Détection du signal seul

  ˆ a_s = µˆa_s0+ νˆa⁺_i0, ˆ a_i = νˆa⁺_s0+ µˆa_i0. ^(2.22) ˆ

a_s0, ˆa⁺_s0, ˆa_i0 et ˆa⁺_i0 sont les opérateurs d’annihilation et de création de photons dans chaque mode.

III.2 Détection du signal seul

Dans cette partie, nous allons chercher les limites imposées par la mécanique quantique sur le bruit ajouté lors des processus d’amplification insensible à la phase et sensible à la phase lors de la détection du signal seul. Les détails du calcul sont dans l’annexe (C).

III.2.1 Amplificateur insensible à la phase

Figure 2.3 – Amplificateur insensible à la phase. Le trait en pointillé modélise la détection du signal seul à l’entrée et à la sortie de l’amplificateur.

Comme nous l’avons vu, le processus d’amplification est insensible à la phase quand uniquement le signal et la pompe sont présents à l’entrée de l’amplificateur (voir figure 2.3). Comme son nom l’indique, le gain et les fluctuations en sortie sont alors les mêmes pour toutes les quadratures du champ. Dans le cas d’une onde signal limitée par le bruit de grenaille, l’état du champ en entrée est donné par :

où |α_s0i est un état cohérent pour le signal.

En sortie, l’opérateur nombre de photons qui correspond à une mesure directe de l’intensité signal est donné par :

ˆ

N_{P IA,out} = ˆa+

saˆ_s

= |µ|²ˆa⁺_s0aˆ_s0+ µ^∗νˆa⁺_s0ˆa⁺_i0+ µν^∗ˆa_i0ˆa_s0+ |ν|^21 + ˆa⁺_i0ˆa_i0^. ^(2.24)

A partir de l’équation 2.24, on peut déduire le nombre moyen de photons en sortie de l’amplificateur dans le cas où on n’injecte que le signal à l’entrée :

D ˆ N^E P IA,out = hˆa+ sˆa_si = |µ|²|α_s0|²+ |ν|², (2.25)

où |α_s0|² est le nombre moyen de photons en entrée. Dans nos conditions, on peut négliger le terme d’émission spantanée |ν|² puisque le nombre moyen de photons est largement supérieur à 1. A partir de l’équation (2.25), on retrouve l’expression classique du gain

G_{P IA} donné par :

GP IA = |µ|². (2.26)

On peut exprimer la variance des fluctuations d’intensité à la sortie de l’amplificateur sous la forme suivante :

∆N_{P IA,out}² =^DN^ˆ2E

P IA,out−^DN^ˆE2

P IA,out. (2.27)

A partir des deux équations (2.25) et (2.27), on déduit la variance des fluctuations d’in-tensité dans le cas où on ne détecte que le signal :

∆N_{P IA,out}² = |µ|⁴|α_s0|²+ |µ|²|ν|^21 + |α_s0|^2. (2.28) A nouveau, on suppose que le nombre moyen de photons en entrée |α_s0|² est largement supérieur à 1. Après cette approximation la variance du nombre de photons à la sortie de l’amplificateur devient :

D’autre part, le signal en entrée est supposé être au bruit quantique standard :

∆N_{P IA,in}² = |α_s0|². (2.30) Le facteur de bruit de l’amplificateur insensible à la phase est donc donné par :

N F_s^{P IA} = ^{SN Rin} SN R_out ⁼ D ˆ N^E2 P IA,in ∆N2 P IA,in ∆N_{P IA,out}² D ˆ N^E2 P IA,out = ¹ G2 P IA ∆N_{P IA,out}² ∆N2 P IA,in . (2.31)

Finalement, à partir des équations (2.29, 2.30, 2.31), le facteur de bruit de l’amplificateur insensible à la phase devient :

N FP IA

s = 2 − _G¹

P IA. (2.32)

Dans la limite d’un gain grand, la dégradation du rapport signal à bruit est d’un facteur 2, soit 3 dB. Cette relation est à présent exploitable expérimentalement car le gain de l’amplificateur insensible à la phase G_{P IA} est une des données expérimentales accessibles. Le bruit rajouté provient essentiellement des fluctuations du vide présentes sur la voie complémentaire « idler ». La figure 2.4 montre un récapitulatif des états en entrée et en sortie lors du processus d’amplification insensible à la phase.

Figure 2.4 – Représentation de Fresnel du champ électromagnétique lors du processus d’amplification insensible à la phase : a) champ en entrée (état cohérent), et b) en sortie de l’amplificateur.

