Chapitre II : Modélisation
II.6. Comparaison des modèles
On propose dans cette section de comparer les modèles à des résultats de simulations par éléments finis en deux dimensions. Les modèles que l’on compare sont :
- 2DDL-RD : modèle à 2 degrés de liberté par résolution directe
- 2DLL-PM1 : modèle à 2 degrés de liberté avec projection modale sur 1 mode. - 2DLL-PM2 : modèle à 2 degrés de liberté avec projection modale sur 2 modes
- DP-PM1 : modèle à paramètres distribués avec projection modale sur 1 mode présenté en annexe 1.
- DP-PM4 : modèle à paramètres distribués avec projection modale sur 4 modes présenté en annexe 1.
- DP-PM1-CC : modèle à paramètres distribués avec projection modale sur 1 mode en considérant le champ électrique constant selon l’épaisseur des patchs piézoélectriques tel que présenté par Dutoit et al [98].
- FEM : acronyme utilisé pour les résultats donnés par les simulations par éléments finis en deux dimensions (Comsol Multiphysics)
A l’exception de DP-PM1-CC, tous les modèles considèrent le champ électrique variable selon l’épaisseur des patchs piézoélectriques. On considère le modèle DP-PM4 comme donnant des résultats très proches de la solution exacte au sens de la théorie d’Euler Bernoulli. Dans leurs travaux, Elvin et Elvin [151] ont en effet montré qu’en prenant en compte plusieurs (≥ ) modes de vibration avec la méthode de Rayleigh-Ritz, ils obtenaient des résultats très similaires aux modèles à paramètres distribués d’Erturk et Inman [162]. Le modèle DP-PM4 a l’avantage de considérer les interactions entre les 4 premiers modes de flexion comparé à DP-PM1.
On détermine, à partir de chaque modèle, les fréquences de résonance en court-circuit 𝑓𝑠𝑐 et
en circuit ouvert 𝑓𝑜𝑐 pour les deux premiers modes de flexion puis on calcule les coefficients 𝑘𝑓² grâce à l’équation (II-116). De la même manière, les fréquences de résonance en court- circuit et en circuit ouvert et le coefficient 𝑘𝑓2 sont déterminés par des simulations par éléments
finis en 2 dimensions avec Comsol Multiphysics (également appelée « FEM » dans ce manuscrit).
𝑘𝑓2=𝑓𝑜𝑐2 − 𝑓𝑠𝑐2
𝑓𝑜𝑐2 (II-116)
Il est intéressant de noter que, pour les modèles DP-PM4, 2DDL-RD et 2DDL-PM2, 𝑘𝑓2 ne
correspond pas à un coefficient de couplage électromécanique global 𝑘2 au sens strict du terme.
Comme mentionné dans la section I.4.3.d, la définition d’un coefficient de couplage est donnée pour un mode de vibration donné tout en négligeant les autres modes de vibration. L’utilisation de modèles à plusieurs degrés de libertés tels que DP-PM4, 2DDL-RD et 2DDL-PM2 permet d’obtenir une meilleure précision sur l’écart entre la fréquence de résonance en court-circuit et la fréquence en circuit ouvert grâce à la prise en compte des interactions entre les modes. Cependant leurs résultats ne correspondent pas au coefficient de couplage électromécanique global 𝑘² d’un unique mode de vibration.
Par extension de ce raisonnement, l’utilisation de simulations par éléments finis pour déduire le coefficient de couplage global d’un récupérateur grâce aux fréquences de résonance en court- circuit et en circuit ouvert ne donne qu’une estimation (même si elle est très précise) de ce coefficient de couplage. En effet, les simulations par éléments finis prennent nécessairement en compte un grand nombre de modes de vibration lors de leur résolution.
Les modèles sont comparés aux simulations pour une configuration fixe de poutre bimorph ayant une masse mobile carrée dont les dimensions varient. Les dimensions sont données dans
le Tableau II.4. La largeur de la masse mobile et la largeur de la poutre sont égales et l’hypothèse de contraintes planes est considérée pour les calculs et la simulation. Cette hypothèse est valide pour une configuration de poutre étroite. Le substrat et la masse mobile sont en acier et on considère deux types de matériaux piézoélectriques : le PZT-5A de Noliac qui est modérément couplé et le PZN-PT 5.5% polarisé selon l’axe [011] qui est très fortement couplé. Nous calculons l’erreur sur la fréquence de résonance en court-circuit et sur 𝑘𝑓2 lorsque le ratio entre la masse de la masse mobile (𝑀𝑡) et la masse de la poutre (𝑚𝐿𝑏) augmente. Ce
rapport de masse (𝑀𝑡/𝑚𝐿𝑏) varie de 1 à 20. (Figure II.8). A partir de ces configurations
extrêmes, nous pouvons analyser la précision dans le cas où la masse est quasiment ponctuelle ainsi que dans le cas où la masse de la masse mobile est grande par rapport à la masse de la poutre. De plus, l’inertie en rotation de la masse mobile est non-négligeable lorsque la masse mobile est volumineuse.
