Partie III Algorithme de Synthèse de Lois de Commande 107
3.3 Chemin optimal
Si ((q”1∈/ QA1 ETq”1 ∈/Qv) OU (q1 ∈Q1,Ob ETq”1 satisfaitOb1)) Alors
Qv =Qv∪ {q”1}
Sinon
Si (q1 ∈Q1,Ob ETq”1 ne satisfait pasOb1) Alors
QA1 =QA1∪ {q”1}
Fin Si
Fin Si
...
Retourner D1= (QA1, C1, δ, q1,0, Q1,Ob);
Fin
Alg. 3: Condition restrictive d'exploration des états atteignables depuis un état objectif.
A partir de la représentation par un système de transitions d'états, D1, de l'espace restreint
d'états atteignables, un chemin doit être trouvé de l'état initial vers un état satisfaisant
l'ob-jectif. Même si il est reconnu que le choix de l'algorithme de recherche d'un chemin dépend
des caractéristiques intrinsèques du système contrôlé, notamment en terme d'existence de
redon-dances fonctionnelles, nous avons volontairement proposé un algorithme capable de faire face à la
diversité des systèmes contrôlés, au détriment parfois des performances mêmes de l'algorithme.
3.3 Chemin optimal
L'algorithme de recherche d'un chemin optimal an d'atteindre l'objectifOb1 depuis un état
initialq1,0 est d'abord proposé avec un critère décisionnel unique. Puis, nous nous intéressons à
la problématique multi-critères.
3.3.1 Problème mono-critère
La recherche d'un chemin optimal vis-à-vis d'un critère an d'atteindre un état objectif
depuis l'état initial est un problème classique de la théorie des graphes (Lacomme et al.,2003).
126 Chapitre 8. Phase A : Synthèse d'une Loi de Commande Mono-Produit
Parmi les nombreuses solutions existantes et moyennant une hypothèse sur le poids des arcs
qui doit être positif ou nul, il est possible d'utiliser l'algorithme de Dijkstra (Dijkstra,1959), de
faible complexité, O(S) avec S le nombre de sommets (cf. chapitre 7), qui fournit un chemin
optimal pour un critère à partir d'un sommet source, à chacun des autres sommets du graphe.
L'utilisation de l'algorithme de Dijkstra nécessite d'abord de construire à partir du système de
transitions d'étatsD1 un graphe G1.
Les sommets du graphe correspondent aux états du système de transitions et les arcs aux
transitions entre états. L'état initialq1,0devient le sommets1,0 et les sommets objectifss1,Ob
cor-respondent aux états objectifsq1,Ob. Le poids des arcs est déni à partir de la caractéristique des
opérations nécessaires à l'évaluation du critère d'optimisation. Quand la caractéristique
considé-rée est la duconsidé-rée, le poids de l'arc est censé représenter le temps nécessaire pour passer d'un état
à un autre. Mais, les opérations, d'action ou d'information, et les évolutions requises ne sont pas
systématiquement lancées au plus tôt. Ainsi, le temps nécessaire pour passer d'un état à un autre
suite à une opération ou une évolution requise est égal à la somme du délai de déclenchement
et de la durée de l'action. La dénition du poids de l'arc repose pour ces opérations sur deux
hypothèses liées directement au délai de déclenchement présenté dans la Figure5.14 page90.
Pour une opération, l'événement de début est contrôlé par le module coordination. Par
consé-quent, le délai de déclenchement d'une opération est xé par le module de coordination. N'ayant
aucune raison d'attendre et d'autant plus quand le temps d'exécution de la loi de commande est à
minimiser, toutes les opérations seront lancées au plus tôt. Ainsi, le poids d'un arc correspondant
à une opération sera égal à la durée de cette opération.
