Avant-propos :Ce montage a été présenté le 14/01/2014 parJoévin Giboudotet cor-rigé parH. Leymarie. Il semble assez difficile de présenter toutes les expériences décrites ci-dessous, il faut alors faire un choix.
Rapports du Jury
+(2013) – “Les notions d’erreur de quantification et de rapport signal/bruit ne sont pas bien dégagées. Pour la numérisation d’un signal, il faut mettre en évidence le rôle de l’échantillonnage et ses conséquences.”
+(2012, 2011) – “Les caractéristiques de la numérisation d’un signal ont été mieux illustrées cette année. L’analyse des signaux ne se limite pas à une FFT sur un oscil-loscope. L’aspect traitement du signal est trop souvent absent, notamment le rapport signal/bruit.”
+ (2010) – “L’étude exhaustive d’un circuit RLC série n’a pas sa place dans ce montage, même si ce circuit peut servir à illustrer la réduction du bruit sur un signal de fréquence donnée. Les notions d’erreur de quantification et de rapport signal/bruit ne sont pas bien dégagées. Pour la numérisation d’un signal, il faut mettre en évidence le rôle de l’échantillonnage et ses conséquences.”
+(2008) – “La partie “ Acquisition” est souvent omise.”
+(2004) – “Les candidats ont très souvent recours à la “périodisation” du signal préa-lablement à l’analyse de Fourier par certains logiciels. Cette démarche est pour le moins étrange : périodiser suppose connue la période du signal et on peut dès lors s’interroger sur la pertinence de l’analyse de Fourier subséquente. Les candidats perdent du coup de vue le rôle de la durée totale d’enregistrement sur la résolution spectrale associée à la transformée de Fourier.”
+(1999) – “ Au moins pour une partie du montage, le signal que l’on étudie devrait être relié à une grandeur que l’on cherche à mesurer et non fournie par un GBF.”
+ (1997) – “La détection synchrone compte parmi les méthodes de traitement du signal et son principe peut être illustré dans ce montage qui doit par ailleurs souligner l’importance des méthodes numériques actuelles1.”
+(1996) – “Le montage sur l’acquisition et le traitement de données expérimentales a souvent été présenté au moyen de maquettes ou de logiciels qui peuvent se révéler décevants si le candidat fait de leur utilisation le but du montage au lieu de les considérer comme un outil destiné à une meilleure présentation des phénomènes. Il faut également mettre en garde les utilisateurs sur le danger présenté par les logiciels dont ils ne dominent pas la complexité.”
Bibliographie
[1] Duffait,Expériences d’électronique. Bréal, 1999.
1. Le titre du montage était alors : Quelques exemples d’analyse et de traitement de signaux com-portant éventuellement du bruit.
[2] Krob,Électronique expérimentale. Ellipses, 2002.
Plan
1 Acquisition d’un signal
1.1 Discrétisation en temps : Échantillonnage ([1] p.44) 1.2 Échantillonneur/Bloqueur ([1] p.280)
1.2.1 Explication du montage 1.2.2 Analyse de Fourier 1.3 Discrétisation en amplitude
1.3.1 Quantum et Nombre de bits 1.3.2 Rapport signal sur bruit SNR 2 Analyse d’un signal
2.1 Analyse temporelle : Temps de montée d’un circuit RC 2.2 Analyse fréquentielle
2.2.1 Repliement de spectre ([1] p.48) 2.2.2 Résolution de la TF ([1] 3.2 p.49)
3 Traitement non-linéaire d’un signal : Détection synchrone ([1] p.219)
Introduction
La physique est avant tout une science expérimentale car c’est l’expérience qui construit des théories physiques et qui les confirment. Le physicien va alors devoir acquérir des si-gnaux, les analyser et les traiter pour en extraire l’information utile.
L’emploi du numérique, qui a détrôné l’analogique, est quasiment inévitable au-jourd’hui. Le but est alors de convertir des grandeurs analogiquescontinuestel qu’une tension et un temps{V(t);t}, en un tableau de valeurs numériques discrètes{Vn;tn}. On va alors forcément, dans ce processus d’échantillonnage des grandeurs physiques, perdre une certaine quantité d’information.
L’objectif de ce montage sera de mettre en avant quels sont les paramètres importants pour retranscrire correctement une grandeur physique relié à un signal. Ce qui nous per-mettra par la suite de traiter ce signal pour l’extraire par exemple du bruit dans lequel il baigne.
