Figura 4.2.: Comparação do campo de deslocamentos experimental versus modelo de elementos nitos: (a) campo de deslocamentos experimental (ux(x, y), uy(x, y)); (b) modelo
homogéneo e condições de fronteira ideais; (c) modelo heterogéneo e condições de fronteira ideais (d) modelo heterogéneo e condições de fronteira reais.
4. Resultados e discussão
Figura 4.3.: Variação dos parâmetros constitutivos da madeira de lenho inicial em função do número de iterações de acordo com o método dos elementos nitos iterativo: (a) Q11; (b) Q12; (c) Q22; (d) Q66.
4.2. Convergência das propriedades elásticas dos técidos de lenho nal e inicial
Figura 4.4.: Variação dos parâmetros constitutivos da madeira de lenho nal em função do nú- mero de iterações de acordo com o método dos elementos nitos iterativo: (a) Q11;
4. Resultados e discussão
Figura 4.5.: Variação da função objetivo em função do número de iterações de acordo com o método dos elementos nitos iterativo.
4.2. Convergência das propriedades elásticas dos técidos de lenho
nal e inicial
As Figuras 4.3 e 4.4 apresentam a evolução dos parâmetros elásticos de rigidez (Qij)
obtidos pelo algoritmo inverso baseado no métodos dos elementos nitos em função do número de iterações para o lenho inicial e nal respetivamente. Nesta fase, foram testadas seis análises: RB5, RB10, RB20, RB60, RB20d10, RB20u10, com a nalidade de testar a robustez do algoritmo de identi cação material proposto. Destas, as primeiras quatro permitiram analisar a convergência dos parâmetros de rigidez em função da variação do domínio de pesquisa na função fminsearchbnd do matlabr (Lagarias et al.,1998). Como estimativa inicial para estas análises consideraram-se
os valores de referência reportados na Tabela 3.3 do Capítulo 3, assumindo variações de 5%, 10%, 20% e 60%. As últimas duas análises permitiram testar a convergência do método inverso variando a estimativa inicial dos parâmetros em dez por centro em relação a valores de referência (Tabela 3.3). A evolução da função objetivo para cada uma das análises testadas pode ser observada na Figura 4.5 em função do número de iterações. Como se pode veri car existe uma diminuição sistemática do valor da função objetivo. Como se pode veri car pelos resultados obtidos, ocorre sistematicamente a convergência dos parâmetros de rigidez, quer para o lenho inicial quer para o lenho nal. Contudo, os valores de convergência tipicamente dependem da
4.2. Convergência das propriedades elásticas dos técidos de lenho nal e inicial estimativa inicial, veri cando, desta forma uma dispersão dos mesmos.
Os valores de convergência obtidos para as constantes de rigidez (Qij) estão sumariados na
Tabela 4.1. Destes, foram obtidos os valores médios e coe cientes de variação. Veri ca-se uma maior dispersão de valores para o lenho inicial. Os valores médios de rigidez foram convertidos em constantes de engenharia (ER, ET, νRT, GRT) para cada tecido de lenho inicial e lenho nal,
como resumido na Tabela 4.2. Estes valores em média são da mesma ordem de grandeza de valores de referência propostos por Nairn (2007) para a espécie de madeira de abeto (Douglas r). Para interpretar a relação entre módulos de elasticidade radial e tangencial entre lenhos inicial e nal foram analisadas ainda relações baseadas em mecânica de tecidos celulares (Nairn,
2007;Gibson and Ashby,1997), de acordo com as seguintes expressões: ERLF= ERLI ρ LF ρLI 1.62 (4.1) ETLF= ETLI ρ LF ρLI 2 (4.2)
Tabela 4.1.: Propriedades de rigidez dos lenhos inicial e nal, no plano radial-tangencial, deter- minadas pelo algoritmo de identi cação inversa baseado no método dos elementos nitos iterativo.