En revanche, une évolution requise peut être lancée au plus tôt comme ne jamais l'être. Mais
en se focalisant sur un seul produit, ces évolutions apparaîtront uniquement au début et à la
n de la séquence, correspondant respectivement à l'arrivée et à l'évacuation du produit. Les
évolutions requises ne seront alors pas considérées lors de la recherche du plus court chemin. De
manière à ne pas devoir modier le grapheG1, le poids d'un arc correspondant à une évolution
requise sera nul an de ne pas avoir d'impact sur le poids des chemins.
A partir du grapheG1et du résultat de l'algorithme de Dijkstra, il sut ensuite de comparer
le poids des chemins entre le sommets1,0 et les sommets s1,Ob, et de retenir le chemin de poids
minimum. La proposition ci-dessus soulève la question du choix du chemin quand le poids de
plusieurs chemins est minimal. Cette question se pose d'une part entre les chemins menant à un
même sommet objectif et d'autre part entre les chemins menant à diérents sommets objectifs. En
eet, pour l'algorithme de Dijkstra, une décision arbitraire est prise lorsque plusieurs chemins
sont de poids minimum. Pour ne pas laisser le hasard décider par manque de critères, il est
nécessaire de recourir à des critères décisionnels supplémentaires comme le propose la section
suivante.
3.3.2 Problème multi-critères
Deux solutions sont envisageables an de considérer plusieurs critères. La première est de
proposer à un expert les chemins de poids minimum an qu'il décide. La seconde est de prendre
en compte explicitement d'autres critères et de développer un algorithme multi-critères. Cette
problématique n'étant pas le c÷ur de l'approche proposée, nous donnons uniquement ici des
indications sur les avantages et les inconvénients de ces deux solutions.
3. Phase A, étape 1 : Transformation du produit 127
Un expert décide du chemin à sélectionner, an depuis l'état initial, d'atteindre un état objectif.
Le choix d'un chemin induit également le choix d'un sommet objectif. L'avantage est de
s'appuyer sur les compétences d'un expert qui dispose bien souvent de critères très diciles
à évaluer numériquement. Mais en contre-partie, la durée nécessaire à l'intervention de
l'expert risque de dégrader considérablement les performances de l'algorithme d'un point
de vue temporel. Cette solution est par conséquent à privilégier uniquement en phase de
conguration.
Un algorithme multi-critères qui peut par exemple considérer des critères classés par ordre
d'importance. Le poids des arcs du premier graphe correspond à la caractéristique des
opérations nécessaire à l'évaluation du premier critère. Suite à l'application de l'algorithme
de Dijkstra pour ce premier graphe, il sera appliqué une seconde fois à un deuxième graphe
composé de l'ensemble des chemins de poids minimal résultant de la première application
de Dijkstra. Le poids des arcs de ce deuxième graphe correspond à la caractéristique des
opérations nécessaire à l'évaluation du second critère, et ainsi de suite jusqu'à aboutir à un
chemin unique.
Cette solution rend l'algorithme de recherche du chemin optimal plus complexe et nécessite
pour certains critères d'enrichir le modèle. Néanmoins, sans enrichissement du modèle, il
est possible de dénir d'autres critères, comme par exemple de privilégier les états objectifs
depuis lesquels il n'y a pas d'évolutions induites ou requises applicables, ou bien encore de
minimiser le nombre d'actions à exécuter. Enn, pour une même caractéristique des
opéra-tions, plusieurs critères sont envisageables. Notamment à partir de la durée des opéraopéra-tions,
le temps qu'une chaîne fonctionnelle passe dans un état conduisant à une usure importante
peut être minimisé, comme le temps où un dispositif d'aspiration par un système Venturi
est activé. Tout ceci nécessite de pouvoir orir à l'expert le moyen de dénir ses propres
critères en fonction du système de production et les mécanismes associés pour leur prise
en compte par l'algorithme de synthèse.
Le chemin optimal de comportements de transformation, noté Ch1, dans le système de
transition d'états D1 d'un état initial q1,0 an d'atteindre un objectif Ob1 est obtenu par la
correspondance entre les sommets du graphe G1 et les états du système de transition d'états
D1. La séquence de comportements de transformation à imposer au système contrôlé est alors
donnée par ce chemin (cf. Figure8.4).
