D´ eﬁnir des structures hi´ erarchiques ´ equivalentes

7.2 Vers des mod` eles de d´ ecision hi´ erarchiques polyvalents

7.2.3 D´ eﬁnir des structures hi´ erarchiques ´ equivalentes

La problématique globale vise à modifier la structure d’un modèle hiérarchique multicritères en conservant les mêmes résultats en terme d’agrégation. Cette transformation présente l’intérêt de pouvoir représenter et regrouper les critères selon des logiques différentes. Le modèle de décision peut ainsi évoluer et mettre en évidence des résultats correspondant à des modélisations différentes. L’analyse en retour d’un modèle de décision existant permet également d’expliciter les préférences des experts ayant élaboré le système.

Deux configurations principales peuvent être rencontrées. Dans le premier cas, le modèle existe sous une forme dite ” à plat”. Tous les critères sont des critères terminaux qui se décom- posent en classes d’évaluation. Le nombre de classes d’évaluation peut varier d’un critère à un autre. Les poids absolus affectés aux classes d’évaluation sont des données du problème. Dans ce cas, la problématique est de représenter un modèle existant sous une forme hiérarchique pour mettre en évidence des regroupements thématiques de critères et mieux expliciter la logique du modèle de décision.

Dans le second cas, le modèle hiérarchique est créé selon la démarche classique à partir d’une décomposition en critères de plus en plus spécifiques. A chaque niveau de la hiérarchie, les préférences entre critères de même niveau sont analysées pour déterminer les pondérations relatives des critères. Ces pondérations sont établies sur la base d’une structure. La comparaison avec une autre structuration exploitant les mêmes critères permet d’autres interprétations des mêmes données.

Les questions pos´ees sont les suivantes :

– comment peut-on expliciter et mettre en évidence les structures de préférences des diffé- rents experts en fonctions des critères ?

– comment peut-on analyser et comparer les groupes de critères à des niveaux supérieurs ? – comment peut-on passer d’un modèle à un autre ? Transformer un modèle ”à plat” en un

mod`ele hi´erarchique ?

En terme de mise en œuvre, les questions portent sur les méthodes de normalisation, l’analyse en retour des préférences et la comparaison de modèles hiérarchiques.

La démarche et la méthodologie portent sur trois problématiques et consistent à (Fig. 7.20) :

1. transformer un arbre à plat en une structure hiérarchique comprenant des poids normalisés `

a chacun des niveaux de la hiérarchie ou transformer un arbre hiérarchique en un autre arbre conduisant au même résultat d’évaluation (reconfiguration hiérarchique) ;

2. transformer un arbre hi´erarchique en un arbre ”`a plat” pour le rendre compatible avec le processus de fusion ER− MCDA (applatissement).

Figure 7.20 – Modèles de décision ”à plat” et hiérarchique

La reconfiguration hiérarchique impose de passer par une forme de modèle ”à plat” (Fig. 7.21) . Deux cas sont donc possibles :

– Si le modèle initial est déjà un modèle ”à plat”, on a seulement une étape de restructuration, hiérarchisation ;

– Si le modèle initial est un modèle hiérarchique, deux phases sont nécessaires. La première correspond `a l’”aplatissement ” du mod`ele. La seconde étape comprend la proposition d’une nouvelle structure et la hiérarchisation.

Figure 7.21 – Circuit de reconﬁguration d’un arbre hi´erarchique

Normalisation du mod`ele `a plat

Soit un mod`ele ”`a plat” comportant M crit`eres (tous terminaux), chaque crit`ere terminal

Cm est décompos´e en km classes (critères) d’évaluations not´ees C[m;j] avec j ∈ {1, 2, . . . , km}. Chaque classe d’´evaluation C_[m;j] est affectée d’un poids absolu not´e wevalm,j et d’un poids re- latif wevalRelm,j. Ce poids relatif dépend du mode de normalisation retenu au niveau des classes (critères) d’évaluation (mod`ele somme ou maximum). On appelle jm la classe d’évaluation re- tenue pour le crit`ere Cm lors de l’évaluation d’une alternative. L’évaluation complète d’une alternative peut donc être représent´ee par un vecteur de la forme [j1, j2, . . . , jm, . . . , jM] avec

jm ∈ {1, 2, . . . , km}.

L’´evaluation d’une alternative i est calcul´ee par EvalF lati = ∑M

Figure 7.22 – Première étape : choix et mise en œuvre d’un principe de normalisation sur un modèle ”à plat”

Reconfiguration d’un modèle à plat en une structure hiérarchique

On souhaite reconfigurer le modèle ”à plat” sous une forme hiérarchique en créant deux critères interm´ediaires Crec1et Crec2. Crec1regroupe les m premiers crit`eres terminaux du modèle `

a plat et Crec2regroupe les M− m derniers critères terminaux (Fig. 7.23). Pour chaque critère, le poids agrégé non normalisé du crit`ere terminal C[m] est égal `a w[m]AgU nN orm=

