Adaptation ` a l’´ etude de la propagation d’un laser ato-

4.3 Un outil pour la propagation d’un laser : les matrices ABCD

4.3.2 Adaptation ` a l’´ etude de la propagation d’un laser ato-

Mise en ´equation, approximations n´ecessaires

Lorsque l’on veut adapter le formalisme des matrices ABCD au cas des lasers à atomes, une première objection vient à l’esprit : le cas des ondes de matière est très différent de celui des ondes lumineuses, car, si la relation de dispersion pour l’optique est lin´_{eaire (E = ~ck), celle de l’optique} atomique est quadratique (E = ~2_k2_{/2m). On voit donc mal comment un} formalisme prenant en compte la diffraction pourrait fonctionner de manière analogue pour l’optique des photons et celle des atomes. Cependant, dans notre cas particulier, on peut aisément contourner cette objection. En effet, en optique des matrices ABCD, il est nécessaire de se placer dans le cadre de l’approximation paraxiale. On sépare donc le vecteur d’onde ~k en sa composante transverse k⊥ et sa composante longitudinale kk. En terme de relation de dispersion pour les ondes optiques, l’approximation paraxiale revient alors `

a faire le d´eveloppement limit´e suivant : k = |~k| ' kk+ k2 ⊥ 2kk (4.36) E(k) ' ~ckk+ ~c 2kk k2_⊥ (4.37)

On trouve alors une relation quadratique avec k⊥, ce qui est fondamentale- ment la condition nécessaire pour employer des théories à base de matrices ABCD [63]. En fait, l’emploi d’une théorie de ce type pour des ondes gaussiennes n’est valable que dans le cadre de l’approximation paraxiale en optique, alors qu’elle reste valable en dehors de cette approximation pour les ondes de matières [63].

Une autre difficulté qui peut surgir est le fait que, dans le traitement optique traditionnel, on se base sur des solutions stationnaires des équations de propagations. En effet, habituellement, en optique, les potentiels d’interactions agissant sur les photons ne dépendent pas du temps. Ce type de traitement est souvent justifié pour les ondes électromagnétiques : la vitesse de propagation très élevée de la lumière rend les variations temporelles des systèmes optiques au cours de la propagation difficiles, et en tout cas assez pathologiques (lasers pulsés, modulateurs, ...). Dans le cas du laser à atomes, au contraire, les vitesses de propagations sont au maximum de l’ordre de 1 ms−1, ce qui rend les changements de potentiels d’interaction au cours du temps très facile à réaliser. De fait on a vu que, en pratique, avant de faire l’imagerie par absorption nous avions coupé le piège magnétique et attendu quelques millisecondes. Cela correspond donc à une modification du potentiel

d’interaction entre le laser à atome et le monde extérieur, qui rend impossible l’utilisation de solution stationnaire des équations de propagation, puisque le hamiltonien dépend du temps.

Procédons à une mise en équation du problème envisagé afin de voir comment on peut contourner ce problème. Soit la fonction d’onde du laser à atome Ψ(x, y, z, t). Comme on l’a vu au chapitre 3, dans la limite considé- rée, et en faisant abstraction des termes de source, Ψ obéit à l’équation de Schrödinger : i~∂tΨ(x, y, z, t) = − ~ 2 2m ∂ 2 x+ ∂ 2 y + ∂ 2 z + V (x, y, z, t) · Ψ(x, y, z, t) (4.38) Comme on découple le degré de liberté à évolution rapide (direction verticale) de ceux à évolutions lentes (directions transverses), on pose :

Ψ(x, y, z, t) = Φ(x, y, z, t) · Ψ1D(z, t) (4.39)

V (x, y, z, t) = V1D(z, t) + Vtrans(x, y, z, t) (4.40) o`u,

V1D(z, t) = V (x = 0, y = 0, z, t) (4.41)

et Ψ1D(z, t) vérifie l’équation d’évolution 1D du problème : i~∂tΨ1D(z, t) = − ~ 2 2m∂ 2 z + V1D(z, t) Ψ1D(z, t) (4.42) En posant Ψ1D(z, t) = e i ~σ(z,t) (4.43) v(z, t) = 1 m∂zσ(z, t) (4.44)

on obtient, `a partir des ´equations 4.42 et 4.38, − ∂tσ(z, t) = − i~ 2m∂ 2 zσ(z, t) + (∂zσ) 2 2m + V1D(z, t) (4.45) i~(v(z, t)∂zΦ + ∂tΦ) = −~ 2 2m ∂ 2 x+ ∂y2 Φ + Vtrans(x, y, z, t)Φ −~ 2 2m∂ 2 zΦ (4.46)

La résolution du problème physique consiste donc à résoudre l’équation dif- férentielle 4.46 avec la condition aux limites imposée par le couplage radio- fréquence :

o`_{u γ(t) ∼ ~Ω}RF(t)/2mgl 1 est li´e au calcul du taux de couplage (eq. 3.36) et lzE est d´efini en 3.21. On trouvera dans [55] et [56] plus d’informations au

sujet du calcul du coefficient de couplage γ(t)3.

