Description des processus aléatoires

Il existe de très nombreuses études qui étudient les propriétés de stationnarité des prix de l’énergie avec différentes méthodologies. Lee et Lee (2009) dressent une synthèse non exhaustive des principaux papiers qui ont étudié la stationnarité des prix du pétrole brut. Dans la très grande majorité, les prix du pétrole sont identifiés comme suivant des processus non stationnaires. Cependant, à notre connaissance il existe très peu d’études qui s’intéressent aux propriétés stochastiques des prix des plastiques ou plus généralement aux prix des produits pétrochimiques. Compte tenu de la forte dépendance de ces produits aux prix du pétrole, il y a de fortes chances que les prix des plastiques soient également non stationnaires. Il est donc nécessaire d’en étudier

la stationnarité avant d’en commencer la modélisation. Dans cette première partie nous allons définir plus précisément la notion de stationnarité et présenter les tests statistiques qui permettent d’étudier la stationnarité de séries temporelles.

i. Les processus aléatoires et la stationnarité

Un processus aléatoire est stationnaire si ses moments d’ordre 1 et d’ordre 2 ne varient pas dans le temps. Inversement, si son espérance et sa variance sont modifiées dans le temps, la série est considérée comme non stationnaire.

De manière formalisée, le processus stochastique y est stationnaire si : t

µ

=

= ( ₊ )

)

(y_t E y_{t m}

E t∀ et m∀ , la moyenne est constante et indépendante du temps ;

)

var(y_t < ∞ t∀ , la variance est finie et indépendante du temps ;

[

t t k

]

k

k t

t y E y y

y, ₊ )= ( −

µ

)( ₊ −

µ

) =

γ

cov( , la covariance est indépendante du temps.

De façon plus rigoureuse nous pouvons faire la distinction entre la stationnarité au sens strict et la stationnarité d’ordre 2 définies précédemment.

- Un processus aléatoire est strictement stationnaire (stationnarité forte) si tous ses moments sont invariants pour tous changements de l’origine du temps.

- Un processus est faiblement stationnaire (stationnarité faible) si seuls les moments d’ordre 1 et 2 sont stationnaires dans le temps.

A partir de ces propriétés, nous pouvons définir un processus stationnaire de « Bruit Blanc » xt, t∈T comme une suite de variables aléatoires de même distribution et

mutuellement indépendantes. On l’appelle aussi processus i.i.d (independent and identically distributed).

t

x est un Bruit Blanc tel que :

m x E( _t)= ∀t∈T ² ) var(xt =

σ

∀t∈T 0 ) ( ) , cov(x_t x_t+θ =

γ

_x

θ

= ∀t∈T, ∀θ∈T

Un Bruit Blanc est donc nécessairement stationnaire mais tous les processus stationnaires ne sont pas des Bruit Blancs. Dans ce dernier cas le processus stationnaire est dit à mémoire longue c’est-à-dire qu’il existe une loi de reproduction interne au processus qui est donc modélisable.

Le tableau 21 résume les différents types de processus aléatoires que nous pouvons rencontrer.

Tableau 21: Les différents types de processus aléatoires

Processus non stationnaires Processus stationnaires

Processus TS Bruit Blanc i.i.d

Bruit Blanc Gaussien n.i.d (normally and indenticaly distributed) Processus DS

Processus à mémoire AR ou MA

Source : Bourbonnais et Terraza (2010)

ii. Définitions des processus non stationnaires TS et DS

Les séries de variables économiques sont rarement des réalisations de processus stationnaires. Si la série étudiée est non stationnaire, nous devons avant toute chose « stationnariser » la série, c’est-à-dire trouver une transformation stationnaire du processus. Il est très important de connaitre le type de non stationnarité afin de pouvoir utiliser la bonne méthode de stationnarisation et d’éviter ainsi d’introduire des perturbations dans le résidu (autocorrélation des erreurs). Chan, Hayya et Ord (1977) et Nelson et Kang (1981) ont analysé les répercussions sur les résidus d’une mauvaise stationnarisation.

Nelson et Plosser (1982) ont fait la distinction entre deux formes de non stationnarité : les processus TS et les processus DS.

• Les processus TS

Un processus est « Trend stationary » (TS) s‘il peut s’écrire comme la somme d’une une fonction polynomiale du temps, linéaire ou non linéaire et d’un processus stationnaire de type ARMA (Autoregressive et Moving Average)60.

De façon formalisée x_t peut s’écrire :

60

Les processus ARMA (Autoregressive et Moving Average) sont des classes de processus univariés aléatoires proposés par Box et Jenkins (1976) pour modéliser les séries temporelles.

t t

t f

x = +ε , où ft est une fonction du temps et εtest un processus stationnaire de

type ARMA.

Ce processus est non stationnaire car son espérance dépend du temps. On parle alors de non-stationnarité de type déterministe.

Pour ce type de processus la bonne méthode de stationnarisation est celle des moindres carrés ordinaires c’est-à-dire en appliquant une régression sur le temps sur les observations de l’échantillon.

Une des propriétés importantes de ce type de processus réside dans l’influence des chocs aléatoires. Lorsqu’un processus TS est affecté par un choc stochastique, l’effet de ce choc tend à disparaître au fur et à mesure que le temps passe : c’est la propriété de non persistance des chocs ou l’absence d’hystérésis.

• Les processus DS

Un processus est « Differency Stationary » (DS) lorsqu’on peut le rendre stationnaire en utilisant un filtre aux différences :

De façon formalisée x_t peut s’écrire :

t t d x B =β +ε − ) 1

( , où εtest un processus stationnaire de type ARMA ou encore un

Bruit Blanc, βest un constante réelle et d est l’ordre du filtre aux différences.

Ces processus sont souvent représentés en utilisant les filtres aux différences premières (d = 1). Nous pouvons donc réécrire l’équation précédente :

t t x B =β +ε − ) 1

( , où ε_test un processus stationnaire de type Bruit Blanc, βest un constante qui permet de définir deux processus différents :

- Si β =0 on parle de DS sans dérive. Il s’agit alors d’un processus autorégressif d’ordre 1. ε_tétant un Bruit Blanc le processus DS sans dérive porte le nom de « marche au hasard ». Il est donc sans mémoire et imprévisible. La non- stationnarité est de type aléatoire. Pour ce type de processus, un choc à un instant donné a un effet permanent sur la série brute ce qui a pour conséquence d’éloigner la série de sa valeur initiale. Cette persistance des chocs est appelée hystérésis.

- Si β ≠0 on parle de DS avec dérive. La non stationnarité est à la fois de type déterministe et aléatoire. L’impact d’un choc aléatoire est également permanent et se cumule au cours du temps.

Pour les modèles DS la bonne méthode de stationnarisation est l’utilisation d’un filtre aux différences premières.

Dans le document Prix des matières premières dans le domaine automobile : une analyse économétrique de la dynamique du prix des plastiques (Page 133-137)