Fig. 24.1: Chaîne d’acquisition simplifiée.
1 Acquisition d’un signal
Objectif : On montre quels sont les paramètres accessibles pour exécuter une ac-quisition correcte d’une grandeur physique.
1.1 Discrétisation en temps : Échantillonnage ([1] p.44)
Le premier paramètre sur lequel on peut jouer est lafréquence d’échantillonnage.
Elle correspond à la durée minimale entre deux prises de points. On va montrer pour un signal périodique, que si la fréquence d’échantillonnage est mal choisie par rapport à la fréquence du phénomène périodique étudié alors le signal est mal retranscrit.
äExpérience : On relie la carte d’acquisition de LatisPro à un GBF qui délivre un signal sinusoïdal de fréquence fGBF = 1 kHz et d’amplitude . 10V crête à crête.
On se place alors sur le calibre -5V/+5V dans LatisPro. On fait varier la fréquence d’échantillonnageFe= 1/Te, le nombre de pointsN et le temps total d’acquisitionTacq. Ces 3 paramètres sont reliés par la relation :
Tacq =N·Te (24.1)
Mesure Tacq Te N fapp Aspect du signal
1 200 ms 1 ms 200 6=fGBF Constant
2 10 ms 0.5 ms 20 ∼fGBF Périodique
3 10 ms 0.1 ms 100 =fGBF Périodique mais festonné
4 10 ms 10µs 1000 =fGBF Sinusoïdal
Remarques :
1. D’après les mesures 1, 2 et 3, pour récupérer la bonne fréquencef du signal d’en-trée lors de l’acquisition, il fautau moinsavoir une fréquence d’échantillonnage
Fe≥2f . C’est lecritère de Shannon.
2. On voit dans les mesure 3 et 4, que ce critère n’est pas suffisant pour acquérir correctement le signal. Il faut également que le nombre de points par période soit suffisant pour reproduire correctement les variations du signal.
3. La mesure 1 permet entre autre de vérifier que l’on a bien choisi une fréquence égale pour le GBF et la période d’acquisition. En effet si ces deux fréquences sont égales alors on doit observer une droite horizontale (sur un court intervalle de temps). Si la droite n’est pas horizontale alors on sait que fGBF 6=Fe.
On pourrait se dire qu’il faut à chaque acquisition choisir la fréquence d’échantillon-nage maximale pour ne pas avoir de problème, mais étant donné quelle n’est pas indépen-dante des deux autres paramètres (relation (24.1)), il faudra trouver le bon compromis dans le choix de ces 3 paramètres en fonction du signal que l’on étudie et de l’analyse que l’on veut en faire comme on le verra par la suite.
Pour permettre la conversion de la valeur de la tension, à instant d’échantillonnage donnée, en une valeur numérique, il faut que la tension soit maintenue constante pen-dant une durée suffisamment grande pour permettre cette conversion. C’est le rôle de l’échantillonneur/bloqueur.
1.2 Échantillonneur/Bloqueur ([1] p.280)
1.2.1 Explication du montage
Le temps de conversion d’une grandeur analogique en une valeur numérique par un Convertisseur Analogique/Numérique (CAN) n’est pas infiniment rapide. Il faut alors que la grandeur physique que l’on cherche à échantillonner soit maintenue constante pendant un temps assez long. On se place dans le cas d’une mesure de tension.
ä Expérience [1] p.280 : On utilise la maquette du labo dont une notice spé-cifiant la tension d’alimentation des différents composants est précisée. On cherche à échantillonner/bloquer un signal sinusoïdal de fréquence comprise entre 10 et 200Hz et d’amplitude inférieur aux alimentations des différents composants. On envoie un signal créneau 0-5V de fréquencefh= 1kHz grâce à un autre GBF et sa sortie TTL.
On observe sur la voie 1 le signal sinusoïdal en-voyé par le GBF et sur la voie 2 le signal à la sortie de l’ampli op.
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On voit que le signal est bloqué pendant une cer-taine durée liée à la fréquence de l’horlogefh.
Pendant que K est fermé la tension de sortie suit la tension du GBF sur une demi-période du signal de l’horloge h(t).
Quand l’interrupteur s’ouvre la tension de sortie est égale à la tension du condensateur et est donc bloqué pendant une autre demi-période de l’horloge.
L’ampli op utilisé en suiveur permet au conden-sateur de ne pas se décharger lorsque l’interrup-teur est ouvert.
