Analyse des influences avec des simulations par éléments finis

Lorsque des poutres piézoélectriques sont modélisées ou sont dessinées sur des logiciels de simulations par éléments finis, l’encastrement est généralement considéré parfait tel que représenté sur la Figure IV.8.a. Or, en fabricant des prototypes, des distances sont inévitablement présentes entre les patchs piézoélectriques et l’encastrement (distance 𝑑𝑐 sur la

Figure IV.8.b.) ainsi qu’entre les patchs et la masse mobile (distance 𝑑𝑚). Patch piézoélectrique Substrat Colle 100 - 500 µm Patch piézoélectrique Substrat

a. b.

Figure IV.8 : a. Représentation d’un encastrement parfait, b. configuration réelle avec des distances entre les patchs piézoélectriques et l’encastrement 𝑑𝑐 et la masse mobile 𝑑𝑚

Il est possible de quantifier l’influence de ces distances à l’aide de simulations par éléments finis sur le logiciel Comsol (Figure IV.9). On propose, à titre d’exemple, de calculer le coefficient de couplage du récupérateur PZT N en fonction des distances 𝑑_𝑐 et 𝑑_𝑚 à partir des fréquences de résonance en court-circuit et en circuit-ouvert. Pour ces simulations, la fixation entre les patchs et le substrat est considérée parfaite. Les distances 𝑑_𝑐 et 𝑑_𝑚 étant très faibles en pratique (quelques dizaines à quelques centaines de micromètres), il est important d’avoir un maillage fin au niveau de l’encastrement et de la masse mobile (Figure IV.9.b.). La Figure IV.10 donne le coefficient de couplage du récupérateur PZT N en fonction des distances 𝑑𝑚 et

𝑑_𝑐.

a. b.

Figure IV.9 : a. Maillage de la configuration PZT N sur Comsol Multiphysics, b. zoom sur la poutre

Figure IV.10 : Coefficient de couplage 𝑘2 de la configuration PZT N obtenu par simulations 3D en fonction des distances à l’encastrement et à la masse. 𝑑𝑐 et 𝑑𝑚 vont de 1 µm à 500 µm.

Encastrement

encastrée piézoélectriquesPatchs

Substrat 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15% 0 100 200 300 400 500 C oe ffc ient de c ouplag e k² Distance d (µm) Encastrement parfait d=dm d=dc varie ( ) varie ( ) Distance ou Coe ff ic ie nt de c oupla g e 0/1

On voit qu’un encastrement imparfait entraîne une diminution importante du coefficient de couplage et l’augmentation des distances à l’encastrement 𝑑_𝑐 et à la masse 𝑑_𝑚 diminue d’autant plus le coefficient de couplage. Lorsque l’encastrement est parfait, le coefficient de couplage du récupérateur PZT N est de 14,1% alors qu’il est égal à 11,1% lorsque 𝑑𝑐 et 𝑑𝑚 sont de 1µm.

Cette forte diminution s’explique par le relâchement des contraintes aux extrémités des patchs piézoélectriques. En effet, lorsque que les patchs sont fixés aux blocs de l’encastrement et à ceux de la masse mobile, le blocage des déformations permet d’obtenir un coefficient de couplage global important. Lorsque que ces fixations sont relâchée (dès que 𝑑_𝑐 > 0 ou 𝑑_𝑚 > 0), les patchs piézoélectriques sont libres de se déformer à leurs extrémités et le coefficient de couplage global est réduit.

Par ailleurs, lorsque 𝑑_𝑐 et 𝑑_𝑚 augmentent, de grandes déformations sont localisées aux zones où il n’y a pas de matériau piézoélectrique (zones correspondant aux distances 𝑑_𝑐 et 𝑑_𝑚). Lors des vibrations, une partie de l’énergie mécanique sert donc à déformer les liaisons à l’encastrement et à la masse mobile plutôt qu’à déformer le matériau piézoélectrique. Ceci a pour conséquence de baisser du coefficient de couplage comparé à des liaisons parfaites. Comme les contraintes sont maximales au niveau de l’encastrement pour une poutre encastrée- libre, la distance 𝑑_𝑐 à l’encastrement a une plus grande influence sur le coefficient de couplage que la distance 𝑑𝑚 à la masse (Figure IV.10). La configuration de l’encastrement est un élément

important à considérer dans la conception de récupérateurs piézoélectriques fortement couplés. Les distances à l’encastrement et à la masse doivent donc être minimisées au mieux afin d’atteindre de forts coefficients de couplage.

b. Influence de la colle

L’influence de l’épaisseur de la colle peut également être évaluée à l’aide de simulations par éléments finis. A partir du logiciel Comsol Multiphysics, nous insérons une « couche élastique mince » à la liaison entre le substrat et le matériau piézoélectrique. Bien que la colle époxy soit un matériau viscoélastique, nous la modélisons par un matériau ayant module de Young 𝑌_𝑔 de 4 GPa et coefficient de poisson de 0,35 comme réalisé dans un exemple de la documentation Comsol12 [174] . Pour différentes épaisseurs de colle ℎ_{𝑒𝑝𝑜𝑥𝑦}, nous déterminons le coefficient de couplage 𝑘² lorsque les distances 𝑑_𝑐 et 𝑑_𝑚 augmentent simultanément. Les coefficients de couplage obtenus sont présentés dans la Figure IV.11.

12 _{Le module de Young équivalent d’une résine époxy dépend en réalité du type de résine, du fabricant, de la}

température de cuisson et de la température ambiante. Les colles époxy analysées par Cease et al. [173] ont des modules de Young compris entre 2,5 GPa et 10 GPa à température ambiante. L’objectif de nos simulations est d’observer l’influence de la colle en simulant une fine couche souple entre le substrat et les patchs piézoélectriques sans chercher à quantifier précisément cette influence.

Figure IV.11 : Coefficient de couplage 𝑘2 de la configuration PZT N simulé en fonction des distances des extrémités des patchs à l’encastrement et à la masse mobile pour différentes épaisseurs de colle ℎ𝑒𝑝𝑜𝑥𝑦

Pour 𝑑𝑐 et 𝑑𝑚 égaux à 1 µm, 𝑘² vaut 9,6% pour une épaisseur de colle de 20µm. Ainsi, le

coefficient de couplage 𝑘2 _{est divisé par 1,15 par rapport à une fixation parfaite des patchs sur}

le substrat (ℎ𝑒𝑝𝑜𝑥𝑦 = 0 µ𝑚) et 𝑑𝑐 et 𝑑𝑚 égaux. De cette manière, 𝑘² est divisé par 1,46 entre la

configuration pour laquelle l’encastrement et la fixation patchs/substrat sont parfaites et la configuration pour laquelle les distances 𝑑_𝑐 et 𝑑_𝑚 valent 1 µm et l’épaisseur de colle est de 20µm.

En conclusion, les conditions d’encastrement, de fixation de la masse mobile et de collage des patchs piézoélectriques ont une influence non-négligeable sur le coefficient de couplage global d’une poutre piézoélectrique. La configuration de la poutre et le procédé de fabrication doivent être pensés pour minimiser l’influence de ces paramètres sur le coefficient de couplage expérimental.