L’amplificateur paramétrique le plus simple à réaliser expérimentalement consiste à utiliser deux pompes dégénérées. Le processus de mélange à quatre ondes fait donc inter-venir une onde pompe de pulsation ωp et deux ondes signal et idler de pulsations ωs et ωi respectivement.
III.3.1 Amplificateur sensible à la phase (PSA)
La dénomination « sensible à la phase » est généralement réservée au cas où les trois ondes pompe, signal et idler sont présentes à l’entrée de la fibre optique comme le montre la figure 3.1. En négligeant l’atténuation de la fibre, et suivant le calcul détaillé en annexe
Figure 1.11 – Principe d’un amplificateur sensible à la phase .
(A), le gain sensible à la phase pour le signal est donné par :
GP SA = 1 + " 1 + κ 2+ 4γ2Pp2η2+ 4κγPpη cos (Θ) 4g2 # sinh2(gz) + γPpη g sin (Θ) sinh (2gz) (1.38) avec η2 = PsPi le rapport entre la puissance de l’idler et du signal à l’entrée de la fibre
z = 0, et Θ la phase relative entre les trois ondes à l’entrée de la fibre. Cette phase est
définie par l’équation suivante :
Θ = 2φp− φs− φi, (1.39)
avec φp, φs et φi les phases de la pompe, du signal et de l’idler à l’entrée de la fibre. g représente le gain paramétrique linéique de l’amplificateur défini par :
g = s (γPp)2− κ 2 2 , (1.40)
avec κ (en m−1) le désaccord de phase total défini par l’équation 1.41, et qui représente la somme du désaccord de phase linéaire ∆βL causé par la dispersion et du désaccord de phase non linéaire ∆βN L = 2γPp dû à l’auto-modulation de phase (SPM) et à la modulation de phase croisée (XPM) :
κ = ∆βL+ ∆βN L. (1.41) ∆βL est donné par :
∆βL= β2(ωs− ωp)2+ β4
La symétrie spectrale des ondes implique uniquement les dérivées d’ordre pair de la constante de propagation (β2 et β4) dans la relation de désaccord de phase linéaire. Le développement jusqu’à l’ordre quatre est indispensable lorsque l’on travaille au voisinage de la longueur d’onde de dispersion nulle de la fibre (λZDW) car, dans ce cas, la dispersion de la vitesse de groupe β2 est nulle.
La figure 1.12, montre l’évolution du gain en fonction de la phase relative Θ, quand le signal et l’idler ont la même puissance à l’entrée de la fibre (η2 = 1). Le gain de l’amplificateur varie entre un maximum et un minimum avec une période de 2π. On définit alors la dynamique de l’amplificateur PSA (PSDR pour Phase Sensitive Dynamic Range) comme la différence entre le gain maximum (amplification) et le gain minimum (désamplification) en dB. Dans le cadre de nos approximations, le gain maximal (ampli-fication) est égal à l’opposé de la désamplification maximale. Une augmentation de la
Figure 1.12 – Variation du gain paramétrique d’un amplificateur sensible à la phase en fonction de la phase relative Θ pour trois différentes puissances de pompe (100, 200 et 300 mW). La longueur d’onde du signal est λs = 1547.16 nm, la longueur d’onde de la pompe est λp = 1547 nm
.
pour laquelle le maximum (minimum) de gain est atteint est modifiée.
La figure 1.13 représente le profil de gain sensible à la phase. On voit qu’en raison de l’effet Kerr, l’accord de phase parfait est décalé d’environ +/ − 30 nm par rapport à l’accord de phase linéaire. En effet, lorsque l’accord de phase total est parfait (κ = 0), le désaccord de phase linéaire est totalement compensé par la non linéarité de la fibre (2γP = −∆βL). Le gain varie exponentiellement en fonction de la longueur de fibre et présente un maximum quand la phase relative est de π2. L’expression simplifiée du gain s’écrit donc : GmaxP SA Θ = π 2 = exp (2γPpL) . (1.43)
D’après cette équation, on constate que le gain maximum de l’amplificateur est déterminé essentiellement par trois paramètres : la puissance de la pompe Pp, le coefficient non linéaire γ et la longueur de la fibre L.
