarte l´eg`erement de la valeur mesur´ee, notamment du fait de la r´eponse en fr´equence de l’amplificateur et de l’antenne rf.

Auparavant, pour les exp´eriences entreprises avec le synth´etiseur Agilent, on avait d´eduit par cette m´ethode une valeur du couplage Ω₀/2π= 180 kHz (soit B_rf = 500 mG) qui avait ´et´e confirm´ee par la mesure de la fr´equence de pi´egeage transverse ωtrans par excitation dipolaire du pi`ege habill´e (§ 2.3.2). De la valeur ωtrans = 600 Hz on pouvait en effet d´eduire Ω<sub>0</sub>/2π= 165 kHz, soit une erreur de 8 % environ. Cette mesure donne certainement une meilleure id´ee de la valeur du couplage et par cons´equent elle doit `a

92 Chapitre 2. Pi`ege habill´e bidimensionnel

mon sens ˆetre dans tous les cas combin´ee `a la m´ethode de calibration d´ecrite jusque-l`a afin d’avoir la meilleure connaissance possible du param`etre Ω0.