Analyse de la divergence d’un laser atomique

mique

La figure 4.2 avait présenté des résultats typiques de la divergence de nos lasers à atomes. Nous pouvons à présent essayer de comprendre ces données `

a l’aide du formalisme qui a été exposé.

4.4.1 S´equence exp´erimentale

Notre séquence expérimentale se décompose comme suit : après obten- tion d’un condensat de Bose dans le piège magnétique, on applique pendant tcouplage = 10 ms le coupleur de sortie radio-fréquence. Puis, on arrête le coupleur RF et on coupe le piège magnétique. On attend alors tlibre = 6 ms avant de faire une imagerie en absorption, l’image étant prise avec un angle φ par rapport à l’axe y défini par le condensat. Le laser à atome va donc être sou- mis à 3 types d’interactions distincts. Tout d’abord, nous assimilons l’effet

des interactions entre atomes du condensat source et atomes du laser à un effet de lentille mince. Ensuite, le potentiel d’interaction dû à la partie non linéaire de l’effet Zeeman sera réduit à sa composante quadratique, et les atomes verront donc un effet de type « lentille épaisse divergente ». Finale- ment, après la coupure du champ magnétique, les atomes du laser verront un effet de propagation dans l’espace libre.

4.4.2 Processus d’analyse des donn´ees

largeur (mm) position (mm) 400 mm al ti tu d e (m m )

Fig. 4.7 – Méthode d’analyse de la divergence d’un laser atomique. (a) Image en absorption après 10 ms de couplage à 38,557 MHz et 6 ms de temps de vol. On notera le déplacement du condensat (point noir sur l’image) par rapport au début du laser, dû à l’effet Stern-Gerlach de séparation des niveaux magnétiques mF = 1 (condensat) et mF = 0 (laser). (b)-(d) Exemples de profils d’absorptions transverses, correspondants aux trois rectangles de (a). Chacun des profils est ajusté par la fonction ρn(1 − (r/Rn)2)3/2 afin d’en trouver sa largeur Rn et sa densité pic ρn. (e) l’angle de divergence du laser Θ est trouvé par un fit linéaire de la série des Rn.

La méthode d’analyse de cette divergence est présentée sur la figure 4.7 et peut être résumée comme suit : à chaque position verticale n de l’image, on fait un fit transversal par la fonction ρ(r) = ρn(1 − r2/R2n)3/2, où r est le paramètre de l’axe horizontal de nos images. Cette fonction d’ajustage correspond au cas d’un laser atomique pour lequel la section transverse reste

bien décrite par densité atomique en forme de parabole inversée pendant toute la propagation. Il s’agit alors de la densité colonne correspondante, puisque l’image obtenue est le résultat de l’intégration de l’absorption le long du trajet de la sonde (voir annexe B). On constate empiriquement que, dans la limite de nos paramètres expérimentaux, ceci semble correct. Finalement, on constate que l’ensemble des Rnen fonction de la position verticale s’ajuste bien par une droite (partie droite de la figure 4.7). On déduit donc de la pente de cette droite un angle de divergence θ pour le laser à atome.

Les points de la figure 4.9 présentent les données expérimentales obtenues en fonction du désaccord du coupleur de sortie. On constate essentiellement une décroissance de la divergence quand le coupleur de sortie « descend » dans le condensat.

4.4.3 Matrices ABCD et angle de divergence

Pour évaluer l’angle de divergence observé sur nos données expérimen- tales, il suffit de calculer, à l’aide d’un formalisme ABCD la largeur des deux extrémités du faisceau (en tenant compte de l’angle d’observation comme dans l’annexe B) et de diviser par sa longueur (cf figure 4.8) :

Θ = w2− w1 lL

(4.98) où w1et w2sont les largeurs à 1/e2du faisceau laser atomique, vu selon l’angle d’observation φ. Ceux-ci sont obtenus par la propagation des paramètres de faisceaux gaussiens 1/qx = 2i/w2x = 5i/2∆x

2 _{et 1/q}

y = 2i/wy2 = 5i/2∆y 2 _`_a travers les matrices ABCD successives (lentille mince, lentille épaisse et propagation libre). Les largeurs à l’origine du faisceau laser ∆x et ∆y dépendent de la position d’extraction zE et ont déjà été explicités en 4.5 et 4.6.

