Équations et systèmes de réaction-diffusion en milieux hétérogènes et applications

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Équations et systèmes de réaction-diffusion en milieux

hétérogènes et applications

Romain Ducasse

To cite this version:

Romain Ducasse. Équations et systèmes de réaction-diffusion en milieux hétérogènes et applications. Equations aux dérivées partielles [math.AP]. Université Paris sciences et lettres, 2018. Français. �NNT : 2018PSLEE054�. �tel-02441363�

TH `

ESE DE DOCTORAT

de l’Universit ´e de recherche Paris Sciences et Lettres

PSL Research University

Pr ´epar ´ee `a l’ ´

Ecole Normale Sup ´erieure de Paris

Reaction-diffusion equations and systems in heterogeneous media

and applications

´

Equations et syst `emes de r ´eaction-diffusion en milieux

h ´et ´erog `enes et applications

´

Ecole doctorale n

o

386

´

ECOLE DOCTORALE SCIENCES MATH ´EMATIQUES DE PARIS CENTRE

Sp ´ecialit ´e

MATH ´EMATIQUES

Soutenue par

Romain DUCASSE

le 25 Juin 2018

Dirig ´ee par

Henri BERESTYCKI

COMPOSITION DU JURY :

M Henri Berestycki

EHESS, Directeur de th `ese Mme Isabeau Birindelli

Universit `a di Roma La Sapienza, Membre du jury Mme Isabelle Gallagher

´

Ecole Normale Sup ´erieure, Pr ´esidente du jury M Franc¸ois Hamel

Universit ´e d’Aix-Marseille, Membre du jury M Hiroshi Matano

Meiji University, Rapporteur M Jean-Michel Roquejoffre

Universit ´e Toulouse III, Membre du jury M Luca Rossi

EHESS, Membre du jury M Enrico Valdinoci

Si tu vas devant toi pour aller devant toi,

C’est bien ; l’homme se meut, et c’est l`a son emploi ; C’est en errant ainsi, c’est en jetant la sonde

Qu’Euler trouve une loi, que Colomb trouve un monde. Victor Hugo, La L´egende des si`ecles

Remerciements

Quando ero bambino mi accorsi che non avevo la linea della fortuna sulla mano e allora presi il rasoio di mio padre e zac... Me ne feci una come volevo.

Hugo Pratt, Corto Maltese, Una ballata del mare salato

Mes premiers remerciements sont adress´es `a mon directeur de th`ese, Henri Berestycki. Il m’a propos´e des sujets de recherches qui m’ont passionn´e, et je l’en remercie de tout coeur. De plus, sa motivation et sa gentillesse ont fait des ces trois ans une exp´erience particuli`erement heureuse.

Je remercie aussi Luca Rossi, pour tout le temps qu’il m’a accord´e, pour tout ce qu’il m’a appris, et pour sa patience et sa bienveillance. Travailler avec toi est un plaisir. Tu as ´et´e pr´esent tout du long de cette th`ese, je t’en remercie.

Enrico Valdinoci and Hiroshi Matano agreed to report on this thesis, it is a great honor for me. They took some of their precious time to read this document, I deeply thank them for that and for their very nice comments. Isabeau Birindelli, Isabelle Gallagher, Francois Hamel, Jean-Michel Roquejoffre et Luca Rossi ont accept´e de faire partie de mon jury, c’est un immense honneur, je les en remercie sinc`erement. J’ai eu la chance de b´en´eficier de l’ERC ReaDi et de l’ANR NonLocal durant ma th`ese, je remercie leurs coordinateurs, Henri Berestycki et Francois Hamel. Les ´echanges avec les membres de ces deux projets furent passionnants et motivants. Merci `