Figure 1.13 – Courbe théorique du gain paramétrique d’un PSA avec une seule pompe (Θ = π
2). Les paramètres de l’amplificateur sont : L = 1011 m, β3 = 3.04 × 10−41 s3.m−1,
L’arrivée sur le marché de fibres fortement non-linéaires (HNLF) présentant un coefficient non linéaire au moins dix fois supérieur (20 W−1.km−1) à celui d’une fibre classique (1.3 W−1.km−1) a permis de réaliser des FOPAs avec des puissances de pompe de plus en plus faibles. Par ailleurs, la largeur de la bande spectrale d’amplification pour un triplet de paramètres (γ ; P ; L) fixe dépend des caractéristiques de dispersion de la fibre. En fonction de la position de la longueur d’onde de dispersion nulle de la fibre (λZDW) par rapport à la longueur d’onde de la pompe, plusieurs cas de figure sont possibles comme le montre la figure 1.14 :
Cas où λp = λZDW-1 nm : dans ce cas, on dit que la pompe est en régime de dispersion
Figure 1.14 – Courbe de gain paramétrique d’un amplificateur sensible à la phase (Θ =
π
2) pour différentes caractéristiques de dispersion. Les paramètres de l’amplificateur sont :
L = 1011 m, β3 = 3.04 × 10−41 s3.m−1, β4 = −1.49 × 10−55 s4.m−1, λp = λZDW = 1547 nm, Pp = 200 mW.
normale λp < λZDW. La largeur de la courbe de gain est assez réduite. La courbe verte présente deux pics de gain étroits et symétriques par rapport à la longueur d’onde de dispersion nulle. En effet, en régime de dispersion normale, le terme prédominant du désaccord de phase linéaire, β2, est positif.
la longueur d’onde de dispersion nulle, la largeur maximale de bande d’amplification est obtenue. Ici on obtient environ 80 nm, comme le montre la courbe bleue. C’est la configuration la plus utilisée pour les télécommunications.
Cas où λs = λZDW+1 nm : la pompe est en régime de dispersion anormale, c’est-à-dire
λZDW < λP (courbe rouge), le désaccord de phase linéaire est négatif (β2 < 0) quel
que soit l’écart spectral entre la pompe et le signal. Pour les faibles écarts spectraux, il compense légèrement le déphasage non linéaire, puis pour un écart spectral croissant, il le compense de mieux en mieux, le gain augmente donc avec l’écart spectral. Pour une certaine valeur de la longueur d’onde du signal (ici λp + 18 nm), les désaccords se compensent exactement et l’accord de phase total est parfait. Le gain est donc maximum pour cette longueur d’onde. Il diminue ensuite abruptement car le désaccord linéaire devient trop négatif. La largeur de la courbe de gain reste néanmoins moins importante que dans le cas où le désaccord de phase linéaire est nul.
Figure 1.15 – Courbe de gain paramétrique d’un amplificateur sensible à la phase (Θ = π2) pour deux longueurs de fibre HNLF (500 m et 1000 m). Les paramètres de l’am-plificateur sont : β3 = 3.04 × 10−41 s3.m−1, β4 = −1.49 × 10−55s4.m−1, λp = λZDW = 1547 nm, Pp = 200 mW.
Un autre paramètre qui intervient dans l’expression du gain d’un amplificateur pa-ramétrique est la longueur de la fibre non linéaire. La figure 1.15 présente les courbes de gain d’un PSA pour deux fibres HNLF similaires mais de longueurs différentes, 500 m et 1000 m. La longueur de la fibre n’intervient pas dans l’expression du désaccord de phase, elle n’a d’effet que sur le niveau du gain et sur l’uniformité de la bande spectrale de gain. Diminuer la longueur de la fibre lisse la courbe de gain et réduit les différences d’amplification entre les deux régimes de gain, qui sont définis tels que ∆βL≈ 0etκ = 0. Lorsque l’accord de phase total est parfait (pour des longueurs d’onde du signal loin de la longueur d’onde de la pompe : κ = 0), la différence du gain pour les deux fibres optiques est d’environ 10 dB, par contre lorsque la longueur d’onde du signal est proche de la longueur d’onde de la pompe (∆βL≈ 0), la différence entre les deux courbes de gain vaut environ 4 dB.