En pratique, l’extr´emit´e « avant » du laser subit l’effet de lentille mince pendant un temps tLM, avec :

tLM = s 2(Rz− zE) g + 2˜µ/mR2 z· zE (4.99) Puis une propagation dans un milieu type « lentille épaisse » dû à l’effet Zee- man quadratique pendant un temps tcouplage− tLM, et enfin une propagation libre pendant tlibre.

L’extrémité « arrière » du laser subit quand à elle également l’effet de lentille mince pendant un temps tLM, puis seulement une propagation libre pendant tlibre.

La longueur du laser observé lL pour sa part se calcule aisément à partir des équations classiques 1D du mouvement :

lL' g Ω2 cosh[Ωtcouplage] − g Ω2 + g

W₂ l_L

Laser atomique

Fig. 4.8 – Principe de la d´efinition d’un angle de divergence. On a Θ = (w2− w1)/lL.

On notera cependant que cette théorie s’applique pour des faisceaux gaussiens. Or, on a vu que les données expérimentales étaient bien décrites par des profils type paraboles inversées. On n’oubliera donc pas d’utiliser le facteur 2/√5 qui apparaˆıt lorsque passe d’une forme gaussienne à une forme de type parabole inversée (cf Eq. 4.60).

4.4.4 Comparaison avec les donn´ees exp´erimentales

On présente ici les paramètres expérimentaux concernant notre expé- rience :

– Rx = Rz = 4, 2 µm – Ry = 67, 2 µm

– Natomes= 4 · 105 −→ µ = 2π~ · 1, 6 kHz – a11' a10, d’o`u ˜µ ' 2π~ · 1, 6 kHz

– φ = 0, 97 rad (angle d’observation par rapport `a l’axe y) – tcouplage = 10 ms

– tlibre= 6 ms

– Effet Zeeman quadratique : Ωx= Ωz = 2π · 30, 3 Hz ; Selon la direction y, l’effet poss`ede une composante quadratique et une composante quar- tique (en y4_{). Il est cependant n´}_{egligeable devant celui de la direction} x. On pose donc Ωy ' 0.

En utilisant ces paramètres dans une théorie de matrices ABCD, on ob- tient les résultats présentés sur la figure 4.9.

On constate un bon accord de la courbe avec les données expérimentales, dans la mesure où l’on n’a utilisé aucun paramètre ajustable. La principale caractéristique de cette courbe est sa décroissance avec la baisse de la position d’extraction. Cet effet est dû à la traversée du condensat de Bose-

D iv er ge nc e (m ra d) -5 0 5 0 10 20 30 Désaccord du coupleur (kHz)

Fig. 4.9 – Angle de divergence en fonction du désaccord du coupleur de sortie. La courbe en trait plein correspond au calcul théorique par la méthode des matrices ABCD. La courbe en pointillés représente le même calcul théorique, mais sans prendre en compte l’effet des interactions entre le laser atomique et le condensat source. La calibration absolue du désaccord du coupleur est effectuée à l’aide de courbes de couplage du type de celle de la figure 3.10, l’extremum de la courbe corespondant à un désaccord nul du coupleur par rapport au centre du condensat.

Einstein, qui agit comme une lentille divergente d’autant plus puissante que l’interaction se produit pendant longtemps. Pour un couplage à une position relativement haute, la portion de condensat à traverser est plus importante que pour un couplage à plus basse altitude, d’où la diminution de la divergence avec l’abaissement de la zone de couplage. En dehors de la zone `

a laquelle nous pouvions accéder expérimentalement, on constate également deux choses : tout d’abord, lorsque la zone de couplage s’approche fortement des bords du condensat, la divergence augmente rapidement et est dominée par la diffraction. Cela est dû au fait que la largeur de la zone d’extraction tend rapidement vers zéro, d’où un effet de plus en plus fort de la diffraction. Par ailleurs, on constate également pour δRF < −5 kHz une diminution de la divergence calculée. Ce dernier effet est dû à la diminution de la largeur du laser à sa source. En effet, l’angle de divergence donné par une lentille mince est proportionnel à la largeur du faisceau incident pour une puissance donnée (voir figure 4.10).

θ

r2

r1

r1 < r2

θ1 < θ2

Fig. 4.10 – Schéma de principe montrant la réduction de l’angle de divergence d’un faisceau quand la taille du faisceau diminue (à puissance de la lentille constante).

Dans le document Condensats de Bose-Einstein et lasers à atomes (Page 132-137)