Les collisions ´ electron-phonon

La prise en compte du taux de collisions ´electron-phonon est a priori plus complexe que celle des collisions (e-e). En effet, le premier n’impliquait qu’une seule sorte de particule, alors qu’ici, il faut ´etudier l’´evolution de deux populations distinctes. La valeur de cette fr´equence de collisions doit d´ependre des deux param`etres de temp´eratures. Les interactions sont de la forme vue au cours du chapitre 2 (§ 2.2.3) :

eE^{+ ph}u → e_E+u et eE → e_E−u+ ph_u (6.22) Les processus d’´emission et d’absorpion d’un phonon par un ´electron peuvent ˆetre assimil´es `

a une collision (e-ph). En effet, ainsi que nous pouvons le voir sur les figures (2.6) `a (2.9), la probabilit´e de collision associ´ee au processus d’absorption est rigoureusement identique `a celle du processus d’´emission. A l’´energie ´electronique E, il existe une fr´equence de collisions (e-ph) obtenue en sommant sur toutes les ´energies de phonons possibles. L’expression de cette fr´equence s’apparente donc `a celle de l’op´erateur de Boltzmann ^{∂f (}E)

∂t <sup>et donc `a l’expression. Le</sup> terme de transition Φ(f, Nu) constitu´e par la somme des deux contributions possibles et relatif `

a une population d’´electrons distribu´ee suivant f (E) s’´ecrit :

Φ(f, N_u) = [1− f(E − u)](1 + Nu)H (E − u) + [1 − f(E + u)]Nu

o`u H est la distribution de Heaviside. On en d´eduit l’expression de la fr´equence de collision ν_e−ph ⁼ _τ ¹

e−ph ^{en sommant uniquement sur les ´energies de phonons dont le vecteur d’onde se}

situe dans la 1^`ere zone de Brillouin : 1 τ_e−ph⁽E) ^{= K}e−ph  _uD 0 u²  (E) 

[1− f(E − u)](1 + Nu)H (E − u) + [1 − f(E + u)]Nu

 du o`u K_e−ph⁼  22 m_e 3/2 π²CT(
cS)³ k_Bu4 D

, avec CT constante, c_S d´esignant la vitesse du son dans le m´etal, u_D l’´energie des phonons au bord de la zone de Brillouin [56].

La pr´esence deH s’explique par le fait que l’´energie des ´electrons subissant une interaction doit rester positive. Nous sommes ainsi assur´es que l’op´erateur de collisions ´equivalent ^{∂f (}E)

∂t conserve le nombre d’´electrons. De mˆeme que pour le taux de collisions (e-e), le taux de collision (e-ph) doit ˆetre moyenn´e sur tout le domaine d’´energie ´electronique pour ramener la temp´erature ´

electronique comme seul param`etre comme dans l’expression (6.20).

Il apparaˆıt que ce type de collisions est n´egligeable devant les collisions (e-e) pour des fortes temp´eratures ´electroniques. Par contre, elles jouent un rˆole important dans le calcul des grandeurs optiques et thermiques proches de l’´equilibre, lorsque Te et Ti diff`erent peu. Nous avons donc privil´egi´e l’utilisation de constantes calibr´ees sur les r´esultats `a l’´equilibre, en supposant une d´ependance lin´eaire en T_i [83, 160]. Nous avions d´ej`a utilis´e cette approximation

au cours du chapitre 2 pour la d´ependance en temp´erature ionique de la conductivit´e thermique. Dans la suite, nous verrons que nous serons amen´es `a introduire une expression similaire dans le cas des transitions interbandes.