III.3.2 Amplificateur insensible à la phase (PIA)
Dans une configuration insensible à la phase avec pompe dégénérée, seuls la pompe et le signal sont présents à l’entrée de la fibre non linéaire, comme le montre la figure 1.16. L’onde idler est générée au cours de la propagation dans la fibre non linéaire, à la fréquence
ωi = 2ωp − ωs. A partir de l’équation 1.38, on peut rapidement déduire l’expression du
Figure 1.16 – Principe d’un amplificateur insensible à la phase . gain paramétrique insensible à la phase en prenant Pi = 0 :
GP IA= 1 + 1 + κ
2
4g2 !
sinh2(gL) . (1.44)
Contrairement au cas de l’amplification sensible à la phase, le gain est indépendant de la phase du signal : toutes les quadratures voient le même gain. Comme pour le cas sensible
à la phase, il existe deux régimes de gain paramétrique :
1) Si l’accord de phase total est parfait : κ = 0, c’est à dire pour des écarts spec-traux importants entre la pompe et le signal (figure 1.17), l’amplification suit un régime exponentiel, le gain paramétrique s’écrit alors (quand 2γPpL 1) :
GP IA≈ 1
4exp (2γPpL) . (1.45)
2) Lorsque la longueur d’onde du signal est très proche de la longueur d’onde de la pompe, on peut négliger le désaccord de phase linéaire (∆βL ≈ 0) et l’amplification suit un régime parabolique ou quadratique (figure 1.17). L’expression du gain (équation 1.44) se simplifie et devient :
GP IA≈ 1 + (2γPpL)2. (1.46)
Dans le cas où l’accord de phase total est parfait (κ = 0), et à partir des deux équations
Figure 1.17 – Comparaison entre gain sensible à la phase pour une phase relative Θ = π2 (courbe bleue) et gain insensible à la phase (courbe rose). Les paramètres de l’amplificateur sont : L = 1011 m, β3 = 3.04 × 10−41 s3.m−1, β4 = −1.49 × 10−55 s4.m−1, λp = λZDW = 1547 nm, PP = 200 mW.
insensible à la phase. Cette relation peut se mettre sous la forme suivante [63] :
GmaxP SA(Θ = π
2) = 4GP IA. (1.47)
l’équation (1.47) s’exprime en dB par :
GmaxP SA(Θ = π
2) (dB) = 6 + GP IA(dB) . (1.48)
On peut conclure que l’amplificateur sensible à la phase apporte 6 dB de gain en plus par rapport à un amplificateur insensible à la phase, et cela seulement quand l’accord de phase est parfait (κ = 0).
Effet de la polarisation sur le gain paramétrique
Figure 1.18 – Courbe de gain paramétrique d’un PIA : courbe rouge : les polarisations du signal et de la pompe sont identiques. Courbe bleue : les polarisations du signal et de la pompe sont perpendiculaires. Les paramètres de l’amplificateur sont : L = 1011 m,
β3 = 3.04 × 10−41 s3.m−1, β4 = −1.49 × 10−55 s4.m−1, λp = λZDW = 1547 nm, PP = 200 mW.
relative de la pompe et des signaux à amplifier. Comme le montre la figure 1.18, le gain est maximal lorsque les polarisations du signal et de pompe sont identiques (copolarisés linéairement) (courbe rouge), tandis qu’il est quasiment nul si elles sont perpendiculaires (courbe bleue) [70].
III.3.3 Amplification sensible à la phase : régime de saturation
Dans le paragraphe III.3, le gain de l’amplificateur sensible à la phase a été étudié sous la condition dite de "non déplétion de la pompe" c’est-à-dire pour Pp Ps. Dans ce cas, on dit que l’amplificateur fonctionne en régime linéaire ou régime de petits signaux et le gain du signal est indépendant de la puissance du signal injectée dans la fibre HNLF.