Remarques :
1. Il faut que le temps de blocage soit supérieur au temps nécessaire au CAN pour convertir la grandeur. L’ordre de grandeur du temps de conversion est de qq dizaine de ms pour les plus lents à la centaine de nanoseconde pour les plus rapides.
2. On peut faire une mesure rapide du temps de blocage et la comparer à la demi-période du signal horloge TTL.
3. Il faut bien avoir en tête qu’ici onsimulele travail d’un CAN et que le signal est également échantillonné/bloqué par la carte d’acquisition. Les composants utilisés en réalité sont beaucoup plus performants que ceux que l’on utilise.
1.2.2 Analyse de Fourier
äExpérience [1] p.280 : Grâce à un oscilloscope numérique, on effectue la trans-formée de Fourier du signal de sortie. On observe alors la périodisation de la FFT à la fréquence de l’horlogefh. On a deux pics centrés sur chaque valeur entière defh.
Avec l’aide des curseurs, on mesure les valeurs des fréquences des différents pics du spectre. Si la fréquence du signal d’entrée délivré par le GBF est f alors les pics sont placés à des fréquences :
[fh−f;fh+f]; [2fh−f; 2fh+f]; [3fh−f; 3fh+f];...
Pour éviter que les pics dû à chaque périodisation de la FFT (de périodefh) ne se chevauchent, il faut quef soit inférieure àfh−f. Si on assimile la fréquence de l’horloge à la fréquence d’échantillonnage Fe alors la condition s’écrit :
f ≤Fe−f =⇒ Fe≥2f
On retrouve le critère de Shannonmais pour cette fois l’analyse fréquentielle du signal. Si cette condition n’est pas respectée on a alors ce que l’on appelle le phénomène derepliement de spectre(cf. [1] p.48).
+ Il est intéressant ici de montrer la périodisation simulée de la transformée de Fourier d’un signal. On observe les différents pics qui sont habituellement cachée sous LatisPro. En effet LatisPro ne peut afficher le spectre que jusqu’à Fe au maximum, le reste du spectre étant caché à l’utilisateur.
Le processus de numérisation conduit à donner à une valeur de tension un mot numérique. Le nombre de mot numérique différents que peut donner un appareil est une caractéristique importante de cet appareil.
1.3 Discrétisation en amplitude
1.3.1 Quantum et Nombre de bits
Objectif : On cherche dans un premier temps à mesurer le quantumq de la carte d’acquisition de LatisPro. Le quantum étant la plus petite différence de tension qui peut être mesurée par la carte d’acquisition pour un calibre donné.
äExpérience : On fait une acquisition à l’aide de LatisPro et de la carte d’acqui-sition d’un signal sinusoïdal d’amplitude 20 V crête à crête et de fréquence 1kHz.
+On veillera à bien sélectionner la plus petite période d’échantillonnage possible pour être sur qu’entre deux instants consécutifs de mesures de tension il n’y ait qu’un quantum qui sépare les deux valeurs consécutives de tension. Si la fréquence d’échantillonnage est trop faible (i.e le temps entre deux mesures trop long) alors il est possible que la tension délivré par le GBF ait eu le temps de varier sur plus d’un quantum ce qui fausse la me-sure que l’on va faire.
L’outilPointeurde LatisPro permet très facilement de réaliser cette mesure.
Il n’y a pas entre les points 1 et 2 le quantum de la carte d’acquisition. Mais entre les points 2 et 3 si !
On mesure alors à l’aide du pointeur l’écart de tension minimale entre ces deux points.
On trouve ∆V = 4.99·10−3V.
On remonte alors au nombre de bitsnsur lequel code la carte d’acquisition :
q= P.E.
2n−1 =⇒n= ln
P.E q + 1
ln 2
Dans notre expérience on a la pleine échelle P.E. qui vaut +10 - (-10) = 20V. On trouve alors nexp= 11.96≈12.0 bits à comparer avecnatt= 12bits.
Remarques :
1. Dans le cadre d’une acquisition avec un oscilloscope numérique2, la pleine échelle est donnée par le calibre × le nombre de carreaux donc égale à 8×calibre (en V/div).
2. On voit que l’erreur due à la quantification est directement lié au calibre utilisé.
Pour minimiser cette erreur lors d’une mesure de tension, il convient alors d’ajuster le calibre à la plus petite valeur possible compatible avec la mesure. En effet, commenest fixé, l’erreur relative∆V sur une mesure de tension V est égale à :
∆V V = q
V
3. Plus le nombre de bits est important plus l’instrument est précis. Ex : carte d’acquisition 12 bits, multimètre numérique 12 bits, CD 16 bits, oscilloscope 8 bits...