a Guillemette Chapuisat, J´erˆome Coville, Gregory Faye, Jimmy Garnier, Thomas Giletti, Gr´egoire Nadin, Jean-Michel Roquejoffre et Violaine Roussier-Michon. Je souhaite aussi remercier mon directeur de stage de L3, Pierre Degond, ainsi que mon directeur de stage de M2, Xavier Cabr´e, pour m’avoir mis le pied `a l’´etrier. Cette th`ese a ´et´e effectu´ee au CAMS, `a l’EHESS. Y travailler ´etait un plaisir, et je souhaite remercier tous ceux qui ont contribu´e `a rendre l’ambiance du laboratoire agr´eable et stimulante. Je remercie d’abord le directeur du CAMS, Jean-Pierre Nadal, pour sa gestion et son animation de la vie scientifique du laboratoire. Merci aussi aux chercheurs que j’ai eu la chance de cˆotoyer, en particulier `a Laurent Bonnasse-Gahot. Je remercie aussi notre ´equipe administrative : Francesca Aceto, Nathalie Brusseaux et Sandrine Nadal, pour leur efficacit´e et leur gentillesse. Un grand merci `a tous les doctorants et postdoctorants que j’ai pu cˆotoyer : Elisa Affili, Federico Bertoni, Juliette Bouhours, Fran¸cois Deloche, Jian Fang, Gregory Faye, Benedetta Frans-eschiello, Charles Ladmiral, Emanuela Migliaccio, Noemi Montobbio, Jos´e Moran, Samuel Nordmann et Gabrielle Saller Nornberg. Je tiens `a remercier particuli`erement Antoine Pauthier, Andrea Tellini et Alessandro Zilio, pour tous les conseils qu’ils m’ont prodigu´es, pour les discussions passionnantes et pour tous les bons moments pass´es ensemble. J’adresse une pens´ee sp´eciale `a Thomas Tailpied, qui a su faire

r´esonner dans les couloirs du CAMS sa bonne humeur (et sa musique).

J’ai eu la chance d’effectuer une mission d’enseignement `a l’universit´e Dauphine. Je remercie les professeurs responsables des cours pour lesquels j’ai donn´e des TD : Anne-Marie Boussion, Pierre Cardaliaguet, Olga Mula et Jos´e Trashorras.

Enfin, j’ai eu la chance de rencontrer aux fils de mes p´er´egrinations math´ematiques plusieurs personnes auxquelles j’adresse ici une pens´ee : Isabelle Tristani, Ariane Trescases, Emeric Bouin, et tous les th´esards de l’ENS que j’ai pu cˆotoyer.

Merci `a Mireille, Joseph, Estelle, M´elanie et Florian, pour m’avoir accueilli dans la famille.

Il y a une vie en dehors de la th`ese (quoique j’ai pu en douter lors de la r´edaction !), et je veux exprimer ma gratitude envers mes amis de longue date, les “Cachanais” Alain, Benjamin, Claire, Lia, Ludo, Lillian et Pierre, et les “Barthouziens” (10 ans d´ej`a !) Andre¨ı, Benoˆıt, Benji, J´erˆome, Julien, Nathan, Phiu et Polina.

Je souhaite consacrer quelques lignes `a remercier ma famille. J’ai eu la chance d’avoir des parents qui m’ont transmis une curiosit´e sans bornes, qui m’ont invariablement encourag´e et toujours soutenu dans mes choix, je les en remercie du fond du coeur. Si j’en suis l`a aujourd’hui, c’est ´evidemment grˆace `a vous. Merci Mamie Annie, Andr´e, Mamette et Papet, qui m’a transmis le goˆut des sciences. Je remercie mes petits cousins, qui ne sont plus trop petits : Morgane, Guilhem et Alix, mes cousins Bre-tons, qui ne sont plus trop Bretons: Killian, Victor et Louise, et mes cousins Landais, qui sont encore Landais : ´Elodie, Marjorie, Ga¨elle, Coralie, Guillaume et ´Emeline. Merci `a mes oncles et tantes, les B´earnais Anna, Gilles, Marc, Pierre-Yves, Cathy, tonton Jean, et les Landais Philippe, Cathy, Christine et Christian. Merci aussi `a Francine et Bernard, qui m’ont h´eberg´e quand je suis “mont´e `a Paris” pour passer les oraux.