Cependant, lorsque les puissances de pompe et de signal sont comparables, l’ampli-ficateur fonctionne dans un régime différent car la pompe ne parvient plus à céder suf-fisamment d’énergie au signal. On parle alors de régime de saturation. Dans ce cas, la déplétion de la pompe par le signal ne peut plus être négligée. Dans ce régime, on ne peut plus négliger le signal et l’idler dans l’expression du désaccord de phase :
κ = ∆βL+ γ(2Pp− Ps− Pi). (1.49) Pour étudier le fonctionnement de l’amplificateur PSA en régime de saturation, on intro-duit dans les équations différentielles (1.34, 1.35 et 1.36) les puissances des ondes pompe, signal et idler Pj(z) = Aj · A∗
j avec j = (p, s, i). On obtient donc le système d’équations suivant [71] : dPp dz = −αPp− 4γqP2 pPsPisin Θ, (1.50) dPs dz = −αPs+ 2γ q P2 pPsPisin Θ, (1.51) dPi dz = −αPi+ 2γ q P2 pPsPisin Θ, (1.52)
dΘ dz = ∆βL+ γ (2Pp− Ps− Pi) + γ Pp2Pi Ps !1/2 + P 2 pPs Pi !1/2 − 4qPsPi cos Θ. (1.53)
La figure 1.19 montre l’évolution de la puissance de la pompe et de la puissance du signal en sortie du PSA en fonction de la puissance du signal à l’entrée de la fibre dans le cas d’un accord de phase total parfait (κ = 0) et dans le cas où le désaccord de phase linéaire est nul (∆βL≈ 0).
Quand l’accord de phase total est parfait (κ = 0), on distingue deux régions : dans un
Figure 1.19 – Evolution de la puissance de la pompe et du signal à la sortie du FOPA en fonction de la puissance d’entrée du signal : a) accord de phase total parfait et b) accord de phase linéaire nul. Les paramètres de l’amplificateur sont : L = 1011 m, β3 = 3.04 × 10−41 s3.m−1, β4 = −1.49 × 10−55 s4.m−1, λp = λZDW = 1547 nm, PP = 200 mW.
premier temps, l’amplificateur fonctionne en régime linéaire pour des puissances d’entrée du signal+ idler inferieures à −5 dBm. La puissance de pompe en sortie de l’amplificateur PSA reste constante après propagation dans la fibre non linéaire. Pour des puissances du signal+ idler à l’entrée de la fibre supérieures à −5 dBm, on remarque que la puissance du signal en sortie du PSA sature. La puissance de la pompe en sortie de fibre n’est plus constante et commence à diminuer.
Par contre, dans la situation d’accord de phase linéaire (∆βL ≈ 0), on remarque que la saturation commence à apparaître pour des puissances du signal d’entrée plus fortes (≥ 5
dBm). Par conséquent, l’effet de saturation est moins présent quand le signal à amplifier se trouve à proximité de la pompe.
Figure 1.20 – Courbe de gain paramétrique d’un amplificateur sensible à la phase pour plusieurs niveaux de puissance de signal à l’entrée de la fibre HNLF et pour une phase relative Θ = π2. Les paramètres de l’amplificateur sont : L = 1011 m, β3 = 3.04 × 10−41 s3.m−1, β4 = −1.49 × 10−55 s4.m−1, λp = λZDW = 1547 nm, PP = 200 mW.
Le phénomène de saturation dépend de l’écart spectral pompe-signal. En effet, la figure 1.20 montre l’évolution du gain du signal en fonction de sa longueur d’onde pour différents niveaux de puissances du signal+ idler à l’entrée de la fibre optique HNLF (0.1 mW, 1 mW, 10 mW et 50 mW). On constate que lorsque la puissance du signal+ idler augmente le gain diminue. Autour de l’accord de phase linéaire ∆βL ≈ 0(zone de gain quadratique), on remarque que l’amplificateur est moins sensible à la saturation qu’au voisinage de l’accord de phase parfaitκ = 0(zone de gain exponentiel).
Le système d’équations différentielles (1.50, 1.51 et 1.52) permet de prendre en compte la déplétion de la pompe au cours de l’amplification. En résolvant ce système numérique-ment, nous avons représenté sur la figure 1.21 l’évolution dans la fibre des puissances de pompe et de signal, de puissances initiales 0.5 W et 1 µW respectivement. Ce résultat de simulation est obtenu pour un signal écarté de 30 nm de la pompe (λs = 1576.4 nm) vérifiant un accord de phase parfait et un gain d’amplification maximal.
Figure 1.21 – Evolution de la puissance de la pompe et du signal en fonction de la longueur de la fibre HNLF pour une longueur d’onde du signal λs = 1576.4 nm et pour une phase relative Θ = π2. Les flèches rouges montrent le sens de transfert d’énergie.
