Chapitre 5 Incertitudes paramétriques et incertitudes prédictives
5.2 Démarche d’évaluation des incertitudes
Dans cette partie, nous présentons la méthodologie employée pour mettre en œuvre la méthode NSMC sur les modèles développés dans ce travail de thèse. De plus amples détails sur l’ensemble des variantes de cette méthode d’analyse des incertitudes sont disponibles dans les travaux de (Doherty, 2010a; Tonkin and Doherty, 2009).
5.2.1 Génération aléatoire de sets de paramètres et projection sur l’espace nul
La première étape nécessaire à l’implémentation de la méthode NSMC consiste à calibrer le modèle, afin de générer un set de paramètres calibrés, appelé 𝑝∗ .
Ensuite, un ensemble de sets de paramètres sont générés aléatoirement36 suivant une distribution normale, dont la moyenne correspond à la valeur des paramètres calibrés, et l’écart-type est donné par la matrice de covariance a priori des paramètres 𝐶(𝑝). Comme évoqué au chapitre 4, cette matrice diagonale est constituée de la variance des paramètres, calculée à partir des bornes inférieures et supérieures des paramètres, en supposant que la distribution de ces paramètres suit une loi log-normale. En outre, afin que les paramètres conservent leurs vraisemblances d’un point de vue géologique, l'exploration de la variabilité des paramètres a été contrainte par les bornes inférieures et supérieures des paramètres établis, pour chaque paramètre, sur la base de connaissances d'experts et de données bibliographiques.
Pour finir, une procédure est mise en œuvre afin que les sets de paramètres générés aléatoirement satisfassent les contraintes de calibration37. La première étape de ce processus consiste à subdiviser l’espace des paramètres en espace de solution et en espace nul. L’espace de solution comprendra les combinaisons linéaires de paramètres qui sont informées par les données de conditionnement du problème inverse, et les combinaisons de paramètres insensibles aux données de conditionnement seront contenues dans l’espace nul. A ces fins, la matrice Jacobienne du modèle, calculée à partir des paramètres calibrés, est décomposée en valeur singulière suivant une procédure légèrement différente que de celle décrite au chapitre 4 (car dans notre cas d’étude, la matrice Jacobienne n’est pas une matrice carrée) :
𝐽 = 𝑈𝛴𝑉𝑡 (5.1)
où 𝐽 est la matrice Jacobienne (𝑚 × 𝑛), 𝑈 et V sont des matrices orthogonales, respectivement de dimension (𝑚 × 𝑚) et (𝑛 × 𝑛), et 𝛴 est une matrice diagonale contenant les valeurs singulières de 𝐽. A cette étape, il est nécessaire de déterminer la dimension de l’espace de solution et de l’espace nul, afin de décomposer la matrice en deux sous-matrices telles que 𝑉𝑡 = 𝑉1𝑡𝑉2𝑡. Dans ce cas, la matrice 𝑉1𝑉1𝑡 (qui est une matrice carrée (𝑛 × 𝑛), où 𝑛 est le nombre de paramètres du modèle), est la matrice de résolution R, qui spécifie les relations entre les paramètres estimés 𝑝, et les paramètres observés 𝑃𝑜𝑏𝑠. Par ailleurs, 𝑉2𝑉2𝑡 est la matrice carrée (𝑛 × 𝑛), contenant les vecteurs orthogonaux couvrant l’espace nul de l’espace des paramètres.
Le set de paramètres calibrés 𝑝∗ est ensuite soustrait des sets de paramètres stochastiques 𝑝𝑖𝑟𝑎𝑛𝑑 afin d’obtenir (𝑝𝑖𝑟𝑎𝑛𝑑− 𝑝∗). La différence entre les vecteurs de paramètres est projetée sur l’espace nul, afin de supprimer les composantes qui se situent dans l’espace de solution (Doherty, 2014a; Tonkin and Doherty, 2009) :
(𝑝𝑖𝑟𝑎𝑛𝑑− 𝑝∗)′= 𝑉2𝑉2𝑡 (𝑝𝑖𝑟𝑎𝑛𝑑− 𝑝∗) (5.2)
36 En utilisant l’utilitaire PEST RANDPAR.
avec 𝑖 ∈ [1, … , 𝑁𝑠𝑡] et 𝑁𝑠𝑡 le nombre de sets de paramètres stochastiques générés. (𝑝𝑖𝑟𝑎𝑛𝑑− 𝑝∗)′ représente la projection sur l’espace nul de la différence entre les vecteurs de paramètres.
Pour finir, la différence entre les vecteurs de paramètres projetés sur l’espace nul est ajoutée au set de paramètres calibrés 𝑝∗. On obtient ainsi 𝑁𝑠𝑡 sets de paramètres, notés 𝑃𝑖𝑛𝑠, qui contiennent les combinaisons de paramètres situées dans l’espace nul provenant des sets de paramètres stochastiques et les combinaisons de paramètres situées dans l’espace de solution provenant du set de paramètres calibrés. Dans le cas d’un modèle linéaire, alors les sets de paramètres 𝑃𝑖𝑛𝑠 produits par la méthode NSMC permettraient de calibrer le modèle au même niveau de précision que le modèle calibré avec le set de paramètres 𝑝∗. Cependant, comme les modèles mis en œuvre dans notre étude sont non linéaires, alors les sets de paramètres 𝑃𝑖𝑛𝑠 doivent être réajustés pour satisfaire les contraintes de calibration.