Afin de résoudre l’équation aux dérivées partielles 4.46, il convient de l’intégrer selon un chemin bien choisi dans l’espace (x, y, z, t).

Soit alors une fonction t 7−→ Z(t) définissant un tel chemin dans l’espace (x, y, z, t). On choisit cette fonction de fa¸con à ce qu’elle vérifie l’équation différentielle

Z0(t) = v(Z(t), t) (4.48)

ainsi qu’une condition aux limites

Z(ti) = zi (4.49)

dont le sens sera expliqu´e ult´erieurement.

On pose alors, `a la condition que Z(t) soit r´eel,

ΦSC(x, y, t) = Φ(x, y, Z(t), t) (4.50)

V_SCtrans(x, y, t) = Vtrans(x, y, Z(t), t) (4.51) En utilisant la formule de d´erivation partielle (« r`egle de chaˆıne ») :

∂tΦSC(x, y, t) = Φ(x, y, Z(t + dt), t + dt) − Φ(x, y, Z(t), t) dt (4.52) = ∂tΦ · dt + ∂zΦ · dZ dt (4.53) = ∂tΦ + v(Z(t), t)∂zΦ(x, y, Z(t), t) (4.54) ainsi que l’équation 4.46,on obtient alors, pour ΦSC, l’équation aux dérivées partielles : i~∂tΦSC(x, y, t) = − ~ 2 2m ∂ 2 x+ ∂y2 ΦSC+ VSC trans(x, y, t)ΦSC− ~ 2 2m∂ 2 zΦ(x, y, Z(t), t) (4.55) Dans l’approximation paraxiale, le dernier terme de l’équation transverse 4.46 est négligeable devant les autres. En effet, on considère que Φ(x, y, z, t) varie lentement en fonction de z devant la longueur d’onde de de Broglie atomique λdB = h/mv(z, t), cela permet de négliger dans 4.46 le terme en ∂_z2Φ. Finalement, on obtient pour ΦSC l’équation :

i~∂tscΦSC = −

2m ∂

x+ ∂y2 + VSCtrans(x, y, tsc)ΦSC (4.56)

3_{Pour ´}_{etablir l’expression 4.47, il suffit d’identifier le mode 3D du laser atomique}

« idéal » de la référence [55] avec l’expression 4.39, où le mode longitudinal est donné par Ψ1D = a/

√

l · Ai[(z − zE)/lzE] (voir 3.2.2.3), cette dernière expression devant être développée asymptotiquement dans la zone classiquement autorisée.

L’équation différentielle 4.56 est parfaitement analogue à celle du pro- blème optique exposé en 4.3.1. En effet, en posant formellement

k1D = m

(4.57) on peut la r´e´ecrire sous la forme :

∂_x2+ ∂_y2 Φ − 2k1D VTrans

+ 2ik1D∂zΦ = 0 (4.58)

qui est équivalente à quelques détails près4 à l’équation optique 4.28. Or, on a vu que l’on pouvait résoudre ce type d’équation facilement, dans le cas d’une condition aux limites gaussiennes, à l’aide de la méthode des matrices ABCD. On doit donc pouvoir procéder de même pour le cas des lasers à atomes.

On notera que le remplacement de Φ(x, y, z, t) par ΦSC(x, y, t) dans le problème n’est valable qu’à la condition de Z(t) soit réel, ce qui impose v(Z(t), t) également réel. Ceci correspond à ne considérer le problème qu’aux endroits où l’approximation semi-classique pour Φ1D(z, t) est valable (d’où le nom de ΦSC), c’est à dire suffisamment loin de la zone de couplage. C’est ce changement de variable qui nous permet ici d’appliquer la méthode des matrices ABCD à un problème dépendant du temps.

Physiquement on ne sera intéressé par la fonction d’onde du laser Ψ(x, y, z, t), ainsi qu’à sa partie transverse Φ(x, y, z, t) qu’au moment t = ti où l’on ef- fectue la prise de l’image. On pourra alors remonter à la densité atomique locale dans le laser |Φ(xi, yi, zi, ti)|2 à partir de la résolution de 4.56 par la relation Φ(xi, yi, zi, ti) = ΦSC(xi, yi, ti), qui est valable à la condition que l’on ait bien posé la condition initiale Z(ti) = zi pour le chemin d’intégration.