III.4 Amplificateur paramétrique : configuration à deux pompes
Dans le cas d’un FOPA à deux pompes de fréquences distinctes (pompes non dégéné-rées), comme le montre la figure 1.22, deux configurations sont possibles : signal et idler dégénérés (ωs = ωi) ou non (ωs6= ωi).
Figure 1.22 – Processus de mélange à quatre ondes avec deux pompes non dégénérées. a) signal et idler sont dégénérés b) signal et idler ne sont pas dégénérés.
III.4.1 Amplificateur sensible à la phase (PSA)
On considère ici que l’amplificateur opère en régime de petits signaux, c’est-à-dire que les puissances du signal et de l’idler à amplifier demeurent très inférieures aux puissances des deux pompes P1 et P2. Négligeant les pertes de propagation dans la fibre non linéaire et considérant le cas général, c’est-à-dire, les quatre ondes avec des fréquences distinctes, les équations couplées s’écrivent :
dA1 dz = iγ nh |A1|2+ 2|A2|2+ |As|2+ |Ai|2i A1+ 2A∗2AsAiexp (i∆βLz)o, (1.54) dA2 dz = iγ nh |A2|2+ 2|A1|2+ |As|2+ |Ai|2i A2+ 2A∗1AsAiexp (i∆βLz)o, (1.55) dAs dz = iγ nh |As|2+ 2|A1|2+ |A2|2+ |Ai|2iAs+ 2A∗iA1A2exp (−i∆βLz)o, (1.56) dAi dz = iγ nh |Ai|2+ 2|A1|2+ |A2|2+ |As|2iAi + 2A∗sA1A2exp (−i∆βLz)o. (1.57)
Suivant le même calcul que celui du cas d’un PSA à une pompe (Annexe A), le gain sensible à la phase du signal est donné par :
GP SA =1 + " 1 + κ 2+ 16γ2P1P2η2+ 8κγ√ P1P2η cos (Θ) 4g2 # sinh2(gL) +2γ √ P1P2η sin (Θ) g sinh (2gL) , (1.58) où Θ = φs+ φi− φ1− φ2, (1.59)
est la phase relative entre les ondes à l’entrée de l’amplificateur.
η2 = Pi
est le rapport entre les puissances de l’idler et du signal à l’entrée de la fibre non linéaire de longueur L et g = s (2γ)2P1P2− κ 2 2 (1.61) est le gain paramétrique linéique.
κ = ∆βL+ γ(P1+ P2) (1.62) est le désaccord de phase total. Sa partie non linéaire prend en compte l’automodulation de phase induite par la pompe. Le désaccord de phase linéaire à l’ordre 4 de la dispersion de la fibre s’écrit : ∆βL = β2(ωs− ωx)2− ω2 y +β4 12 (ωs− ωx)4− ω4 y , (1.63) avec ωx = ωp1 + ωp2 2 , (1.64) ωy = ωp1 − ωp2 2 . (1.65)
La figure 1.23 représente une comparaison entre le profil du gain sensible à la phase dans le cas où les deux pompes sont dégénérées (PSA à une pompe en bleu) et dans le cas où les deux pompes ne sont pas dégénérées (PSA à deux pompes en rouge) pour une phase relative Θ = π2. Les FOPA à deux pompes permettent d’avoir une largeur de bande de gain plate et cela pour des puissances de pompes modérées. Cette configuration est largement préférée en télécommunications optiques du fait la possibilité d’amplifier des signaux WDM avec un gain plat.
La figure 1.24 présente le profil du gain pour différentes valeurs de la phase relative entre les ondes injectées à l’entrée de la fibre. On peut constater que, quand l’accord de phase est parfait, et selon la valeur de la phase relative, on peut amplifier le signal avec un gain maximum (G = 20 dB) pour Θ = π2 ou le désamplifier avec un gain minimum (G = −20 dB) pour Θ = −π2.
