Construction d’une base phononique tronquée

Dans le contexte théorique considéré, la dimension de l’espace de Hilbert phononique H_ph est infini dim(H_ph) = +∞. Ceci étant, cette définition pose un problème pratique : considérer dim(Hph) = +∞ implique que la dimension du Hamiltonien exciton-phonon devienne elle

aussi infinie. Or, nous ne pouvons créer une matrice hamiltonienne H de dimension infinie du fait de la limite de nos ressources numériques.

c Limitation à un nombre N_ph de phonons

Pour résoudre le problème de dimension infinie, la première étape de l’approche exacte consiste à introduire un nombre limité N_ph de phonons présents sur le réseau. Cette mani- pulation permet ainsi de limiter la taille de l’espace de Hilbert phononique H_ph. Mathémati- quement, cette hypothèse revient à considérer que cet espace se décompose comme

Hph≡ Nph

M

n=0

H(n)_ph (5.2)

où chaque terme H(n)_ph représente un sous-espace phononique contenant tous les états de Fock |n1, . . . , nNSi associés à la présence d’un nombre total de n =

P

`n`phonons sur le réseau. La

dimension d’un sous-espace H_ph(n)représente le nombre de façons de répartir n phonons dans les NS modes locaux (cf. Chapitre 3). En conséquence, la dimension de l’espace de Hilbert

phononique globale devient

dim(H_ph) = Nph X n=0 (n + N_S− 1)! n!(NS− 1)! = (NS+ Nph)! NS!Nph! (5.3)

1. J’ai pu apprendre personnellement au côté de Cyril comment simuler un Hamiltonien multi-quanta lors d’un séjour à l’ISMO courant l’été 2016.

CHAPITRE 5. COMPARAISON ENTRE LA THÉORIE P T∗ ET UNE APPROCHE NUMÉRIQUE EXACTE

Le terme central de cette égalité montre que la dimension de l’espace final résulte de la somme des dimensions de chaque sous-espace à n phonons, avec n = 0, . . . , Nph. Le terme de droite

est une réécriture de cette somme qui montre clairement que plus N_S ou N_phsera important, et plus la dimension de l’espace tronqué explosera. Pour donner une illustration de ce phé- nomène, considérons un réseau comptant NS = 6 sites au total. Dans ces conditions, si l’on

souhaite répartir N_ph = 9 phonons sur les 6 modes locaux accessibles, la dimension de l’es- pace phononique tronqué devient dim(H_ph) = 15!/(6!9!) = 5005. Imaginons maintenant que l’on souhaite "ajouter" un phonon au problème, alors la dimension devient dim(Hph) = 8008.

On voit ainsi que cette approche nécessitera d’importantes ressources numériques. Dans ces conditions, il est important de noter que le paramètre N_ph doit être choisi judicieusement. En effet, dans le contexte théorique que nous étudions, nous considérons que l’état initial des phonons est donné par un équilibre statistique à la température T . Or, pour permettre de bien décrire cette situation, nous devons choisir un nombre N_ph assez grand pour pouvoir générer numériquement une statistique phononique proche des valeurs théoriques connues en dimension infinie. Cependant, choisir un paramètre N_phtrop grand augmentera considérable- ment la durée des simulations du fait de l’explosion de la taille des matrices à traiter. Dans ce contexte, le choix du paramètre doit suivre l’idée suivante : Nph doit être à la fois assez

grand pour produire une bonne statistique phononique, mais aussi assez petit pour produire des simulations ne s’éternisant pas en terme de temps de calcul.

c Base phononique symétrisée : de l’état de position à l’état de Fock

Partons maintenant du principe que N_ph a été fixé convenablement. La seconde étape consiste à générer numériquement l’ensemble des états de Fock locaux |n1, . . . , nNSi sous-

tendant l’espace de Hilbert H_ph. Pour ce faire, l’approche que nous employons ne traite pas directement ce problème de face. En réalité, nous passons par une étape intermédiaire qui consiste à construire dans un premier temps une base d’états de position pour les phonons. Cette technique s’appuie sur les propriétés de symétrie des bosons et permet d’éviter toute redondance pouvant émerger numériquement lors de la construction d’une base de Fock. En pratique, l’idée est d’associer à chaque phonon p = 1, . . . , N_ph un indice de position i_p. En l’occurrence, un indice ip = ` décrira la présence du pième phonon sur le site ` du graphe. A

ce stade, rappelons un fait important : nous considérons ici le cas de graphes contenant N_S sites au total. Dans ces conditions, chaque site d’un graphe est indicé comme ` = 1, . . . , N_S. Connaissant cela, pour construire une base d’états phononiques, nous distribuons alors les

Nph phonons sur le réseau de sorte à ce que les indices de positions suivent

0 ≤ i1 ≤ i2≤ . . . ≤ iNph−1 ≤ iNph ≤ NS (5.4)

En distribuant les phonons selon cette condition, nous arrivons alors à générer numérique- ment le strict minimum d’états phononiques tout en évitant des possibles redondance liées à la symétrie des bosons. Le nombre d’états ainsi créés respecte bien la dimension (5.3).

