6.2 Transition de superradiance sur un graphe en étoile d’étoiles
6.2.2 États propres du système
Pour diagonaliser le Hamiltonien Hexef f, nous allons nous appuyer sur la symétrie du réseau. Dans un premier temps, nous allons exploiter l’invariance rotationnelle globale du graphe autour du cœur central. Pour ce faire, on introduit une base d’états constituée d’un ensemble de N1(N2+ 1) vecteurs de Bloch circulaires |χk, si avec k = 1, . . . , N1 s’écrivant
|χk, si = √1 N1 N1 X `=1 eik`θ1|`, si (6.4)
Dans cette base, le Hamiltonien Hexef f adopte une forme bloc-diagonale du type
Hexef f =
N1
M
k=1
H(k) (6.5)
où chaque opérateur H(k) représente la restriction du Hamiltonien effectif au bloc k.
c Diagonalisation des blocs H(k) avec k = 1, . . . , N1− 1
Pour tout k = 1, . . . , N1− 1 les blocs obtenus sont de dimension N2+ 1 et prennent la forme suivante H(k)= Φ N2 X s=1 (|χk, 0ihχk, s| + |χk, sihχk, 0|) (6.6)
Un instant de réflexion convaincra le lecteur que la forme de chacun de ces N1− 1 blocs peut être modélisée par un graphe en étoile pour lequel l’état |χk, 0i correspond à un site
central couplé par une amplitude Φ à un ensemble de N2 sites périphériques représentant les états |χk, si. Nous avons illustré ce graphe sur la figure6.2.
Figure 6.2 – Modélisation d’un bloc H(k) avec k = 1, . . . , N1− 1 par un graphe en étoile. Sur ce graphe modèle nous retrouvons la symétrie rotationnelle d’angle θ2 = 2π/N2. Dans ces conditions, pour parachever la diagonalisation de ces blocs, nous allons réaliser une transformation de Bloch circulaire sur l’ensemble des indices ”s” des états |χk, si. En
procédant ainsi, nous obtenons une nouvelle base qui est composée de N2 états de Bloch circulaires |χk, µqi, avec q = 1, . . . , N2, qui s’écrivent comme
|χk, µqi = 1 √ N2 N2 X s=1 eiqsθ2|χ k, si (6.7)
Dans cette base particulière, chaque opérateur H(k) avec k = 1, . . . , N
1 − 1 possède deux types d’états propres. Tout d’abord, H(k) possède un ensemble de (N2− 1) états dégénérés de forme |χk, µqi avec q = 1, . . . , N2− 1 et de valeur propre nulle ω(k,q) = 0. Ensuite, chacun de ces blocs possède aussi deux états propres |χk, ±i dont la forme est
|χk, ±i =
1 √
2(|χk, 0i ± |χk, µN2i) (6.8)
Ces états propres s’associent à des valeurs propres réelles ω(k,N2)
± = ±Φ
√
N2.
c Diagonalisation du bloc H(N1)
Considérons maintenant le bloc hamiltonien H(N1) de dimension N
2+ 2 et dont la forme est donnée par
H(N1)= −iΓ 2|0, 0ih0, 0| + ΦpN1(|0, 0ihχN1, 0| + |χN1, 0ih0, 0|) + Φ N2 X s=1 (|χN1, sihχN1, 0| + |χN1, 0ihχN1, s|) (6.9)
De nouveau, il est possible d’associer à ce bloc Hamiltonien un graphe modèle afin de faciliter sa diagonalisation. En l’occurrence, la structure du graphe est illustrée sur la figure 6.3. Il s’agit d’un réseau en étoile dont le cœur représente l’état |χN1, 0i interagissant selon le
couplage Φ avec un ensemble de N2 sites périphériques représentant les états |χN1, si. Par
ailleurs, le cœur de cette étoile est aussi couplé plus fortement en Φ√N1 avec un site annexe représentant l’état |0, 0i.
CHAPITRE 6. TRANSITION DE SUPERRADIANCE SUR UN GRAPHE EN ÉTOILE D’ÉTOILES
Figure 6.3 – Modélisation du bloc H(N1) par un graphe en étoile avec couplage supplémentaire.
