Description du modèle analytique

Pour modéliser l’hydrolienne à membrane ondulante, on considère une membrane inextensible (équation 2.1) soumise à des charges latérales uni-quement. L’hypothèse des petits déplacements permet d’utiliser l’équation de dynamique des poutres de Euler-Bernouilli (équation 2.2) pour décrire le système, où s est la coordonnée curviligne le long de la membrane, t le temps, m_s la masse linéïque de la poutre, EI_~z la rigidité en flexion et Q(s, t) les charges extérieures. La gravité et la poussée d’Archimède sont négligées du fait de la faible différence entre la densité de la membrane et celle de l’eau. La raideur de la membrane dans la direction transverse à l’écoule-ment est plus grande que sa raideur longitudinale ce qui fait que les mouve-ments transverses sont très petits et que l’on peut négliger les effets 3D pour simplifier le problème. Ces hypothèses sont souvent utilisées dans la litté-rature pour décrire des poutres ou des plaques en porte-à-faux (voir par exemple : [Alben & Shelley, 2008], [Eloy et al., 2007], [Howell et al., 2008], [Morris-Thomas, 2009] et [Shelley & Zhang, 2011]).

(^∂x ∂s⁾ 2+ (^∂y ∂s⁾ 2 = 1 (2.1) ∂2 ∂s2(EI_vecz^∂ 2y ∂s2) = −m_s^∂ 2y ∂t2 + Q(s, t) (2.2) L’écoulement est considéré comme incompressible, potentiel et non vis-queux. En faisant l’hypothèse que la longueur de la poutre est bien plus grande que son épaisseur, il est possible d’utiliser la théorie des corps élancés [Lighthill, 1969]. Un résultat classique de cette théorie est l’expression de la différence de pression de part et d’autre de la membrane ∆p selon l’équation 2.3 où ma= ρf^λ_π est l’approximation de la masse ajoutée pour des drapeaux larges [Moretti, 2004] et w(s, t) est la composante de la vitesse du fluide orthogonale au corps solide.

∆p(s, t) = m_a(^∂

∂t ^{+ U∞} ∂

Cela amène à l’expression de la différence de pression de part et d’autre de la membrane à l’aide de l’équation 2.4.

∆p = ma(^∂ ∂t^{+ U∞} ∂ ∂s⁾ 2 y (2.4)

En combinant les équations 2.2 et 2.3, on arrive à l’équation 2.5 qui décrit la dynamique d’une poutre flexible en interaction avec un écoulement axial.

EI~z ∂4y ∂s4 + m_s^∂ 2y ∂t2 = −[m_aU_∞^{2 ∂} 2y ∂s2 + 2m_aU∞ ^∂ 2y ∂s∂t^{+ ma} ∂2y ∂t2] (2.5)

Nous étudierons par la suite les limites de cette formulation pour re-produire le mouvement d’une hydrolienne à membrane ondulante, dont le rapport d’aspect est proche de 1 [Eloy et al., 2007]. L’hypothèse des petits déplacements est exagérée au-delà de la vitesse critique, lorsque l’amplitude de la membrane est de l’ordre de L/2, mais la prise en compte des grands déplacements nécessite le développement d’équations non linéaires qui com-plexifient grandement le modèle [Alben & Shelley, 2008]. Ces deux limites font l’objet de développements présentés section 2.3.

Une des principales spécificités de notre système à modéliser vient du fait que la membrane est mise en flambement et comprimée par les câbles latéraux (figures 2.1 et 2.3). Les bras qui maintiennent la membrane et les déflecteurs (flaps) aux deux extrémités de la membrane doivent également être considérés.

Pour prendre en compte le flambement, on utilise la même formulation que [Morris-Thomas, 2009] avec un signe opposé à la tension [Dowell, 1982]. La force de compression est décomposée en deux composantes : une respon-sable du flambement et l’autre issue de la résultante de trainée de la pres-sion hydrodynamique. La composante de flambement est supposée égale à la charge critique d’Euler pour une poutre encastrée/libre. Elle possède donc avec un facteur de longueur effective de 2. Le coefficient de trainée C_d est ajusté pour correspondre aux résultats expérimentaux. Cette formulation est équivalente à une force tangente au bord de fuite de la membrane : T_hyp sur la figure 2.4, qui est proche de T_reeldans l’hypothèse des petits déplacements. De plus, on suppose que cette force est constante alors qu’en réalité elle os-cille autour d’une valeur moyenne dépendant de la forme et de la position de la membrane (figure 1.21).

T_{T otal} = T_{f lambement}+ T_trainee = ^π

2× EI_~z (2L)2 +¹

2^CdρfU

2

∞ (2.6)

Figure 2.4 – Schéma des efforts imposés à la membrane pris en compte dans le modèle linéaire.

Les bras sont des parties semi-rigides qui relient la membrane à son sup-port. Ils sont modélisés par une longueur additionnelle de membrane qui pos-sède les mêmes propriétés. La longueur de membrane qui aurait une raideur équivalente aux bras est alors calculée et ajoutée en amont de celle-ci (équa-tion 2.7). Ici, E_brasI_bras = 11EI_~z. La longueur équivalente correspondant aux bras n’interagit pas avec le fluide. Cette hypothèse donne une bonne repré-sentation du déplacement à l’extrémité amont de la membrane mais accentue artificiellement la pente au niveau de la liaison bras/membrane.

L = L + L^eq_bras = L + L_bras 3 s

EI_~z EbrasIbras

(2.7) Les déflecteurs sont des extensions rigides dans la continuité des extrémi-tés de la membrane. Ils augmentent la portance aux extrémiextrémi-tés et accroissent l’amplitude du mouvement. Leurs effets sont supposés équivalent à une force verticale générée par une plaque inclinée d’un angle θ_{sf lap} de surface L_{f lap}× b au sein d’un écoulement uniforme. Ici, s_{f lap} est la position des déflecteurs sur la membrane. Dans notre cas, s = L^eq_bras pour le deflecteur amont et s = L pour le deflecteur aval. La charge locale due aux flaps F_{f lap} est alors pro-portionnelle à la pente locale, comme décrit dans l’équation 2.8, où δ_i^j est le delta de Kronecker.

F_{f lap} = F_{f laps}θ(s, t)δ^sf lap

s = πρ_fL_{f lap}U_∞^{2 ∂y} ∂s^δ

sf lap

s (2.8)

L’amortissement interne du matériau est pris en compte à travers la for-mulation d’un matériau visco-élastique de Kelvin-Voigt où D est la viscosité apparente. Le système de conversion d’énergie (PTO) est aussi représenté par un terme visqueux additionnel (équation 2.9), comme cela a déjà été mo-délisé par [Singh et al., 2012b] pour estimer l’effet de films piezoélectriques. Ici, D⁰ est le coefficient d’amortissement simulant la conversion de puissance. Il entre en jeu dans l’évaluation de la puissance convertie.

F_viscoelastic = (D + D⁰) ^∂

5y

∂t∂s4 (2.9)

Les précédentes hypothèses permettent de représenter le comportement de l’hydrolienne à membrane ondulante par la formulation variationnelle sui-vante :