EW LW
Q11 Q12 Q22 Q66 Q11 Q12 Q22 Q66
(MPa) (MPa) (MPa) (MPa) (MPa) (MPa) (MPa) (MPa)
RB5 809 268 217 48 2487 1057 1561 226 RB10 766 281 206 45 2606 1108 1479 237 RB20 681 306 183 40 2843 1208 1314 258 RB60 368 339 238 54 2939 1239 1404 255 RB20d10 559 227 150 36 2383 901 1102 232 RB20u10 838 415 225 44 2795 1543 1545 284 médio 670 306 203 44 2676 1176 1401 249 desvio padrão 163 60 29 5 199 198 158 20 c.v.(a) (%) 24.4 19.5 14.3 12.4 7.4 16.8 11.3 7.9
(a) c.v. = coe ciente de variação
Assumindo valores de massa volúmica para os lenhos nal e inicial de 80.56 g cm−3 e 22.15
g cm−3, respetivamente, para a madeira de P. pinaster medidas por micro-densitometria de raio- X por (Pereira, 2013; Pereira et al., 2014), obtêm-se destas relações uma boa aproximação das propriedades medidas: (i) para ELI
R = 209MPa, a Eq. (4.1) prevê um módulo de ERLF= 1694MPa
(comparativamente ao valor de 1688 MPa determinado pelo método inverso, Tabela4.1); (ii) para ETLI = 63 MPa, a Eq. (4.2) prevê um módulo de ETLF = 838 MPa (comparativamente ao valor
4. Resultados e discussão
Tabela 4.2.: Constantes elásticas dos lenhos inicial e nal, no plano radial-tangencial, determina- das pelo algoritmo de identi cação inversa baseado no método dos elementos nitos iterativo.
Propriedade Lenho Inicial Lenho Final
ER (MPa) 209 1688
ET (MPa) 63 884
νRT 1,507 0,840
GRT (MPa) 44 249
de 884 MPa determinado pelo método inverso, Tabela 4.1).
5. Conclusões
Para uma e ciente transformação e utilização da madeira torna-se relevante parametrizar a variabilidade espacial das suas propriedades mecânicas. Esta variabilidade traduz-se numa heterogeneidade de propriedades físicas e mecânicas a diferentes escalas de observação. Destaca- se neste trabalho a estrutura do tecido de lenho ao nível dos anéis de crescimento, na formação diferencial de agregados de células, ditos de lenho inicial e lenho nal, com diferenças funcionais ao longo do crescimento sazonal da árvore da espécie de Pinus pinaster Ait.
A abordagem clássica em mecânica experimental baseada em medições pontuais e modelos mecânicos com campos de deformação e de tensão homogéneos ou lineares não é adequada para a correta caraterização de gradientes espaciais de propriedades mecânicas. Como solução, foi estudada neste trabalho uma abordagem inversa baseada no método dos elementos nitos iterativo. Este método foi testado num ensaio de compressão radial em amostra de pequena dimensão. Foi desenvolvido um código de elementos nitos com de nição de geometria real e condições de fronteiras prescitas por extrapolação dos deslocamentos medidos pela técnica de correlação digital de imagem na fronteira de contacto do provete. A resposta numérica do modelo de elementos nitos foi comparada com a resposta experimental obtida por correlação digital de imagem, assumindo-se que as suas diferenças são apenas função das propriedades elásticas prescritas para os dois tipos de lenho do material em estudo. A solução do problema inverso de identi cação passou por uma análise de otimização dos parâmetros elásticos dos tecidos pela minimização da resposta numérico-experimental escrita com base no campo de deslocamentos.
A metodologia de identi cação inversa permitiu determinar os parâmetros elásticos para os tecidos de lenho nal e inicial: quatros constantes de rigidez por tipo de lenho, num total de oito propriedades elásticas ortotrópicas. Globalmente, os valores obtidos usando a metodologia proposta são da mesma ordem de grandeza quando comparados com valores de referência repor- tados na literatura. Além disso, o rácio obtidos a partir dos módulos de elasticidade radial dos lenhos inicial e nal, bem como o rácio dos módulos de elasticidade tangencial dos lenhos inicial e nal, são previstos com boa aproximação quando estimados a partir de equações baseadas em modelos celulares.
5. Conclusões
Veri cou-se, contudo, que no método de optimização usado a convergência de valores é sen- sível aos parâmetros iniciais de estimativa das propriedades elásticas escolhidas para inicializar o método iterativo. Algoritmos mais robustos devem ser testados em trabalhos de desenvolvimento futuros. Estes algoritmos podem ser testados numa primeira fase recorrendo a dados simulados numericamente. Por outro lado, devem-se testar novas funções objetivo escritas não só em termos do campo de deslocamentos, mas também em função do campo de deformações.
Além disso, novos ensaios devem ser propostos com uma melhor distribuição das compo- nentes cartesianas do tensor das deformações em toda a região de interesse do provete para uma melhor identi cabilidade material. Nomeadamente, a proposta de um ensaio que permita uma deformação equiparável dos tecidos de lenho inicial e nal com vista à sua correta identi cação.
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