1.3.2 Rapport signal sur bruit SNR
+Je n’ai pas traité cette partie lors de ma présentation, c’est pour cela qu’elle n’est pas détaillée. Je n’ai pas trouvé de livre dans lequel on pourrait faire une mesure de SNR comme stipulé dans les différents Rapports du Jury. Je vous laisse le soin de trouver quelque chose de mieux que ce qui suit.
Le rapport signal sur bruit (SNR pourSignal to Noise Ratio) d’un CAN idéal linéaire centré est défini pour une entrée sinusoïdale pleine échelle, c’est le quotient entre la valeur efficace du signal Veff, sinus et celle du bruitVeff, bruit(s’agissant d’un CAN idéal le bruit se réduit au bruit de quantification). On obtient alors la formule :
SN RdB= 6.02·n+ 1.76dB
on voit que plus le nombre de bits est grand, donc plus la précision est grande alors plus le SNR est grand. Mais plus le nombre de bits est grand plus la mémoire de stockage doit
2. Une mesure est faite dans [2] p.15, qui n’est pas concluante puisqu’on trouve une valeur inférieure (6 bits apparent) à ce qui est annoncé par le constructeur (8 bits). On pense que l’oscilloscope lorsqu’il arrive à des valeurs de calibre faibles effectue un zoom qui diminue sa résolution (c’est-à-dire qu’il n’affiche plus le nombre maximum de palier de tension qu’il pourrait afficher), il ne code alors plus sur 8 bits mais une valeur plus faible. Par contre si on mesure à l’aide des curseurs la plus petite valeur de tension qu’il peut afficher, on retombe bien sur 8bits indépendamment du calibre...
être important. Ce détail est important dans le cadre de stockage limité comme pour un CD.
Dans le cadre du Compact Disc, la prise en compte de la physiologie de l’oreille fait apparaître un masquage sonore entre deux sons s’ils sont espacés de plus de 40 dB. De plus, les dynamiques musicales (Type Opéra) sont d’environ 40 dB. Il faut donc un SNR d’au moins 80 dB pour effectuer un enregistrement Haute Fidélité. Un codage sur 14 bits suffit (85.76 dB de SNR). On a utilisé un code sur 16 car cela représente 2 octets, ce qui d’un point de vue informatique est plus simple à gérer. On a donc pour le C.D. un enregistrement qui est effectué avec un SNR de 96 dB.
Résumé : En général, lors de l’acquisition d’un signal, on voit que le paramètre essentiel est la fréquence d’échantillonnage. On veillera d’abord a sélectionner cette fré-quence d’échantillonnage puis en fonction du phénomène étudié soit le nombre de points soit le temps d’acquisition comme on le verra par la suite. On prendra soin de se placer sur le calibre qui minimise l’erreur relative dû à la numérisation du signal.
2 Analyse d’un signal
On va dans cette partie analyser un signal sans le modifier (le traiter). On fera deux analyse l’une temporelle et l’autre fréquentielle.
2.1 Analyse temporelle : Temps de montée d’un circuit RC
ä Expérience : On fait l’acquisition de la tension de sortie d’un circuit RC, en veillant à sélectionner correctement les paramètres d’acquisition comme décrit précédem-ment (fréquence d’échantillonnage, puis temps d’acquisition et par défaut le nombre de points).
+On montre que l’analyse temporelle nous permet de remonter rapidement au temps caractéristique du circuit grâce à l’option de modélisation.
La tension aux bornes du condensateur s’écrit VC(t) = Vin(1 − exp (−t
τ)) avec : τ =RtC= (R+rG)C
+Il est plus judicieux de s’intéresser à la décharge du condensateur. En faisant une acquisition sur LatisPro pendant une durée correspondant à environ 5τ on peut ensuite tracerlnuC(t)en fonction de t et ainsi modéliser notre résultat par une droite. On peut ainsi conclure sur la validité de notre modèle qui suppose que pour un système du 1er ordre la tension s’écrit comme une exponentielle décroissante.
On effectue une analyse fréquentielle d’une grandeur en utilisant l’analyse de Fourier pour un signal que l’on cherche à mesurer et non fournie par un GBF (cf. Rapport du Jury (1999)).