Lors de cette première étape limitée à la vision de l'état physique d'un produit, seules des
opérations avec des comportements de transformation ont été dénies. Ainsi, la seconde étape,
présentée dans la section suivante, vise à considérer en plus de l'état physique du produit sa
position dans le système de production.
chemin composé de comportements de transformation graphe de précédence
C
1,kq
kq
k+1C
1,k+1q
k+2C
1,kC
1,k+1séquence à imposer
au système contrôlé
Fig. 8.4 Traduction du chemin optimal en graphe de précédence représentant la séquence de
comportements à imposer au système contrôlé.
128 Chapitre 8. Phase A : Synthèse d'une Loi de Commande Mono-Produit
4 Phase A, étape 2 : Déplacement du produit
La considération des évolutions de la position du produit a pour but d'une part de satisfaire
la demande en tenant compte de l'arrivée et du départ du produit, et d'autre part de
satis-faire les conditions et les pré-contraintes sur la position du produit an de pouvoir imposer les
comportements de transformation spéciés par le chemin construit précédemment, Ch1.
De par les similitudes importantes avec l'étape 1 présentée précédemment, la présentation
de l'étape 2 dans cette section se focalise uniquement sur les points particuliers en donnant
néanmoins les notations adoptées.
4. Phase A, étape 2 : Déplacement du produit 129
4.1 Principe
A l'inverse de la première étape qui construit une seule séquence, l'étape 2 va générer autant
de séquences, modiant la position du produit, que nécessaire an de satisfaire la demande et
permettre la transformation du produit (cf. Figure8.6). L'intégration de ces séquences au chemin,
généré à l'étape précédente, conduit à la génération d'un chemin, dit de transformation et de
transitique, notéCh12.
Le principe de construction d'un tel chemin fait apparaître une diérence fondamentale
dans la dénition de l'état initial et de l'objectif. En eet à l'inverse de l'étape 1 pour laquelle
l'état initial q1,0 et l'objectif Ob1 sont issus directement de la demande, l'état initial q2,i,0 et
l'objectif Ob2,i pour un problème de transitique ne sont pas donnés par la demande. Ainsi, la
particularité de l'étape 2 est la nécessité de déterminer l'état initialq2,i,0 et l'objectifOb2,i, pour
dénir ensuite les évolutions de la position du produit.
Au delà, de cette particularité sur la connaissance de l'état initial et de l'objectif, la
re-cherche d'un chemin représentant les évolutions de la position du produit, notéCh2,i, dière de
la génération d'un chemin de transformation,Ch1, sur les quatre points suivants :
seuls les comportements de transitique des opérations sont considérés ;
seule la position du produit évolue. Ainsi, un état q2 d'un chemin Ch2,i appartient à
l'ensembleQ2 déni parQ2 =Q
x∈V E1∪V E2VxavecVx l'ensemble des valeurs de la variable
d'étatx. Un étatq2 ∈Q2 est déni parq2={(x=c)|x∈V E1∪V E2}, ouc∈Vx;
le chemin de transformation et de transitique,Ch12, est construit progressivement à chaque
nouvelle séquence de transitique construite ;
la complexité de l'espace d'états atteignables au sein duquel sont recherchées les évolutions
de la position du produit est limitée par des conditions restrictives diérentes de celles
utilisées dans l'étape 1.
Comme nous l'avons précisé précédemment, la deuxième étape nécessite d'abord de
détermi-ner l'état initial et l'objectif des chemins de transitiques à construire. Cette détermination étant
basée sur le mécanisme de construction du chemin de transformation et de transitique, Ch12,
nous présentons d'abord ce mécanisme avant de nous focaliser sur la génération d'un chemin de
transitique pour un état initial et un objectif donnés.
130 Chapitre 8. Phase A : Synthèse d'une Loi de Commande Mono-Produit
Dans le document
Synthèse de Lois de commande pour la configuration et la reconfiguration des systèmes industriels complexes
(Page 126-131)