Détection combinée du signal et de l’idler : cas du PSA

Nous présentons dans ce paragraphe les principales étapes du calcul du facteur de bruit d’un amplificateur sensible à la phase lors de la détection combinée du signal et de l’idler en entrée et en sortie de l’amplificateur (voir figure C.4).

Figure C.4 – Principe d’un amplificateur sensible à la phase. Le trait en pointillés mo-délise la détection de l’ensemble signal et idler à l’entrée et à la sortie de l’amplificateur.

Pour calculer la variance des fluctuations d’intensité à la sortie du PSA, il faut cal-culer ces termes : ∆2N_{s,P SA,out}, ∆2N_{i,P SA,out} et 2^DN^ˆ_sN^ˆ_i^E−^DN^ˆ_s^{E D}N^ˆ_i^E

P IA,out. Dans un premier temps, nous calculons la variance des fluctuations d’intensité du signal en sortie de l’amplificateur :

∆N_{s,P SA,out}² =^DN^ˆ_s^2E−^DN^ˆ_s^E2. (C.40) Le nombre moyen de photons sur le voie du signal en sortie de l’amplificateur est donné par : D ˆ N_s^E P SA,out = hα_s0α_i0|ˆa+ sˆa_s| α_s0α_i0i = ^Dα_s0α_i0   µ^∗ˆa⁺_s0+ ν^∗ˆa_i0^{ }µˆa_s0+ νˆa⁺_i0^ α_s0α_i0^E = |µ|^2Dα_s0α_i0 ˆa⁺_s0ˆa_s0 α_s0α_i0^E+ |ν|^2Dα_s0α_i0 aˆ_i0ˆa⁺_i0 α_s0α_i0^E + µ^∗ν^Dα_s0α_i0 ˆa⁺_s0ˆa⁺_i0 α_s0α_i0^E+ µν^∗hα_s0α_i0|ˆa_i0ˆa_s0| α_s0α_i0i = |µ|²|α_s0|²+ |ν|^21 + |α_i0|^2+ µ^∗να^∗_s0α^∗_i0+ µν^∗α_s0α_i0 = |µ|²|α_s0|²+ |ν|^21 + |α_i0|^2+ 2Re (µν^∗α_s0α_i0) . (C.41)

Suivant les mêmes étapes que dans le paragraphe (C.4), nous calculons les termes ^DN^ˆ2

s E

et N^ˆ_s . Nous déduisons donc les fluctuations d’intensité sur la voie signal :

∆N2

s,P SA,out = |µ|⁴|α_s0|² + |ν|⁴|α_i0|²+^1 + |α_i0| + |α_s0|^2|µ∗ν|²

+ ^|µ|²+ |ν|^2(µ^∗να_i0^∗α^∗_s0+ µν^∗α_i0α_s0) .

(C.42)

De même nous calculons le nombre moyen de photons sur la voie idler en sortie de l’amplificateur : D ˆ N_i^E P SA,out = ^Dα_s0α_i0 ˆa⁺_i ˆa_i α_s0α_i0^E = ^Dα_s0α_i0   ν^∗aˆ_s0+ µ^∗ˆa_i0^{+ }νˆa⁺_s0+ µˆa_i0^ α_s0α_i0^E = |µ|^2Dα_s0α_i0 ˆa⁺_i0aˆ_i0 α_s0α_i0^E+ |ν|^2Dα_s0α_i0 ˆa_s0aˆ⁺_s0 α_s0α_i0^E + µ^∗ν^Dα_s0α_i0 ˆa⁺_i0ˆa⁺_s0 α_s0α_i0^E+ µν^∗hα_s0α_i0|ˆa_s0ˆa_i0| α_s0α_i0i = |µ|²|α_i0|²+ |ν|^21 + |α_s0|^2+ 2Re (µν^∗α_s0α_i0) . (C.43)

Nous calculons ensuite la variance des fluctuations d’intensité sur la voie de l’idler en sortie de l’amplificateur. Nous obtenons :

∆N2

i,P SA,out = |ν|⁴|αs0|²+ |µ|⁴|αi0|²+^1 + |α_i0| + |αs0|^2|µ∗ν|²

+ ^|µ|²+ |ν|^2(µ^∗να_i0^∗α^∗_s0+ µν^∗α_i0α_s0) .

(C.44)

Finalement, pour calculer la variance des fluctuations totales d’intensité, nous déterminons le terme de corrélation en sortie de l’amplificateur :

2^DN^ˆ_sN^ˆ_i^E−^DN^ˆ_s^{E D}N^ˆ_i^E = ^1 + |α_i0| + |α_s0|^2|µ∗ν|²+ |µ|²|ν|^2|α_s0|² + |α_i0|^2 + ^|µ|²+ |ν|^2(µ^∗να_i0^∗ α^∗_s0+ µν^∗α_i0α_s0) .

(C.45) Ainsi, à partir des équations (C.42), (C.44) et (C.45), nous déduisons la variance des

fluctuations d’intensité totale à la sortie du l’amplificateur :

∆ (N_s+ N_i)²_{P SA,out} = ∆2N_{s,P SA,out}+ ∆2N_{i,P SA,out}+ 2^DN^ˆ_sN^ˆ_i^E−^DN^ˆ_s^{E D}N^ˆ_i^E

P SA,out

= 4^1 + |α_s0|² + |α_i0|^2|µ∗ν|²+^|µ|²+ |ν|^22|α_s0|²+ |α_i0|^2 + 4^|µ|²+ |ν|^2(µν^∗α_s0α_i0+ µ^∗να^∗_s0α^∗_i0) .