∑km

j=1wevalm,j avec km le nombre de classes d’´evaluation du crit`ere C[m]. Le poids normalis´e du crit`ere C[m] est

egal `a w[m]N orm=

w[m]AgU nN orm

N orm avec N orm = ∑M

j=1w[j]AgU nN orm. On d´eﬁnit w[rec1]AgU nN orm= ∑m

j=1w[j]N orm et w[rec2]AgU nN orm =

∑M

j=m+1w[j]N orm. Chacun des crit`eres ´etant devenu un

sous-crit`ere du crit`ere Crec1est normalis´e par w[m_rec1]N orm=

w[m]N orm

w_{[rec1]AgUnNorm}. Chacun des crit`eres ´

etant devenu un sous-crit`ere du crit`ere Crec2 est normalis´e par w[m_rec2]N orm =

w[j]N orm w_{[rec2]AgUnNorm}. Le principe essentiel consiste à raisonner et agréger des poids normalisés. Dans le modèle `

a plat, la part agrégée allouée au crit`ere Cm est w[m]N orm. Dans le modèle reconfiguré, elle est

egale `a w_[rec₁_{]AgU nN orm}· w_[m_rec1_{]N orm} = w_[rec₁_{]AgU nN orm}· w[m]N orm

w_{[rec1]AgUnNorm}. On retrouve w[m]N orm

Figure 7.23 – Deuxième étape : reconfiguration et calcul des poids normalisés agrégés dans le modèle hiérarchique

Exemple simpliﬁ´e

D´efinition du modèle à plat initial. Un exemple simple ci-dessous illustre le principe de la reconfiguration hiérarchique. Le modèle de départ correspond à un modèle à plat que l’on reconfigure vers deux modèles hiérarchiques not´es A et B. Le mod`ele ” à plat” de départ comprend six critères qui sont évalués par des poids absolus ou scores (Fig. 7.24). La méthode de normalisation utilisée est la m´ethode SommeMaximum (SM ). Comme la structure n’a qu’un niveau à ce stade, les poids normalis´es (w_{[i]N orm}) équivalent à des poids relatifs et à des poids agrégés.

Figure 7.24 – Modèle ”à plat” de référence

La normalisation des poids se fait sur la base de la somme des poids absolus agrégés des critères, ces derniers correspondant au maximum des poids des évaluations. Ces poids des éva- luations correspondent aux utilités (ou poids absolus, scores) qui sont affectés par le concepteur du modèle à chaque classe (Fig. 7.25).

Reconfiguration dans un premier modèle noté A. Le modèle à plat est reconfiguré dans le mod`ele de type A (notation purement indicative dans cet exemple) dans lequel on cr´ee trois critères intermédiaires regroupant respectivement les critères 1 et 2, 3 et 4 et enfin 5 et 6. L’objectif est de recalculer les poids relatifs de chaque critère de manière à ce que les poids agrégés soient les mêmes que dans le modèle initial à plat. Le principe du calcul consiste à effectuer une normalisation en utilisant les poids normalisés du modèle à plat (Fig. 7.26).

Figure 7.26 – Modèle ”à plat” reconfiguré dans la structure hiérarchique A

Par exemple, pour le critère n°3, le poids relatif du nouveau critère créé not´e RecA[12] est ´egal `

a 0.4, et le poids relatif du crit`ere terminal not´e RecA[121] est ´egal à 0.3_0.4. On vérifie que le poids agrégé obtenu par produit est bien égal `a 0.3 correspondant au poids normalis´e du critère n°3 dans le modèle à plat : le résultat d’une évaluation dans le modèle à plat et ce modèle donnera le même résultat. Par contre, les poids relatifs des nouveaux crit`eres RecA[11], RecA[12] et

RecA[13] permettent de les comparer et d’analyser la structure de pr´eférence leur correspondant. Comment est-ce que chaque critère est préféré aux deux autres ? Est-ce que cette structure de préférence est logique et correspond à l’avis initial de l’analyste ? Cette reconfiguration est donc un moyen de valider un modèle de décision hiérarchique en confrontant des points de vue. Cette comparaison est plus facile sur trois critères que sur les 6 critères initiaux : c’est la force et l’intérêt de l’approche analytique.

Figure 7.27 – Modèle ”à plat” reconfiguré dans la structure hiérarchique A : exemple d’appli- cation numérique

Reconfiguration dans un second modèle noté B. Le dernier exemple de type B cor- respond au même principe avec un niveau hiérarchique supplémentaire. Toujours pour le critère n°3, on vérifie que le poids agrégé correspond bien au poids normalisé du critère (Fig. 7.28).

Figure 7.28 – Modèle ”à plat” reconfiguré dans la structure hiérarchique B : exemple d’appli- cation numérique

Ce principe de reconfiguration associé à des règles de normalisation adaptées à la structure parfois ”non-conventionnelle” des méthodes existantes permet d’assurer une polyvalence entre

les modèles et de rétro-analyser des modèles existants. Il est mis en œuvre dans le cadre de la structure du modèle ”Sites Sensibles Avalanches”. Le calcul ne comporte aucune difficulté mais nécessite une structuration correcte et explicite des données pour être codé de manière informatique21.

Dans le document Prise en compte de l'incertitude dans l'expertise des risques naturels en montagne par analyse multicritères et fusion d'information (Page 163-170)