Tableau II.4 : Configurations étudiées
Longueur de la poutre 𝐿𝑏 = 30𝑚𝑚
Epaisseurs des patchs et de l’acier ℎ𝑠= ℎ𝑝= 0. 𝑚𝑚
Taille de la masse carrée 𝐻𝑚= 𝐿𝑚 = . 𝑚𝑚 à 30𝑚𝑚
Configuration Contraintes planes
Matériau piézoélectrique PZN-PT (𝑘312 = 81%), PZT (𝑘312 = 1 %)
Figure II.8 : Représentation à l’échelle des configurations géométriques pour la comparaison des modèles
Les fréquences de résonances en court-circuit des deux premiers modes de flexion et les coefficients 𝑘𝑓2 associés sont donnés pour du PZT sur la Figure II.9 et la Figure II.10. Les valeurs absolues des erreurs relatives de chaque modèle par rapport aux simulations éléments finis (|𝑓modele− 𝑓𝐹𝐸𝑀|/𝑓𝐹𝐸𝑀 et |𝑘𝑓modele2 − 𝑘𝑓𝐹𝐸𝑀2 |/𝑘𝑓𝐹𝐸𝑀2 ) est donnée en Figure II.11 et
Figure II.12.
Piezoélectrique Acier
Masse mobile
Figure II.9 : Fréquences de résonance en court-
circuit pour le matériau PZT (𝑘312 = 1 %) Figure II.10 : Coefficients 𝑘𝑓
2 pour le matériau PZT (𝑘312 = 1 %)
Figure II.11 : Erreur |𝑓modele− 𝑓𝐹𝐸𝑀|/𝑓𝐹𝐸𝑀 sur la fréquence de résonance en court-circuit pour le matériau PZT. Les courbes de 2DDL-PM1, 2DDL- PM2 et DP sont confondues pour le premier mode.
Figure II.12 : Erreur |𝑘𝑓modele2 − 𝑘𝑓𝐹𝐸𝑀2 |/𝑘𝑓𝐹𝐸𝑀2 sur le coefficient 𝑘𝑓2 pour le matériau PZT. La courbe de 2DDL-PM1 est confondue avec celle de 2DDL-RD pour le second mode.
Ces résultats montrent que pour le matériau PZT, les modèles présentés sont précis pour le premier mode de vibration car ils ont une erreur inférieure à 8% lorsqu’ils sont comparés aux simulations par éléments finis. Le modèle 2DDL-RD a une plus grande erreur relative que les autres modèles sur la fréquence de résonance lorsque 𝑀𝑡/𝑚𝐿𝑏 est faible. Le modèle 2DDL-RD néglige en effet la masse de poutre qui est non-négligeable lorsque 𝑀𝑡/𝑚𝐿𝑏 est faible. Comme
le montre la Figure II.12, les modèles 2DDL-RD, 2DDL-PM2 et DP-PM4, qui considèrent plusieurs modes de vibration, permettent d’avoir une erreur très faible sur 𝑘𝑓2 au premier mode.
Cependant, lorsque la masse mobile est petite, l’erreur sur 𝑘𝑓2 au second mode est plus grande
avec le modèle 2DDL-PM2 qu’avec le modèle 2DDL-PM1. En d’autres termes, l’erreur est plus importante en considérant les deux modes pour la projection modale du modèle à deux degrés de liberté par rapport au cas où uniquement un mode est considéré. Cette erreur sur le modèle 2DDL-PM2 provient probablement de l’approximation de l’influence du premier mode de vibration sur le second mode (coefficient 𝑀̂ de l’équation (II-97)). La forme des modes 12
de vibrations est en effet approximée avec le modèle 2DDL. Par ailleurs, l’utilisation de la méthode de Rayleigh-Ritz considérant deux modes approchés de vibration permet d’augmenter la précision de la première fréquence de résonance mais une précision moindre est attendue sur la seconde [161, p. 503].
Lorsque la taille de la masse mobile augmente, l’erreur sur 𝑘𝑓2 au second mode augmente pour tous les modèles (supérieure à 10%). La masse mobile devenant très volumineuse par rapport aux dimensions de la poutre, il se peut qu’elle se déforme dans les résultats des simulations par éléments finis alors que la masse mobile est supposée indéformable dans les modèles.
On constate (voir Figure II.12) que le modèle 2DDL-PM1 donne des résultats sur 𝑘𝑓2 très
proches du modèle à paramètres distribués DP-PM1 au premier mode tout en fournissant une expression analytique simple du coefficient du couplage global. De plus, l’erreur sur la fréquence de résonance du modèle 2DDL-PM1 est plus faible que celle du modèle 2DDL-RD et que celle du modèle DP-PM1-CC présenté par Dutoit et al. [98]. Le calcul du coefficient 𝑘𝑓2 est plus précis avec 2DDL-PM1 qu’avec DP-PM1-CC lorsque 𝑀𝑡/𝑚𝐿𝑏 est supérieur à 2,5.