(C.46) La variance des fluctuations d’intensité en entrée de l’amplificateur est donnée par :

∆2(N_s+ N_i)_{P SA,in} = |α_s0|²+ |α_i0|². (C.47)

Rappelons maintenant l’expression du facteur de bruit du PSA lors de la détection com-binée du signal et idler :

N F_c^{P SA}= ^∆

2(N_s+ N_i)_{P SA,out}

G2

P SA∆2(N_s+ N_i)_{P SA,in}^{. (C.48)} Nous injectons les équations (C.46) et (C.47) dans (C.48) :

N F_c^{P SA} = ^{(2GP IA}− 1)² G2 P SA +^{4GP IA(GP IA}− 1) G2 P SA + 4^{(2GP IA}− 1) G2 P SA q G_{P IA}(G_{P IA}− 1) cos (Θ) . (C.49) Après quelques étapes de calcul l’équation (C.49) se simplifie et nous retrouvons l’expres-sion du facteur de bruit N FP SA

c :

N F_c^{P SA} = 2^{2GP IA}− 1

G_{P SA} ^{. (C.50)}

Nous pouvons aussi exprimer le facteur de bruit en fonction du gain du PSA :

N F_c^{P SA}= ^Gmax+Gmin_G

Calibration du bruit du signal et de

l’idler pour deux différentes

configurations

Dans cette annexe, nous décrivons les mesures de bruit du signal et de l’idler que nous avons effectuées pour deux différentes configurations expérimentales. De plus, nous comparons les résultats de ces mesures avec le bruit de grenaille attendu. Les deux confi-gurations expérimentales explorées correspondent à celles utilisées au chapitre 4 pour mesurer le facteur de bruit du PSA.

D.1 Montage expérimental pour la détection

combi-née du signal et idler

La figure D.1 illustre le montage expérimental mis en place pour caractériser le bruit du signal et de l’idler à l’entrée de l’amplificateur. Ce montage est basé sur un seul laser "TUNICS". La sortie du TUNICS (10 dBm, 1547 nm) est divisée en deux voies en utilisant un coupleur 10/90. Le bras à 90% est utilisé pour générer le signal et l’idler par l’intermédiaire d’un modulateur d’intensité (MZM). En sortie du modulateur, le signal et l’idler sont amplifiés (EDFA₂) et filtrés avec deux filtres passe bande. Ensuite, Nous insérons un atténuateur optique en sortie des deux filtres passe bande.

Figure D.1 – Montage expérimental utilisé pour caracteriser le bruit du signal et de l’idler.

photodiode de 1.2 GHz bande passante, suivie d’un T de polarisation. La puissance à mesurer étant inférieure au plancher de bruit de l’analyseur de spectre électrique, il est nécessaire de l’amplifier avant de la mesurer. L’amplificateur utilisé a un gain de 32 dB, une bande passante de 500 MHz et une puissance de saturation de 0 dBm. Toutes les mesures des puissances de bruit ont été effectuées à une fréquence de 300 MHz.

D.2 Résultats

Nous présentons sur la figure (D.2) les résultats de mesures de puissance de bruit en fonction de photocourant détecté en tracé logarithmique (D.2 a)) et en tracé linéaire (D.2 b)). Ces mesures sont obtenues pour une puissance du laser fixe qui vaut 10 dBm et aussi une puissance en sortie de l’EDFA₂fixe,correspondant aux conditions des mesures de bruit du chapitre 4. La variation du photocourant détecté a été effectuée par l’intermédiaire d’un atténuateur optique.

La courbe bleue sur les figure (D.2 a) et D.2 b)) représente la variation de puissance de bruit mesurée en fonction du photocourant détecté. Ces mesures ont été comparées au calcul théorique de puissance de bruit de grenaille (courbe rouge) donnée par l’équation (D.1) :

N_shot = 2eI_phRB (D.1)

Nous remarquons sur ces courbes que l’évolution du bruit en fonction du photocourant présente deux régimes successifs. Tout d’abord, pour des photocourants inférieurs à 0.2 mA, le bruit évolue linéairement, comme prédit par l’équation (D.1). Pour des photocou-rants plus élevés, le bruit évolue quadratiquement en fonction du courant, ce qui indique le bruit d’intensité relatif devient dominant. Par conséquent, nous considérons que pour des photocourants inférieurs à 0.2 mA, correspondant aux mesures du chapitre 4, nous sommes bel et bien à la limite quantique. L’écart de 2 à 3 dB avec la valeur théorique du bruit de grenaille est certainement due à une erreur sur la valeur du gain de l’amplificateur électrique, que nous n’avons pas mesurée précisément.

Figure D.2 – Courbe de variation de puissance de bruit à 300 MHz en fonction du photocourant détecté. a) En régime logarithmique : mesures expérimentales (courbe bleu) et calcul du bruit de grenaille correspond au photocourant détecté (courbe rouge). b) En régime linéaire : mesures expérimentales (courbe bleu) et calcul du bruit de grenaille correspond au photocourant détecté (courbe rouge).La partie encerclée correspond à la région dans laquelle le bruit mesuré évolue linéairement avec le photocourant, montrant que le bruit de grenaille est prédominant.

D.3 Montage expérimental pour la détection du