Dans ce chapitre, nous avons d´evelopp´e les ´el´ements th´eoriques n´ecessaires `a cette seconde partie. Les expressions relatives `a la description statique et dynamique de notre syst`eme ont ´et´e introduits. Nous avons tr`es bri`evement rappel´e les caract´eristiques de la th´eorie des bandes dans un solide grˆace `a la formulation des ´electrons de Bloch. Ensuite, nous nous sommes int´eress´es au cas de l’absorption d’une onde ´electromagn´etique et nous avons abouti `a l’expression de Kubo-Greenwood pour la conductivit´e ´electrique. Les processus de transport au sein du r´eseau cristallin ont alors ´et´e explicit´es dans le cadre de la th´eorie des liquides de Fermi. Nous allons maintenant utiliser ces notions dans le prochain chapitre pour exposer notre mod`ele d’absorption optique lors de la transition solide-plasma.

CHAPITRE

7

Mod´elisation des propri´et´es optiques

Dans le premier chapitre de ce travail, nous avions exprim´e l’´energie laser absorb´ee comme une portion de l’´energie incidente. Elle ´etait d´etermin´ee en fonction des indices optiques ou des conductivit´es de chacune des cellules du maillage du code Delpor. Les propri´et´es optiques variaient alors en fonction de la temp´erature du r´eseau T_i et de la densit´e du syst`eme. Nous allons `a pr´esent proposer une d´ependance de la conductivit´e en fonction de la temp´erature ´ elec-tronique Te au moyen de fr´equences de collisions.

Sur la base des d´efinitions et des hypoth`eses que nous avons ´etablies dans le chapitre pr´ec´ e-dent, nous allons combiner le mod`ele classique des ´electrons libres au mod`ele en bandes de Bloch afin de nous munir d’expressions explicites pour le calcul de la conductivit´e dans le mat´eriau. Cette mod´elisation pr´esente l’avantage de d´ecoupler les diff´erentes contributions et d’ˆetre ainsi plus facilement ins´erable dans un code d’interaction laser-mati`ere.

Dans la premi`ere section, nous diff´erencierons les diff´erents r´egimes de fr´equence de collisions en fonction de la temp´erature ´electronique. Nous supposerons que l’absorption d’´energie ´ electro-magn´etique par les ´electrons se d´ecompose en termes de contributions intrabande et interbande. Chacune de ces deux contributions fera l’objet d’une attention particuli`ere dans les deux sec-tions suivantes. L’absorption interbande sera ´etudi´ee `a travers le cas particulier de l’aluminium. Nous appliquerons ensuite ce mod`ele `a l’interpr´etation de l’influence de la longueur d’onde sur le coefficient d’absorption dans le cas d’une exp´erience sp´ecifique [43].

7.1 Fr´equence de collisions ´electron-´electron

Dans cette premi`ere section, nous allons voir de quelle mani`ere le chauffage du gaz ´ electro-nique affecte la valeur de la fr´equence de collisions (e-e). Nous allons discuter de la validit´e du comportement de cette fr´equence de collisions dans les r´egimes solide et plasma afin d’aboutir `

a un comportement de νee sur une large gamme de temp´erature et de densit´e. La contribution ´electronique `a la fr´equence de collisions totale n’est justifi´ee que lorsque le mat´eriau se trouve en phase solide. En effet, lorsque le m´etal est port´e `a une temp´erature ionique sup´erieure `a la tem-p´erature de fusion, le cristal perd ses propri´et´es ordonn´ees et la notion de bandes d’´energie n’a plus de sens. Nous supposerons alors que la validit´e de notre mod`ele s’arrˆete puisqu’aucune rai-son physique ne nous permet de consid´erer l’influence des seules collisions entre ´electrons sur la conductivit´e ´electrique. En effet, la pr´esence d’un ordre `a longue distance est indispensable pour modifier la quantit´e de mouvement lors d’une collision (e-e). Pour des temp´eratures sup´erieures `

a la temp´erature de fusion, les propri´et´es optiques sont ainsi suppos´ees ˆetre ind´ependantes de la temp´erature ´electronique. Elles varient en fonction de la temp´erature ionique, de la densit´e et du taux d’ionisation de mani`ere identique `a celles tabul´ees `a l’´equilibre thermodynamique fournies par Ebeling et al [34], et utilis´ees dans les simulations pour les dur´ees d’impulsions plus longues [15].