La résolution du système d’équations non linéaires présenté en section 4.2 est effectuée en appliquant l’algorithme de Levenberg-Marquardt, présenté ci-dessous.
4.3.1 Algorithme de Levenberg-Marquardt
Développé par Kenneth Levenberg en 1944 [78] et publié par Donald Marquardt en 1963 [79], cet algorithme d’optimisation a été conçu pour résoudre des problèmes de minimisation par moindres carrés de fonctions multi-variables et non linéaires. Depuis, il
4.3 Développement de l’algorithme de minimisation
est devenu l’un des algorithmes d’optimisation les plus utilisés [80]. Il associe la méthode du gradient et la méthode itérative de Gauss-Newton, basée sur le développement en série de Taylor, pour trouver la solution optimale. Alors que la méthode du gradient ne dépend pas de la racine initiale, mais converge lentement, celle de Gauss-Newton agit de manière opposée. L’algorithme Levenberg-Marquardt combine alors les deux pour en faire une méthode adaptative.
L’algorithme résout ces systèmes en minimisant la somme des carrés des résidus. En d’autres termes, la fonction à minimiser est la somme des carrés des différences entre un jeu de valeurs observées yi et les fonctions non linéaires correspondant au modèle, fi(x) :
S =X
i
(yi−fi(x))
2 (4.3.1)
Pour notre cas d’application, la méthode des moindres carrés consiste alors à minimiser la fonction suivante :
PBE(y, θ) − ln
´
SBE(E)dE
´
SBE(E) · exp (−ACfKN(E) − ACPfCP(E)) dE
!!2
+ PHE(y, θ) − ln
´
SHE(E)dE
´
SHE(E) · exp (−ACfKN(E) − ACPfCP(E)) dE
!!2
(4.3.2) Les valeurs observées sont les projections basse et haute énergie, c’est-à-dire les valeurs du même pixel des deux sinogrammes. Les paramètres du modèle à ajuster, et dont les valeurs finales nous intéressent, sont AC et ACP.
La méthode suit un processus itératif qui s’arrête lorsqu’il y a convergence vers une solution (avec un seuil de tolérance défini). Suivant le comportement des fonctions et la définition des valeurs initiales, l’algorithme peut :
— ne jamais converger ;
— converger (une convergence est jugée rapide lorsqu’elle nécessite environ 5 itéra- tions) ;
— converger très lentement ;
— converger, mais vers la mauvaise racine (minimum local et non global).
Pour résoudre l’équivalent d’un tel système en tomographie bi-énergie classique, Aze- vedo et al. [68] utilisent la généralisation de Simpson de l’algorithme de Newton à la réso- lution d’un système de deux équations non linéaires à deux inconnues avec une contrainte de non-négativité sur la solution. Cette méthode nécessite cependant d’initialiser les ra- cines avec des valeurs suffisamment proches des valeurs finales, ce qui n’est pas forcément évident à déterminer. D’autre part, une présupposition trop forte sur les valeurs peut entraîner un biais sur les valeurs finales.
4.3.2 Développement d’un programme de décomposition
Le traitement de couples de projections basse et haute énergie, et plus généralement de deux sinogrammes, a fait l’objet d’un développement d’un programme de post traitement codé en langage Python. Dans sa version finale, ce programme prend en données d’entrée :
— les deux sinogrammes basse et haute énergie issus de mesures ou de simulations ; — les spectres basse et haute énergie de la source X, de 0.2 à 25 MeV par pas de
— un fichier détecteur avec l’efficacité d’interaction et l’énergie moyenne déposée en fonction de l’énergie, également de 0.2 à 25 MeV par pas de 200 keV.
L’algorithme Levenberg-Marquardt est directement disponible dans l’écosystème SciPy de Python : le module optimize contient un grand nombre de fonctionnalités d’optimisa- tion, d’ajustement et de recherches de racines. Dans ce module est disponible la fonction
root permettant la recherche de racines pour des fonctions multi variables. Cette fonction
propose l’utilisation de différentes méthodes de minimisation, dont la méthode lm [81]. La précision attendue sur le résultat final est réglable par des paramètres de tolérance sur les erreurs relatives dans la somme des carrés et la solution estimée et par le nombre maximum d’itérations. Les valeurs d’origine ont été gardées pour ces paramètres, à savoir 1.49012 × 10−8 pour les erreurs relatives et 300 pour le nombre d’itérations. On peut
par conséquent résoudre des systèmes d’équations non linéaires par moindres carrés en utilisant cette fonction qui fait appel à une version modifiée de l’algorithme Levenberg- Marquardt, implémentée dans la librairie FORTRAN90 MINPACK via les routines lmdif et lmder [82].
L’algorithme s’applique alors sur chaque couple de projections (PBE(y, θ), PHE(y, θ)).