Le sens physique du traitement mathématique précédent peut être expli- qué comme suit : dans la zone d’extraction du laser, on découpe une tranche fine de condensat dans un plan orthogonal à la gravité à une hauteur zE (condition aux limites de 4.47). Cette tranche va se déplacer verticalement (tomber) sous l’effet de la gravité et des autres potentiels (éventuellement dépendants du temps) présents dans le système (équation 4.42). Lors de ce déplacement, la tranche va se déformer latéralement sous l’effet de plusieurs paramètres tels que pression quantique et potentiels d’interactions inhomo- gènes (équation 4.46). L’approximation paraxiale permet de ne considérer comme cause de ces déformations que ceux présents dans le seul plan où se situe la tranche en question (équation 4.56). Finalement, au moment de la prise de l’image, elle a atteint une position verticale zi, où sa forme trans- versale est donné par l’intégration de l’équation transverse 4.56 le long du

4_{On peut noter des diff´}_{erences de signes entre le traitement de l’optique habituel et}

celui de l’optique atomique. Celles-ci sont essentiellement liées au fait que les conventions habituelles de l’optique préconisent de prendre pour les ondes planes la notation exp[i(ωt− kz)], alors que, en mécanique quantique, on prend exp[i(kz − ωt)]

mouvement vertical Z(t), à laquelle on a imposé la condition limite 4.49. Cette dernière correspondant simplement à dire que la tranche que l’on suit lors du déplacement Z(t) doit arriver en zi au moment de la prise de l’image. Finalement, la dernière approximation qu’il nous a fallu faire pour per- mettre un traitement simple du problème consiste à supposer une condition aux limites gaussienne. Ceci n’est pas tout à fait exact, puisque l’on sait que, dans l’approximation de Thomas-Fermi, le condensat présente une densité atomique à section de type parabole inversée. On a donc une condition aux limite dont le module carré est également de forme parabole inversée. Cepen- dant, en première approximation, nous avons assimilé la forme de parabole inversée à la gaussienne qui donne la même largeur quadratique moyenne.

-xM 0 xM

Profil type Thomas-Fermi

(parabole inversée) Gaussienne de même largeur RMS

Fig. 4.5 – Fit gaussien d’un profil de type Thomas-Fermi. Les deux profils ont la mˆeme largeur quadratique moyenne (RMS).

Pour une parabole invers´ee f (x) = exp(α) · max [0, 1 − (x/xM)2], la largeur RMS est δxRMS = xM/

√

5. Pour une gaussienne f (x) = exp(α) · exp(−2(x/w)2_{), on obtient δx}

RMS = w/2. Le « meilleur » ajustage gaussien d’une parabole invers´ee est donc obtenu pour les param`etres :

αgaussienne = αparabole (4.59)

wgaussienne = 2 √

R´esolution pour le cas gaussien

On impose donc une solution gaussienne `a l’´equation 4.56 de la forme : Φ(x, y, t) = eα(t)· exp i x2 2qx(z(t), t) + y 2 2qy(z(t), t) (4.61) et on pose, dans le cas de potentiels lenticulaires (i.e. quadratiques) :

VTrans(x, y, z(t), t) = Vx(2)(z(t), t) x2 2 + V (2) y (z(t), t) y2 2 (4.62)

où Vx(2)(z(t), t) et Vy(2)(z(t), t) sont les dérivées secondes sur l’axe par rapport respectivement à x et y du potentiel VTrans. Le sens physique des paramètres complexes qx et qy apparaˆıt clairement quand on fait la décomposition en parties réelles et imaginaires :

1 qx (t) = Cx(t) + 2i w2 x(t) (4.63) 1 qx (t) = Cy(t) + 2i w2 y(t) (4.64) Les C(t) sont des termes qui donnent la « courbure du front d’onde » de Φ (termes de phases purs), alors que les w(t) donnent les rayons `a 1/e de Φ (ou les rayons `a 1/e2 _{de |Φ|}2_{, qui correspondent `}_{a ce qu’on observe en pratique)}

L’équation 4.56 devient alors : ∂tqx(z(t), t) = ~ m + Vx(2) ~ q 2 x (4.65) ∂tqy(z(t), t) = ~ m + Vy(2) ~ q_y2 (4.66) ∂tα = − ~ 2m 1 qx + 1 qy (4.67) De manière totalement analogue à l’optique, on résout ces équations dif- férentielles en posant : qx = x(t) _m ~ ˙x(t) (4.68) qy = y(t) _m ~y(t)˙ (4.69) (4.70) ce qui conduit, dans 4.65 à :

¨ x +V

(2) x

c’est `a dire, en utilisant 4.62

m¨x = −∂xVTrans (4.72)

c’est l`a l’´equation du mouvement classique d’une particule dans un potentiel harmonique. Ainsi, comme pour l’optique, on retrouve bien la loi ABCD :

qx2 =

Axqx1 + Bx

Cxqx2 + Dx

(4.73) o`u les coefficients Ax, Bx, Cx et Dx sont ceux de la matrice qui transforme le vecteur-rayon [x1, p1/~] en [x2, p2/~] par les ´equations classiques du mouvement (idem pour y).

Dans le document Condensats de Bose-Einstein et lasers à atomes (Page 122-128)