Figure 1.23 – Gain sensible à la phase en fonction de la longueur d’onde du signal pour une phase relative Θ = π
2, dans le cas où les deux pompes sont dégénérées (courbe bleue) et dans le cas où les deux pompes ne sont pas dégénérées (courbe rose). Les paramètres de l’amplificateur dans le cas où les deux pompes ne sont pas dégénérées sont : L = 1011 m, β3 = 3.04 × 10−41 s3.m−1, β4 = −1.49 × 10−55 s4.m−1, λs = λZDW = 1547 nm,
λ1 = 1547.16 nm et λ2 = 1546.84 nm, P1 = 100 mW, P2 = 100 mW. Dans le cas où les deux pompes sont dégénérées les paramètres sont : L = 1011 m, β3 = 3.04 × 10−41s3.m−1,
β4 = −1.49 × 10−55 s4.m−1, λ = λZDW = 1547 nm, λ1 = 1547.16 nm et λ2 = 1546.84 nm,
P1 = 100 mW, P2 = 100 mW.
III.4.2 Amplificateur insensible à la phase (PIA)
Dans le cas où la puissance du complémentaire est nulle à l’entrée de la fibre HNLF (Pi), on retrouve à nouveau l’expression habituelle du gain paramétrique insensible à la phase. GP IA= 1 + 1 + κ 2 4g2 ! sinh2(gL) . (1.66)
La figure 1.25 permet de comparer le gain insensible à la phase dans le cas à une seule pompe (courbe rouge) et dans le cas à deux pompes (courbe verte). On voit bien que la courbe de gain est beaucoup plus plate que dans le cas où deux pompes dégénérées. On constate de plus que la largeur de la courbe de gain est donnée par l’automodulation de phase, et ne dépend pas du tout de la faible différence de fréquence entre les deux pompes.
Figure 1.24 – a) Gain sensible à la phase en fonction de la longueur d’onde du signal pour plusieurs phase relative (Θ). Les paramètres de l’amplificateur sont : L = 1011 m,
β3 = 3.04 × 10−41 s3.m−1, β4 = −1.49 × 10−55 s4.m−1, λs = λZDW = 1547 nm, P1 = 100 mW, P2 = 100 mW. b) Variation du gain de l’amplificateur en fonction de la phase relative Θ
IV Conclusions
Dans la première partie de ce chapitre, nous avons rappelé le principe de transmission des signaux RF dans des fibres optiques. Nous avons également vu à partir d’un calcul simple du gain d’une liaison opto-RF, la nécessité d’intégrer un amplificateur optique afin de compenser les pertes de conversion et de transmission sans dégrader le rapport signal à bruit. Dans cette optique, nous avons proposé d’étudier les potentialités de l’amplifi-cation paramétrique sensible à la phase pour des applil’amplifi-cations en optique micro-onde et en particulier, le transport de signaux radio-fréquence sur porteuse optique. Ce thème a fait l’objet d’un projet de recherche labellisé par l’agence nationale de la recherche sous l’acronyme NAMOCS.
Dans la deuxième et la troisième partie de ce chapitre, les principaux effets physiques linéaires et non linéaires ainsi que le principe de fonctionnement de l’amplification insen-sible et seninsen-sible à la phase ont été présentés.
Les différents résultats de simulation ont permis de comprendre les conditions de fonc-tionnement d’un tel amplificateur à fibre et de dégager les contraintes nécessaires pour
Figure 1.25 – Gain insensible à la phase en fonction de la longueur d’onde du signal, dans le cas où les deux pompes sont dégénérées (courbe bleue) et dans le cas où les deux pompes ne sont pas dégénérées (courbe rouge). Les paramètres de l’amplificateur sont :
L = 1011 m, β3 = 3.04 × 10−41 s3.m−1, β4 = −1.49 × 10−55 s4.m−1, λs = λZDW = 1547 nm, P1 = 100 mW, P2 = 100 mW, λ1 = 1547.16 nm et λ2 = 1546.84 nm.
Facteur de bruit d’un amplificateur
sensible à la phase à une pompe
Sommaire
I Introduction . . . . 66 I.1 Etat de l’art sur le facteur de bruit des amplificateurs
paramé-triques . . . 66 II Gain de l’amplificateur sensible à la phase avec une seule
pompe . . . . 72 II.1 Amplificateur sensible à la phase . . . 72 II.2 Amplification insensible à la phase . . . 74 III Calcul du facteur de bruit . . . . 74 III.1 Hypothéses du calcul du facteur de bruit . . . 75 III.2 Détection du signal seul . . . 76 III.2.1 Amplificateur insensible à la phase . . . 76 III.2.2 Amplificateur sensible à la phase . . . 79