Ainsi, pour chaque jeu de pixels issus des sinogrammes, la fonction multi variables à donner en entrée de la fonction de minimisation est la suivante :
R+× R+× R+× R+ → R2 PBE(y, θ) PHE(y, θ) AC(y, θ) ACP(y, θ) 7→ PBE(y, θ) − ln ´S BE(E)dE ´
SBE(E)·exp(−ACfKN(E)−ACPfCP(E))dE
PHE(y, θ) − ln
´S
HE(E)dE
´
SHE(E)·exp(−ACfKN(E)−ACPfCP(E))dE
(4.3.3)
Les valeurs de projection PBE(y, θ) et PHE(y, θ) sont connues et passées en arguments de
la fonction, tandis que les inconnues AC(y, θ) et ACP(y, θ) restent variables et nécessitent
des valeurs d’initialisation. Cette initialisation fait l’objet de la section suivante.
Les spectres X, les efficacités d’interaction et les énergies déposées moyennes étant composés de données discrètes et non de fonctions continues de l’énergie, les intégrales sont approximées par la méthode des rectangles supérieurs, de 0.2 MeV à 25 MeV par pas de 200 keV : ˆ SBE,HE(E)dE = 0.2 × n X i=1 SX
BE,HE(Ei) × Eff(Ei) × Edep(Ei) (4.3.4)
Trois sinogrammes sont enregistrés en fin de processus :
— le sinogramme dit Compton, dont les valeurs de pixel correspondent à AC(y, θ) ;
— le sinogramme dit création de paires, dont les valeurs de pixel correspondent à ACP(y, θ) ;
— le sinogramme itérations, dont les valeurs de pixel correspondent au nombre d’ité- rations de l’algorithme nécessaires à la résolution du système pour ce pixel.
4.3.3 Initialisation des valeurs
A
Cet
A
CPLe choix des valeurs initiales de AC et ACP est important pour assurer une convergence
4.3 Développement de l’algorithme de minimisation
qualité de convergence tels que le nombre moyen d’itérations et le taux de mauvaise convergence ont permis de sélectionner la méthode d’initialisation la plus adaptée. La méthode retenue est une initialisation aléatoire sur une plage de valeurs dont les bornes correspondent aux minima et maxima des sinogrammes issus de simulations d’un colis CEA 870 L (voir section 5.2.1) : entre 0 et 30 pour AC, et entre 0 et 2 pour ACP. Les
valeurs maximales correspondent à une épaisseur d’environ 1 m de béton. Cette méthode a l’avantage de ne pas présupposer de la valeur de AC et ACP, réduisant par conséquent
le risque d’intégrer un biais dans le calcul. Il est à noter que ces valeurs maximales sont uniquement utilisées dans le cadre de l’initialisation de AC et ACP et ne constituent pas
un critère d’arrêt du programme.
Lorsque les valeurs sont en-dehors des plages normales, le voxel en question et l’ensemble de ses informations sont répertoriés dans un fichier erreur, permettant un diagnostic ul- térieur. Une valeur négative de AC ou ACP conjointe à une valeur trop élevée de l’autre
coefficient (plusieurs fois la borne maximale) indique que l’algorithme a convergé vers un minimum local qui n’a pas de sens physique. Généralement, le nombre d’itérations de l’algorithme lié à cette minimisation est très élevé par rapport au nombre d’itérations moyen.
Afin de comprendre les risques de mauvaise convergence, la figure 4.3.1 représente la fonction de l’équation 4.3.2 tracée en fonction de AC et ACP. Le couple de valeurs PBE et
PHE a été pris sur les sinogrammes simulés d’un fantôme cylindrique représentatif d’un
colis CEA 870 L, pour un pixel correspondant à une atténuation de 70 cm de béton et 6 mm d’acier (voir section 5.2.1). Pour cette position, les valeurs AC et ACP à trouver
sont respectivement 27.87 et 1.13, représentées par une croix blanche sur le graphique de droite de la figure 4.3.1 .
Figure 4.3.1 – Fonction de l’équation 4.3.2 à minimiser tracée en fonction de AC et ACP
- vue d’ensemble (gauche) et zoom sur la partie centrale (droite) où sont effectuées les initialisations
Sur cette figure, nous pouvons visuellement distinguer deux vallées de minimisation. La première, visible à l’arrière du graphique de gauche, propose des valeurs physiquement acceptables, c’est-à-dire pour des couples (AC,ACP) positifs. La seconde vallée, au premier
plan sur la même figure, fait converger les paramètres vers des valeurs négatives pour ACP
et très élevées pour AC.
Suivant les valeurs d’initialisation, les premières itérations de l’algorithme font alors basculer les nouveaux couples de valeurs dans l’une ou l’autre vallée. Par simulation, il a été observé que les points convergeant vers une mauvaise racine avaient comme point commun une valeur d’initialisation trop faible de AC (soit inférieure à 9 environ). Avec
cette valeur en tant que nouvelle borne inférieure pour l’initialisation aléatoire de AC,
l’algorithme converge en tout point des sinogrammes.
À l’avenir, si l’on souhaite réduire la durée du post traitement, une initialisation par voxel voisin (les valeurs finales du voxel voisin deviennent les valeurs initiales du voxel à traiter) ou par proportionnalité avec les sinogrammes classiques (AC et ACP sont respec-
tivement corrélés à PBE et PHE) peut être appliquée. Ces deux méthodes ont été testées
et permettent en effet de réduire le nombre moyen d’itérations de l’algorithme d’au moins 30 %. Néanmoins, et pour ne pas risquer d’introduire de biais, l’initialisation aléatoire est maintenue dans la suite de l’étude.