Contents

I

Introduction

13

1 Equations de r´´ eaction-diffusion et mod´elisation 15

1.1 Introduction aux ´equations de r´eaction-diffusion . . . 15

1.2 Mod´elisation et ´equations de r´eaction-diffusion . . . 20

2 Objet de la th`ese 23 2.1 Probl`emes ´etudi´es . . . 23

2.2 Contexte de la th`ese : ´equations de r´eaction-diffusion . . . 27

2.2.1 Equations de r´´ eaction-diffusion homog`enes . . . 27

2.2.2 Equations de r´´ eaction-diffusion en milieu p´eriodique . . . 31

2.3 Partie 1. ´Equations de r´eaction-diffusion dans des domaines p´eriodiques 33 2.3.1 Etat de l’art . . . .´ 33

2.3.2 Nos r´esultats sur les ´equations de r´eaction-diffusion en milieu p´eriodique . . . 34

2.3.3 Perspectives . . . 36

2.4 Partie 2. Les mod`eles champ-route . . . 37

2.4.1 Etat de l’art . . . .´ 37

2.4.2 Nos r´esultats sur les mod`eles d’invasions en pr´esence de lignes de diffusion rapide . . . 39

2.4.3 Perspectives . . . 41

II

Reaction-diffusion equations in periodic media

43

3 Propagation in periodic domains 45 3.1 Introduction and results . . . 46

3.1.1 Introduction . . . 46

3.1.2 Pulsating traveling fronts . . . 48

3.1.3 The speed of invasion . . . 49

3.1.4 Statement of the main results . . . 51

3.2 Freidlin-Gartner formula for a periodic domain . . . 53

3.2.1 Preliminary results . . . 54

3.3 Invasion and the critical speed of fronts . . . 59

3.3.1 Comparison between w and c? _{. . . . 59}

3.3.2 Invasion in domains that are invariant in one direction . . . . 60

3.3.3 Geodesic estimates . . . 62

3.3.4 Domains where c? _{6≡ w . . . . 65}

3.4 Symmetries of the domain and relation with c? and w . . . 69

4 Blocking and invasion in periodic media 77 4.1 Introduction . . . 78

4.1.1 Large time behavior for the Cauchy problem . . . 78

4.1.2 Statement of the main results . . . 80

4.2 Persistence . . . 87

4.3 Invasion . . . 93

4.3.1 Proofs of Theorems 4.1.3 and 4.1.5 . . . 93

4.3.2 Applications of the invasion result . . . 97

4.4 Estimates on the spreading speed . . . 98

4.5 Invasion and blocking in domains with periodic obstacles . . . 101

4.5.1 Invasion . . . 101

4.5.2 Blocking . . . 104

4.6 Oriented invasion . . . 106

4.6.1 Oriented invasion in a periodic cylinder . . . 106

4.6.2 Oriented invasion in a periodic domain . . . 111

4.7 A simulation . . . 119

III

Reaction-diffusion systems and lines with fast

diffu-sion

121

5 Conical road-field model 123 5.1 Introduction, known results and presentation of the model . . . 124

5.1.1 Field-road models . . . 124

5.1.2 Models with general fields and main results . . . 125

5.2 Preliminary results . . . 128

5.2.1 Existence and mass conservation . . . 128

5.2.2 Comparison principles . . . 129

5.3 Liouville-type result for general fields and invasion . . . 132

5.3.1 Liouville-type result . . . 132

5.3.2 Invasion . . . 135

5.4 Exactly conical fields . . . 136

5.4.1 Remarks on supersolutions . . . 136

5.4.2 Case D ≤ 2d . . . 138

5.4.3 Case D > 2d. Supersolutions and upper bound for the speed in all directions . . . 141

5.4.4 Subsolutions and lower bound on the speed . . . 144

5.4.5 Spreading speed along the road . . . 145

5.5.1 Supersolutions . . . 148

5.5.2 Subsolutions and conclusion . . . 150

5.6 A simulation . . . 155

6 Generalized principal eigenvalue 157 6.1 Introduction . . . 158

6.1.1 The road-field model . . . 158

6.1.2 Our results . . . 160

6.2 Generalized principal eigenvalue . . . 163

6.2.1 Principal eigenvalue on bounded domains . . . 163

6.2.2 Convergence of λR₁ to λ1 . . . 167

6.3 Harnack inequality and applications . . . 170

6.3.1 The Harnack inequality . . . 170

6.3.2 Applications: continuity and monotonicity of the generalized principal eigenvalue . . . 175

6.4 The evolution problem . . . 178

6.4.1 Long-time behavior of the semilinear problem (1.3) . . . 178

6.4.2 A Liouville-type result . . . 179

6.4.3 A criterion for existence, persistence and extinction . . . 183

6.5 Appendix . . . 185

6.5.1 The eigenproblem (2.9) . . . 185

7 Line with fast diffusion and ecological niche 189 7.1 Introduction . . . 190

7.1.1 The model . . . 190

7.1.2 Related models and previous results . . . 193

7.1.3 Our results . . . 195

7.2 Generalized principal eigenvalue and long time behavior . . . 198

7.3 Influence of a road on an ecological niche . . . 201

7.3.1 Deleterious effect of the road on the ecological niche . . . 201

7.3.2 Influence of the diffusions D and d . . . 205