Négliger la variation du champ électrique selon l’épaisseur des patches piézoélectriques dans DP-PM1-CC conduit à une erreur supplémentaire d’environ 0,5% sur la fréquence de résonance et 1% sur le coefficient 𝑘𝑓2 comparé au modèle DP-PM1.
Les fréquences de résonance en court-circuit des deux premiers modes de flexion et les coefficients 𝑘𝑓2 associés sont donnés pour du PZN-PT dans la Figure II.13 et la Figure II.14. Les valeurs absolues des erreurs relatives de chaque modèle par rapport aux simulations éléments finis est donnée en Figure II.15 et Figure II.16.
Avec le PZN-PT comme matériau, les erreurs sur la première fréquence de résonance sont comparables à celles obtenues avec du PZT sauf pour le modèle DP-PM1-CC pour lequel l’erreur est proche de 8%. Ceci montre l’importance de considérer la variation du champ électrique selon les épaisseurs de matériau piézoélectrique. L’erreur sur 𝑘𝑓2 au premier mode est faible (inférieure à 5%) lorsque plusieurs modes sont considérés dans les modèles (2DDL- RD, 2DDL-PM2 et DP-PM4). Avec du matériau PZN-PT, l’erreur sur 𝑘𝑓2 est plus importante
pour les modèles ne considérant qu’un seul mode (2DDL-PM1 et DP-PM1) en comparaison à une poutre utilisant du matériau PZT.
Figure II.13 : Fréquences pour le matériau PZN-PT
(𝑘312 = 81%) Figure II.14 : Coefficients 𝑘𝑓
2 pour le matériau PZN- PT (𝑘312 = 81%)
Figure II.15 : Erreur |𝑓modele− 𝑓𝐹𝐸𝑀|/𝑓𝐹𝐸𝑀 sur la fréquence pour le matériau PZN-PT (𝑘312 = 81%). Les courbes de 2DDL-PM1, 2DDL-PM2 et DP sont confondues pour le premier mode.
Figure II.16 : Erreur |𝑘𝑓modele2 − 𝑘𝑓𝐹𝐸𝑀2 |/𝑘𝑓𝐹𝐸𝑀2 sur le coefficient 𝑘𝑓2 pour le matériau PZN-PT (𝑘312 = 81%)
Le coefficient 𝑘𝑓2 du second mode des poutres en PZN-PT modélisées est supérieur à 10%
(Figure II.14) alors que celui des poutres en PZT est inférieur à 3% (Figure II.12). Comme le ratio entre la première et la deuxième fréquence de résonances sont similaires pour les matériaux PZT et PZN-PT (Figure II.9 et Figure II.13), le coefficient de couplage du second mode semble avoir une influence sur le coefficient 𝑘𝑓2 du premier mode. Les influences mutuelles entre les deux premiers modes de flexion semblent plus importantes lorsque le coefficient de couplage matériaux 𝑘312 est grand que lorsqu’il est faible.
Parmi tous ces modèles, le modèle à deux degrés de liberté par projection modale sur 1 mode (2DDL-PM1) offre l’avantage de fournir une expression analytique du coefficient de couplage électromécanique alternatif 𝑘𝑒2 très facilement analysable (l’équation (II-111)). Il donne
précisément la fréquence de résonance et le coefficient de couplage du premier mode pour des matériaux piézoélectriques modérément couplés à fortement couplés. Pour ces raisons, nous décidons d’utiliser ce modèle pour proposer dans le chapitre suivant des pistes d’optimisation du coefficient de couplage du premier mode de vibration de poutres piézoélectriques. Pour le dimensionnement de structures utilisant des matériaux très fortement couplés, les conclusions du modèle 2DDL-PM1 pourraient être complétées dans de futures recherches (non réalisé dans la thèse) par une étude basée sur les modèles 2DDL-PM2 ou 2DDL-RD afin de considérer les interactions entre les deux premiers modes de vibration.
II.7.
Conclusion du chapitre
Dans ce chapitre, nous avons proposé et détaillé le modèle analytique 2DDL-PM1 qui sera utilisé pour la conception de récupérateurs piézoélectriques très fortement couplés. Une comparaison des modèles de la littérature consacrés aux poutres ayant une masse mobile a permis de faire ressortir le besoin d’un modèle pour la conception de récupérateurs fortement couplés. Ainsi, les modèles proposés dans ce chapitre (2DDL-RD et 2DDL-PM) présentent les avantages de pouvoir être résolus analytiquement et d’être précis comparés aux simulations par éléments finis. Ceux-ci prennent en compte l’inertie en rotation de la masse mobile et considèrent que le champ électrique est variable selon l’épaisseur des patchs piézoélectriques Par ailleurs, le modèle 2DDL-PM1 offre une expression du coefficient de couplage global alternatif 𝑘𝑒2 plus facile à analyser que les modèles 2DDL-RD et 2DDL-PM2. Par conséquent,
l’expression de 𝑘𝑒2 obtenue à partir du modèle 2DDL-PM1 va être utilisée dans le chapitre