II.3 Caractérisation de l’endommagement
II.3.1. a Principe
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Figure II.14: a) Vue simplifiée de la pièce d’adaptation permettant la sollicitation en fatigue d’éprouvettes à géométrie complexe - b) Montage complet en condition de chargement pour une éprouvette de fatigue de type tube/collecteur.
II.3 Caractérisation de l’endommagement
Comme expliqué dans le chapitre I.4.2, le chargement en service des échangeurs thermiques induit une localisation de l’endommagement au niveau des pieds de tubes. Dans ce type de configuration, une fissure est considérée comme néfaste dès lors qu’elle induit une fuite du liquide de refroidissement. La rupture complète d’un tube n’est donc pas le paramètre limitant. La figure II.10 illustre la présence d’une telle fissure à l’issue d’un essai de fatigue sur éprouvette. Celle-ci est d’ores et déjà traversante dans l’épaisseur alors qu’elle ne mesure que 1,3 mm dans la largeur15. Du fait des faibles épaisseurs mises en jeu, la prédiction des zones d’amorçage des fissures de fatigue semble donc être un paramètre majeur qu’il convient de maîtriser dans ce type d’étude. Toutefois, les surfaces induites par le procédé de brasage n’étant pas parfaitement plane, un suivi optique classique de l’endommagement [43] n’a pu être mis en place. Le choix s’est dès lors reporté sur la corrélation d’images numériques.
II.3.1 Corrélation d’images numériques
II.3.1.a Principe
La corrélation d’images numériques a pour objectif premier la détermination d’un champ de déplacement conduisant à la déformation de la surface d’un matériau entre deux instants donnés. Basée sur l’application du traitement de signaux bidimensionnels, le champ de déplacement plan est obtenu par intercorrélation d’une image de référence avec une image dite déformée [67]. Cette
Chapitre II. Techniques Expérimentales
technique, aujourd’hui couramment utilisée [68], s’appuie sur le principe de conservation du flot optique (relation II.3), où f(x) et g(x) sont deux signaux représentatifs respectivement de l’image de référence et de l’image déformée.
g(x) = f (x− u(x)) + b(x). (II.3)
Dans cette relation, u(x) correspond au champ de déplacement inconnu reliant les fonctions
f(x) et g(x), et b(x) à un bruit aléatoire induit par l’acquisition de l’image16. Le problème consiste à déterminer u(x) à partir de la seule connaissance de f et de g. Ce problème est mal posé tant
qu’on ne fait pas d’hypothèses supplémentaires quant à la régularité du champ recherché [70]. En effet, le déplacement est ici défini comme un vecteur alors que f et g sont des fonctions scalaires. A noter que dans le cas d’images numériques, les deux signaux f et g correspondent à des intensités de niveaux de gris généralement numérisées par une caméra CCD. Pour pallier à ce problème de dimension, on définit la fonctionnelle d’un champ de déplacement test v(x). La détermination du champ de déplacement se fait alors par la méthode de minimisation de la différence quadratique (relation II.4) ; la norme quadratique habituellement choisie est alors ||f||2 = Ω|f(x)| 2. [v(x)] = Ω[g(x)− f(x − v(x))]2dx (II.4) Cette fonctionnelle atteint en effet sa valeur minimale, 0, lorsque v(x) = u(x) (cf. équation
II.3). Ce problème de minimisation se ramène alors à maximiser la quantité h(v) par rapport à
v :
h(v) = (g∗ f)(v) =
[g(x)f (x− v(x))]dx (II.5) Le symbole * représente le produit d’intercorrélation des fonctions.
La figure II.15 illustre ce principe dans le cas de deux fonctions unidimensionnelles continues, avec u le décalage entre les deux fonctions et d le déplacement test. La quantité h(d), définie par la fonction de corrélation (g*f)(d) est bien maximale lorsque d = u.
La maximisation de la fonction d’intercorrélation est l’approche la plus couramment utilisée dans la détermination d’un champ de déplacement constant. Pour ce faire, le passage dans le domaine des Transformées de Fourier Rapide (TFR)17 peut être utilisé. Plusieurs étapes de calcul sont alors nécessaires pour une détermination fine des champs de déplacement [70]. Dans cette approche, les images sont dans un premier temps discrétisées sous forme de petites imagettes, aussi appelées Zone d’Etude (ZE) (figure II.16). La totalité des ZE forme la Région d’Etude (RE), région extraite de l’image de référence. Le principe de l’approche en question revient à appareiller les ZE de chacune des images.