Comme précédemment, la symétrie rotationnelle d’angle θ2 = 2π/N2 de ce graphe va nous aider à diagonaliser le bloc H(N1). Pour ce faire, introduisons une base d’états |χ
N1, µqi, avec
q = 1, . . . , N2, et dont la forme est donnée par
|χN1, µqi = 1 √ N2 N2 X s=1 eiqsθ2|χ N1, si (6.10)
Dans cette base, H(N1) possède N
2− 1 états propres dégénérés de forme |χN1, µqi avec q =
1, . . . , N2 − 1 et de valeur propre nulle ω(N1,q) = 0. Ceci étant, l’utilisation de cette base
aboutit finalement à un dernier bloc 3 × 3. Il s’agit d’une matrice non-hermitienne impliquant l’interaction de trois vecteurs particuliers : |0, 0i, |χN1, 0i et |χN1, µN2i. Ce bloc final que l’on
notera Htrim s’exprime comme
Htrim = −iΓ/2 Φ√N1 0 Φ√N1 0 Φ √ N2 0 Φ√N2 0 (6.11)
Comme illustré sur la figure6.4, il est possible d’associer à ce Hamiltonien Htrimun graphe
équivalent à une chaîne de trois sites formant un trimère. Ces trois sites indexés (1), (2) et (3) représentent respectivement les trois états |0, 0i, |χN1, 0i et |χN1, µN2i. L’interaction entre
ces états est encodée dans le couplage reliant les sites (1) ↔ (2) en Φ√N1 et celui reliant les sites (2) ↔ (3) en Φ√N2.
Figure 6.4 – Modélisation du bloc Htrim par un graphe trimère.
A ce stade, nous souhaitons attirer l’attention du lecteur sur le fait que le bloc hamiltonien résiduel Htrimest le seul dans lequel l’action du piège absorbant se retrouve. Par conséquent,
les trois états |0, 0i, |χN1, 0i et |χN1, µN2i sont les seuls états du système à admettre une
sensibilité aux effets du piège situé au cœur du graphe en étoile d’étoiles. Nous montrerons dans la suite de notre étude que la connaissance des propriétés des états propres associés au graphe trimère (i.e. à Htrim) lorsque Γ 6= 0 est la donnée clé pour comprendre l’émergence de la transition de superradiance sur le graphe en étoile d’étoiles.
Ceci étant, lorsque la contribution non-hermitienne s’annule Γ = 0, il est possible de diagonaliser analytiquement le bloc Htrim. Les trois états propres résultant sont alors
|Ψ±i = 1 p 2(1 + r)(|0, 0i ± √ 1 + r|χN1, 0i +√r|χN1, µN2i) |Ψ0i = 1 √ 1 + r( √ r|0, 0i − |χN1, µN2i) (6.12)
où nous avons introduit le ratio r = N2/N1. Les valeurs propres réelles correspondant à ces vecteurs propres sont respectivement ˆω(N1,N2)
± = ±Φ
√
N1+ N2 et ˆω0(N1,N2)= 0.
Lorsque Γ 6= 0, nous diagonalisons numériquement le bloc Htrim. Cette matrice étant
non-hermitienne, elle possède donc trois valeurs propres complexes dont la forme suit
ˆ ω(N1,N2) ± = ω (N1,N2) ± − i γ(N1,N2) ± 2 ˆ ω(N1,N2) 0 = ω (N1,N2) 0 − i γ(N1,N2) 0 2 (6.13)
La partie réelle de ces valeurs propres définit une énergie propre effective, tandis que la partie imaginaire définit un taux de décroissance. Dans ce contexte, chaque valeur propre complexe s’associe à un couple de vecteurs propres droits/gauches. On appellera respectivement |ΨR±i et |ΨR0i les vecteurs propres droits de Htrim, et hΨL±| et hΨL
0| ses vecteurs propres gauches. Remarquons que ces vecteurs forment une base complète bi-orthogonale [25] sous-tendant le sous-espace du trimère pour lequel nous pouvons introduire une identité Itrim définie par
Itrim = X i=0,± |ΨR i ihΨLi| hΨL i|ΨRi i (6.14)
En résumé, les états propres du Hamiltonien effectif Hexef f peuvent être séparés en deux catégories distinctes :
I D’une part, il existe un ensemble de N1(N2+ 1) − 2 états de valeurs propres purement réelles. Il s’agit là de l’ensemble des états |χk, µqi avec k = 1, . . . , N1 et q = 1, . . . , N2−1 de valeur propre ω(k,q) = 0, auxquels se joignent les états |χk, ±i avec k = 1, . . . , N1− 1 de valeur propre ω(k,N2)
± = ±Φ
√
N2. En l’occurrence, tous ces états possèdent la particularité d’être insensibles aux effets du piège central : leur durée de vie est infinie. I D’autre part, il existe trois états singuliers, d’énergie complexe, associés au sous-espace du trimère défini par la matrice non-hermitienne Htrim. Le sous-espace associé est gé- néré par trois états qui représentent les sites du trimère avec (1) ⇔ |0, 0i l’état du cœur du graphe en étoile d’étoiles, (2) ⇔ |χN1, 0i l’état décrivant une répartition excito-
nique homogène sur tous les cœurs des étoiles périphériques, et (3) ⇔ |χN1, µN2i l’état
décrivant une répartition excitonique homogène sur tous les sites extra-périphériques.