7.4 Influence of a road on a population facing climate change . . . 209

7.4.1 Influence of the speed c . . . 209

7.4.2 The road can help a population to face climate change . . . . 213

7.5 Simulations . . . 216

7.6 Conclusion . . . 217

Avant-propos

Les sujets abord´es dans cette th`ese s’inscrivent dans l’´etude des ´equations aux d´eriv´ees partielles (EDP). Plus pr´ecis´ement, nous ´etudions ici les ´equations, et syst`emes d’´equations, de r´eaction-diffusion. Cette th`ese est compos´ee de deux par-ties, la premi`ere s’int´eresse `a des propri´et´es fondamentales des ´equations de r´ eaction-diffusion, la seconde partie est d´edi´ee `a l’´etude de mod`eles, motiv´es par des questions biologiques.

Partie 1. ´

Equations de r´

eaction-diffusion en milieu p´

eriodique

Les ´equations de r´eaction-diffusion interviennent dans la mod´elisation de nombreux ph´enom`enes observ´es en physique, chimie, biologie, sciences sociales... Dans la ma-jorit´e des cas, ces ph´enom`enes font intervenir des h´et´erog´en´eit´es. Le but de cette premi`ere partie est d’´etudier des propri´et´es fondamentales des ´equations de r´ eaction-diffusion dans des milieux h´et´erog`enes p´eriodiques. L’hypoth`ese de p´eriodicit´e se jus-tifie ici de deux fa¸cons : du point de vue des applications, des milieux p´eriodiques, ou tout du moins approximativement p´eriodiques, apparaissent assez naturellement. En physique, on peut penser aux r´eseaux cristallins, aux mat´eriaux `a fibres ou com-posites... En biologie, on voit apparaˆıtre des motifs (approximativement) p´eriodiques dans de nombreuses situations : arbres dans une forˆet, environnements fractionn´es... Les milieux p´eriodiques peuvent ´egalement constituer une approximation de milieux h´et´erog`enes plus complexes. Du point de vue th´eorique, l’hypoth`ese p´eriodique est int´eressante car elle fournit une structure aux ´equations.

Nous nous int´eresserons en particulier `a l’influence de la g´eom´etrie du domaine sur les ´equations de r´eaction-diffusion.

Partie 2. Ph´

enom`

enes de propagations en pr´

esence de lignes

de diffusion rapide

La seconde partie de cette th`ese porte sur des mod`eles, issus de la dynamique des populations, destin´es `a d´ecrire des ph´enom`enes d’invasions biologiques en pr´esence de lignes de diffusion rapide. Une ligne de diffusion rapide est une zone de l’espace o`u une esp`ece peut se propager de mani`ere anormalement rapide. On a observ´e que le moustique-tigre colonisait plus rapidement des zones situ´ees le long des axes routiers : cela peut ˆetre dˆu au fait qu’un nombre non n´egligeable de moustiques-tigres sont accidentellement pi´eg´es par des automobilistes dans l’habitacle des voitures et transport´es tr`es rapidement sur la route. D’autres esp`eces semblent b´en´eficier de ph´enom`enes similaires.

Nous nous int´eresserons `a deux mod`eles d´ecrivant la dynamique d’esp`eces en pr´esence de lignes de diffusion rapide.

Travaux rassembl´

es dans ce manuscrit

Les r´esultats pr´esent´es par la suite font l’objet des publications suivantes : le Chapitre 3 est l’article [43], actuellement soumis. Le Chapitre 4 est le fruit de la collaboration

[45] avec Luca Rossi, et est actuellement soumis. Le Chapitre 5 contient le papier publi´e [44]. Les Chapitres 6 et 7 font l’objet (sous une forme un peu plus g´en´erale) d’un article chacun, [8] et [9], ´ecrits en collaboration avec Henri Berestycki et Luca Rossi, ils sont actuellement soumis.

Premi`

ere partie

Introduction

Chapitre

1

´

Equations de r´eaction-diffusion et

mod´elisation

This grass is more beautiful to me now that I know why it is grass, and all the hidden chemistry of sun and rain and earth that makes it become grass. Why, there is romance in the life-history of any grass, yes, and adventure, too. The very thought of it stirs me. When I think of the play of force and matter, and all the tremendous struggle of it, I feel as if I could write an epic on the grass. Jack London, Martin Eden

Contents

1.1 Introduction aux ´equations de r´eaction-diffusion . . . 15 1.2 Mod´elisation et ´equations de r´eaction-diffusion . . . 20

1.1

Introduction aux ´

equations de r´

eaction-diffusion

Nous pr´esentons ici un rappel historique succinct, ainsi que des explications sur ce que repr´esentent les ´equations de r´eaction-diffusion. Ainsi, nous esp´erons donner une in-tuition qui sera utile dans le reste de la th`ese, pour appr´ehender les r´esultats pr´esent´es.