Attirons l’attention sur un fait très important présent dans (5.4). La limite inférieure des positions des ip est nulle. Cette limite indique l’existence d’un site supplémentaire in-

dicé zéro sur lequel pourraient potentiellement être distribués des phonons. Cependant, ce "site" n’a pas de réalité physique. La situation ip = 0 revient ici à dire que le phonon p

n’apparaît nulle part sur le réseau. Cette définition possède un grand intérêt pratique car elle permet de générer numériquement des états phononiques "creusés", c’est à dire avec un nombre n = 0, 1, 2, . . . , Nph de phonons au total2.

2. En effet, en fixant une limite inférieure de 1, tous les phonons seraient distribués et les états générés compteraient toujours Nph phonons au total

A ce stade, suivre la relation (5.4) permet de générer numériquement une base phononique complète d’états de position. Chacun de ces états est unique et peut alors être référencé par un indice κ = 1, . . . , dim(H_ph). Ceci étant, cette base n’est pas la plus commode pour construire le Hamiltonien exciton-phonon. Il convient alors de transformer cette base de position en une base d’états de Fock. Pour ce faire, le développement d’une routine numérique "traductrice" doit être réalisé de sorte à lire les états positions et à traduire leur forme en états nombres. Afin d’illustrer le genre de base que nous pouvons générer à ce stade, nous avons représenté dans le tableau 5.1 les résultats obtenus lorsque l’on considère la répartition de Nph = 3

phonons sur un graphe comptant N_S = 3 sites.

Positions État de position État nombre indice ”κ”

i1 i2 i3 (i1, i2, i3) |n1, n2, n3i associé 0 0 0 (0, 0, 0) |0, 0, 0i 1 0 0 1 (0, 0, 1) |1, 0, 0i 2 .. . ... 2 (0, 0, 2) |0, 1, 0i 3 .. . ... 3 (0, 0, 3) |0, 0, 1i 4 0 1 1 (0, 1, 1) |2, 0, 0i 5 .. . ... 2 (0, 1, 2) |1, 1, 0i 6 .. . ... 3 (0, 1, 3) |1, 0, 1i 7 .. . 2 2 (0, 2, 2) |0, 2, 0i 8 .. . ... 3 (0, 2, 3) |0, 1, 1i 9 .. . 3 3 (0, 3, 3) |0, 0, 2i 10 1 1 1 (1, 1, 1) |3, 0, 0i 11 .. . ... 2 (1, 1, 2) |2, 1, 0i 12 .. . ... 3 (1, 1, 3) |2, 0, 1i 13 .. . 2 2 (1, 2, 2) |1, 2, 0i 14 .. . ... 3 (1, 2, 3) |1, 1, 1i 15 .. . 3 3 (1, 3, 3) |1, 0, 2i 16 2 2 2 (2, 2, 2) |0, 3, 0i 17 .. . ... 3 (2, 2, 3) |0, 2, 1i 18 .. . 3 3 (2, 3, 3) |0, 1, 2i 19 3 3 3 (3, 3, 3) |0, 0, 3i 20

Tableau 5.1 – Base de position/Fock pour Nph= 3 phonons sur un graphe à NS= 3 sites.

Dans le cas présent, nous avons séparé par des lignes horizontales les sous-groupes d’états appartenant à chaque sous-espace phononique H(n)_ph. Le premier groupe correspond à l’état de vide phononique, le second aux états à un phonon etc. Comme nous pouvons le voir ici, il n’existe aucune redondance dans les états générés et la dimension de l’espace final est bien de dim(Hph) = 6!/(3!3!) = 20. Nous avons par ailleurs représenté sur la colonne de

droite l’indice κ définissant chacun de ces états. En l’occurrence, le rôle que devra jouer la "routine traductrice" est d’établir le lien entre les deux colonnes centrales de ce tableau et finalement d’associer pour chaque état de Fock un paramètre κ unique. Dans ce contexte, il sera nécessaire de stocker numériquement les couples de données "forme des états de Fock + indice κ associé" dans une liste L_ph à deux entrées bien définie comme

L_ph≡

|κi, κ

κ=1,...,dim(Hph) (5.5)

CHAPITRE 5. COMPARAISON ENTRE LA THÉORIE P T∗ ET UNE APPROCHE NUMÉRIQUE EXACTE