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2.2 Analyse fréquentielle
2.2.1 Repliement de spectre ([1] p.48)
äExpérience [1] p.48 : A l’aide d’un diapason, d’un micro, d’un amplificateur et de LatisPro on fait l’acquisition du son émis par le diapason (f = 512 Hz) en modifiant la fréquence d’échantillonnage. Dans la première expérience on choisit une période d’échan-tillonnage suffisante pour éviter le repliement de spectre lors de l’analyse de Fourier (figures de gauche). Puis dans une seconde expérience on choisit une période d’échan-tillonnage trop forte et on observe le repliement de spectre (figure de droite).
Fig. 24.2: Gauche : Acquisition sans repliement de spectre.Droite: avec repliement de spectre.
On peut vérifier que les pics se situent bien à 512 Hz pour celui de droite et à Fe−f = 1000−512 = 488Hz pour celui de gauche.
Remarques : En général, pour éviter les repliements de spectre, on utilise un filtre passe-bas avant le CAN avec une fréquence de coupure ajusté aux fréquences que l’on désire éliminer.
On va montrer que la durée d’acquisition, qui pour l’instant ne nous intéressait pas vraiment, joue un rôle capital dans l’analyse de Fourier.
2.2.2 Résolution de la TF ([1] 3.2 p.49)
ä Expérience [1] 3.2 p.49 : On fait une acquisition du signal sonore émis par deux diapasons de fréquence égale mais dont l’un possède une bague (f1 . 512 Hz et
f2 = 512Hz). On excite quasiment simultanément les deux diapasons et on joue sur le temps total d’acquisition du signal. Tester au préalable l’amplitude du signal pour choisir le bon calibre sur la carte d’acquisition.
Fig. 24.3:Gauche : Acquisition avec unTacq suffisant.Droite: Acquisition avec un Tacq trop faible.
On fait une mesure de la fréquence des deux pics : f1= 509.8Hz; f2= 512.2Hz
Puis on mesure le plus petit écart entre deux points sur le spectre et on compare au Tacq :
Gauche :
∆fminexp = 0.1Hz;
∆fminatt = 1
Tacq = 0.1Hz
; Droite :
∆fminexp = 20.4Hz;
∆fminatt = 1
Tacq = 20Hz Remarques :
1. On voit que si l’on veut résoudre deux fréquences séparés de ∆f, il faut ajuster Tacq = 1
∆fmin pour pouvoir les observer, il faut au moins Tacq > 1
∆f mais cette condition ne sera pas suffisante (cf. Critère de Rayleighen optique).
2. D’après la relation (24.1), on voit que l’on a également∆fmin= 1 Tacq
= Fe
N. Pour un même nombre de points, plus la fréquence d’échantillonnage est grande plus la
résolution de la TF l’est également. Il va donc falloir trouver un compromis entre une bonne résolution pour la TF et le respect du critère de Shannon.
On va maintenant effectuer un traitement du signal physique, de manière à l’extraire du bruit dans lequel il se trouve.
3 Traitement non-linéaire d’un signal : Détection syn-chrone ([1] p.219)
äExpérience [1] p.219 : A l’heure actuelle cette manip n’est pas encore montée.
Mais on aimerait bien monter une expérience permettant d’extraire le signal lumineux continu issu d’une lampe à incandescence du bruit parasite dans lequel il se trouve (néons, lumière du jour,...). Lorsqu’on fait l’acquisition de ce signal directement à l’aide d’une photodiode situé à 1 mètre, on observe dans son spectre des fréquences parasites à 100 Hz, 200 Hz, et un bruit dû à l’alimentation continue.
Nous on ne cherche à récupérer que la composante continue du signal issu de la lampe et on voit sur le graphique de droite que l’on a du bruit parasite à 100,200 Hz et égale-ment du bruit dû à l’aliégale-mentation continu de la lampe. Le minimum du bruit se situe au alentours de 45 Hz.
En modulant mécaniquement (grâce à un hacheur optique) le signal à la fréquence qui présente le moins de bruit (45 Hz), on peut l’extraire de ce bruit en utilisant le principe de la détection synchrone exposé ci-après.
La démodulation synchrone (ou détection synchrone) est une technique utilisée en instrumentation pour améliorer le rapport signal/bruit ; elle est en particulier utilisée dans les spectrophotomètres.
Supposons que nous souhaitions mesurer l’amplitude Ax d’un signal sinusoïdal (le
Supposons que nous souhaitions mesurer l’amplitude Ax d’un signal sinusoïdal (le