Herckenrath et al. (2011) ont étudié l’impact du seuil de troncature employé sur les résultats de la méthode NSMC. Ce dernier permet de déterminer la dimension de l’espace de solution et de l’espace nul lors de la décomposition de la matrice Jacobienne. L’emploi d’un espace de solution large se traduit par la production de sets de paramètres 𝑃𝑖𝑛𝑠 similaires au set de paramètres 𝑝∗ et qui par conséquent nécessitent très peu d'effort de calcul dans l’étape de re-calibration. Cependant, les travaux menés dans cette étude montrent que l’emploi d’un espace de solutions trop large compromet la capacité de la méthode NSMC à englober la distribution des incertitudes paramétriques du modèle développé. Par conséquent, la dimension de l’espace de solution employé dans notre étude est fixée suivant la méthodologie proposée par Doherty and Hunt (2009)38. Selon ce procédé, lorsque l’inclusion d’un vecteur propre dans l’espace de solution a pour effet d’augmenter, plutôt que de diminuer, la variance de l’erreur a posteriori alors ce vecteur propre est affecté à l’espace nul des paramètres.
Il semble important de souligner, que même si le procédé de subdivision de l’espace des paramètres en espace de solution et en espace nul se base sur l’hypothèse d’une linéarité du modèle, la méthodologie employée pour générer les sets de paramètres n’impose pas de contraintes sur la variabilité des paramètres, et ne présume pas une linéarité du modèle (Keating et al., 2010).
5.2.2 Re-calibration des sets de paramètres
Chaque nouveau jeu de paramètres générés par la méthode NSMC 𝑃𝑖𝑛𝑠 doit être re-calibré de sorte que la fonction objectif soit inférieure à la valeur spécifiée (en accord avec les incertitudes provenant d’une part des erreurs de mesures des données d’observation et d’autre part des erreurs structurelles du modèle). Malgré le fait que les incertitudes imputables aux erreurs structurelles ne sont pas quantifiables, dans notre approche, la valeur cible de la fonction objectif peut être définie comme la valeur de la fonction objectif obtenue à la fin du processus de calibration. Afin de déterminer, une valeur cible de la fonction objectif appropriée durant le processus de re-calibration des sets de paramètres 𝑃𝑖𝑛𝑠, une formule proposée par Christensen and Cooley (1999) permettant d’imposer une contrainte sur la variabilité prédictive post-calibration a été utilisée :
Φ0′ = Φ𝑚𝑖𝑛′ [𝑡𝛼 2⁄
2 (𝑚 − 𝑛′)
(𝑚 − 𝑛′) + 1] (5.3)
où Φ𝑚𝑖𝑛′ est la valeur de la fonction objectif atteinte lors du processus de calibration, Φ0′ est la valeur cible de la fonction objectif utilisée comme contrainte de calibration lors du processus de re-calibration mis en œuvre dans le cadre de la méthode NSMC, 𝑚 est le nombre d’observations du modèle, et le nombre de paramètres 𝑛′ est fixé au nombre de dimensions de l’espace de solution , 𝑡 représente la loi de distribution de Student et 𝛼 représente le degrés de confiance. Dans notre étude, nous fixons le degré de confiance 𝛼 à 0,0005, ce qui représente un niveau de confiance de 99,9 %. Le degré de liberté de la loi de Student est dans ce cas égal à 𝑚 − 𝑛′.
Dans le cas où un set de paramètres permet la calibration du modèle, suivant le critère établi ci-dessus, alors le set de paramètres est conservé sans modification, sinon, une re-calibration du modèle est entamée. Les exigences de calcul de ces ajustements sont relativement faibles, et comme l'ont démontré Tonkin and Doherty (2009), une ou deux itérations de calibration sont suffisantes pour satisfaire les contraintes de calibration du modèle. Par ailleurs, afin de réduire les temps de calcul, il est possible d’utiliser la méthode TSVD (basée sur l’utilisation des « supers paramètres), puisque seules les combinaisons de paramètres situées dans l’espace de solution nécessitent d’être réajustées (cf. chapitre 4).
5.2.3 Evaluation des incertitudes prédictives
Pour quantifier les incertitudes prédictives, la propagation des incertitudes paramétriques sur les prédictions d’intérêt (diminution de la masse et du flux massique de contaminants) est étudiée. Pour ce faire, les 𝑁𝑠𝑡 sets de paramètres qui satisfont les critères de calibration du modèle sont utilisés pour explorer la variabilité des prédictions d’intérêt. Pour finir, une étude statistique des prédictions peut être mise en œuvre.