III.2.2 Amplificateur sensible à la phase

Contrairement au cas insensible à la phase, pour un amplificateur sensible à la phase à la fois le signal et l’idler sont injectés dans la fibre (voir figure 2.5). Dans ce paragraphe, nous décrivons le calcul du facteur de bruit introduit dans ce cas. Il faut donc à la fois déterminer le rapport signal à bruit à l’entrée et à la sortie de l’amplificateur. Nous supposons qu’on détecte le signal seul à l’entrée et à la sortie de l’amplificateur, comme schématisé par les traits en pointillé sur la figure 2.5.

Figure 2.5 – Amplificateur sensible à la phase. Le trait en pointillé modélise la détection du signal seul en entrée et en sortie de l’amplificateur.

Utilisons les notations déjà employées dans le paragraphe (III.1) et suivons le même raisonnement que dans le paragraphe III.2.1. A partir de l’équation (2.24), on montre que le nombre moyen de photons signal mesurés à la sortie de l’amplificateur sensible à la phase s’écrit sous la forme suivante :

D

ˆ

N^E

P SA,out = |µ|²|α_s0|²+ |ν|^21 + |α_i0|²+ µ^∗να^∗_s0α^∗_i0+ µν^∗α_s0α_i0^, (2.33) avec |α_s0|² et |α_i0|² les nombres moyens de photons respectivement du signal et de l’idler à l’entrée de l’amplificateur. Dans le cas où ces nombres sont égaux et grands devant 1 ( |α_s0|² = |α_i0|²  1 ), l’équation 2.33 devient : D ˆ N^E P SA,out = |α_s0|^2|µ|²+ |ν|^2+ 2Re (µνα^∗_s0α_i0) = |α_s0|^22G_{P IA}− 1 + 2^qG_{P IA}(G_{P IA}− 1) cos Θ^. ^(2.34)

à la phase :

G_{P SA} = 2G_{P IA}− 1 + 2^qG_{P IA}(G_{P IA}− 1) cos Θ. (2.35) On voit que le gain dans cette configuration dépend de la phase relative Θ. A partir de l’équation (2.35), on retrouve aussi l’expression du gain maximal noté G_max et qui correspond à une phase relative Θ = 0 :

Gmax = 2G_{P IA}− 1 + 2^qGP IA(G_{P IA}− 1). (2.36)

Cette valeur de gain est supérieure à l’unité : on a alors une amplification. On peut aussi déduire le gain minimal noté G_min qui correspond à une phase relative Θ = π :

G_min = 2G_{P IA}− 1 − 2^qG_{P IA}(G_{P IA}− 1). (2.37)

Cette valeur du gain est inférieure à l’unité (désamplification). En ce qui concerne les fluctuations d’intensité en sortie de l’amplificateur lorsque l’on détecte le signal seul, on montre de même que (voir annexe C) :

∆N_{P SA,out}² = |µ|⁴|α_s0|²+ |ν|⁴|α_i0|²|µ∗ν|^21 + |α_i0|²+ |α_s0|^2

+ ^|µ|²+ |ν|^2(µ^∗να_s0^∗ α^∗_i0+ µν^∗α_s0α_i0) . ^(2.38)

Le facteur de bruit de l’amplificateur sensible à la phase dans ce cas particulier est donné par :

N FP SA

s = ^2GP IA−1

GP SA . (2.39)

Le facteur de bruit, lorsque l’on ne détecte que le signal, dépend aussi du gain sensible à la phase et par conséquant de la phase relative Θ. D’autre part et à partir des trois équations (2.36, 2.37 et 2.39), on peut exprimer la figure de bruit du PSA lorsque l’on détecte le signal seul (à l’entrée et à la sortie de l’amplificateur) en fonction uniquement du gain sensible à la phase et on obtient l’expression suivante :

N FP SA

s = ^Gmax+Gmin

2GP SA . (2.40)

sensible à la phase est maximal le facteur de bruit tend vers ₂ (-3 dB) [5], [99]. Cette valeur de ¹₂ (-3 dB) ne signifie pas qu’il y a une amélioration du rapport signal à bruit à la sortie de l’amplificateur, mais elle s’explique par le fait qu’en entrée de l’amplificateur on mesure le bruit sur le signal seul. En revanche, en sortie de l’amplificateur le bruit sur le signal dépend de la puissance du signal et de celle de l’idler en entrée de l’amplificateur.

Figure 2.6 – Représentation de Fresnel du champ électromagnétique lors du processus d’amplification sensible à la phase : a) champ en entrée (état cohérent), et b) en sortie de l’amplificateur sensible à la phase.