Dans le cadre de notre étude, à l’image des travaux de Réthoré et al. [72], le choix a été fait de considérer directement la minimisation de la fonctionnelle pour des champs de déplacements arbitraires, où la différence g(x) - f(x - v(x)) est alors utilisée comme un indicateur de l’erreur locale de calcul. Toutefois, la texture des images analysées étant aléatoire18 et 16. Ce bruit peut le plus souvent être négligé du fait d’une amplitude faible devant les signaux f et g [69]. Il s’agit du bruit de numérisation, des caméras CCD utilisées,...
17. Algorithme décrit par Cooley et Tuckey [71].
Chapitre II. Techniques Expérimentales
Figure II.15: Intercorrélation de deux fonctions semblables décalées l’une par rapport à l’autre d’une valeur u [70].
Image RE
ZE
2
Q2
k2
Pδ
Figure II.16: Schéma de principe d’une Région d’Etude (RE) en corrélation d’images constituée de plusieurs Zones d’Etude (ZE) [67].
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irrégulière, il se peut qu’il existe une multitude de minima locaux de la fonctionnelle . Ce problème de minimisation est de plus fortement non-linéaire. La démarche adoptée pour pallier à ces problèmes est entièrement décrite dans les travaux de Réthoré et al. [72] et plus récemment dans une étude menée par Elguedj et al. [73] portant sur des essais de fatigue réalisés dans le cadre de cette thèse. Elle se base sur l’approche globale définie par Besnard et al. [74] qui utilise une méthode itérative de Newton pour contourner la non-linéarité du problème et déterminer le minimum de la fonctionnelle . Cette méthode est couplée à un algorithme dit "multigrid resolution" afin de s’affranchir des éventuels minima locaux (figure II.17). Contrairement à la méthode de corrélation d’images nécessitant l’utilisation de ZE, il convient dans cette approche de définir une Région d’Intérêt (ROI : Region Of Interest), équivalente de la RE, composée d’éléments finis rectangulaires identifiés par des noeuds (figure II.17), à l’image de ce qui peut-être fait en modélisation numérique. Chaque élément est constitué de "grains" quelle que soit l’échelle considérée. A l’échelle la plus fine (Grid 1 sur la figure II.17), un grain correspond au pixel de l’image de référence. La taille du grain est multipliée par un facteur 2 dans chaque direction au passage d’une échelle à une autre (1 grain = 2nx2n
pixels où n correspond au nombre d’échelles). Cette technique est très utile car elle permet une régularisation de la texture de l’image et offre la possibilité d’étudier des déplacements importants. En effet, du fait de l’équation II.4, la dimension des éléments joue un rôle essentiel dans l’amplitude des déplacements identifiables. Ces derniers doivent en effet être faibles dans le cas d’une approche standard, alors qu’une approche multi-échelles permet une amplitude de déplacements plus importante [67]. Dans le cadre de cette étude, au vu des déformations mises en jeu, la taille optimale d’élément a été définie à 16 grains avec des éléments cubiques [73].
Figure II.17: Représentation des étapes de maillage des grains à trois niveaux d’échelle différents [67].
L’originalité de l’approche adoptée dans le cadre de ces travaux réside dans l’utilisation de fonctions NURBS (Non-Uniform Rational B-Splines), habituellement utilisées dans la descrip-tion et la modélisadescrip-tion de courbes et surfaces en Concepdescrip-tion Assistée par Ordinateur (CAO). Une description précise de leurs fonctions et propriétés générales pour ce type d’applications est
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proposée par Piegl et al. [75] et Rogers [76]. Il s’agit de fonctions de base rationnelle possédant un important degré de continuité et obtenues à partir de fonctions de base B-Splinaire19. Cette propriété relative à leur continuité explique leur utilisation en corrélation d’images [73]. De telles fonctions ont déjà été utilisées dans le passé pour ce type d’application par Hughes et al. [77] et Cottrel et al. [78]. Leur principe de fonctionnement ainsi que les niveaux d’erreurs obtenus lors de mesures de champs de déformation avec de telles fonctions sont intégralement décrits dans les travaux de Elguedj et al.[73] relatifs à cette thèse et ne seront donc pas abordés plus en détail dans ce manuscrit. A noter toutefois l’utilisation d’une description Lagrangienne des déformations.