De la dynamique des populations aux ´

equations de r´

eaction-diffusion

Dans son Liber Abaci [52], en 1202, Leonardo Fibonacci propose un mod`ele d´ecrivant la croissance d’une population de lapins. Sous l’hypoth`ese que chaque couple de lapins engendre chaque mois un nouveau couple `a partir du troisi`eme mois de son existence, la croissance de la population est g´eom´etrique. Un mod`ele similaire fˆut propos´e par Thomas Malthus, en 1826 dans son Essay on the principle of population. Il suppose que la croissance de la population est proportionnelle `a sa taille, autrement dit, le taux de reproduction a > 0 est constant. Si l’on consid`ere le ph´enom`ene comme se

d´eroulant de fa¸con continue en temps, et si on d´enote u(t) la taille de la population au temps t ≥ 0, alors le mod`ele de Malthus s’´ecrit

d

dtu(t) = au(t), t ≥ 0.

Les solutions de ce syst`emes sont des exponentielles. En particulier, ce mod`ele, comme celui de Fibonacci, pr´evoit que la population croˆıt ind´efiniment, de fa¸con exponen-tielle. De nombreuses observations et th´eories soulignent les limites de ce mod`ele, dont un d´efaut principal est de ne pas tenir compte d’effets de saturation.

Peu de temps apr`es, inspir´e par le mod`ele de Malthus, Pierre Fran¸cois Verhulst propose, en 1840, un nouveau mod`ele. Il fait l’hypoth`ese que le taux de natalit´e et le taux de mortalit´e de la population sont des fonctions affines de la taille de la population. En temps continu, ceci conduit `a l’´equation suivante, appel´ee ´equation logistique : d dtu(t) = au(t)  1 − u(t) K  , t > 0. (1.1)

Ici, u(t) est la taille de la population au temps t > 0, la constante a > 0 est le taux de reproduction et K > 0 est la capacit´e porteuse (ou capacit´e biotique) de l’environnement. Il s’agit de la taille maximale de population que l’environnement peut supporter, asymptotiquement. En effet, si `a un temps t ≥ 0 la taille de la population est sup´erieure `a K, alors _dtdu(t) est n´egative, et la population diminue. Inversement, si la taille de la population est `a un certain temps inf´erieure `a K, alors

d

dtu(t) est positive, et la population augmente. Le terme de droite de (1.1) est la reproduction, ou r´eaction, qui repr´esente la variation instantan´ee de la population.

Le mod`ele de Verhulst pr´esente un effet de saturation, `a l’inverse du mod`ele de Malthus. Pour plus de d´etails sur les mod`eles de Malthus, Verhulst, et bien d’autres, on se r´ef`erera `a [77].

Cependant, une limitation du mod`ele de Verhulst est qu’il ne tient pas compte de la r´epartition des individus, et n´eglige les effets de migrations, de d´eplacements, de concentrations...

En 1937, Ronald Fisher proposa dans son papier The wave of advance of advanta-geous genes [53] un mod`ele d´ecrivant la propagation dans une population d’un g`ene favorable prenant en compte la r´epartition des individus : les individus sont suppos´es vivre, se d´_{eplacer et se reproduire sur un domaine de l’espace R}N<sub>. Dans le mod`ele de</sub> Fisher, on consid`ere le cas N = 1 (la population vit sur un domaine unidimensionnel) et u(t, x) repr´esente la proportion (c’est donc une quantit´e entre 0 et 1) d’individus poss´edant un certain g`ene favorable, ces individus ´etant situ´<sub>es au point x ∈ R. En</sub> plus de faire l’hypoth`ese que les individus se reproduisent comme dans le mod`ele de Verhulst (1.1) (et transmettent le g`ene `a leur descendants), on suppose qu’ils peuvent se d´eplacer. Si la proportion d’individus poss´edant le g`ene au temps initial est donn´ee par u0(x) (la donn´ee initiale), alors u(t, x) est solution de l’´equation suivante

∂tu = d∂x2u + au  1 − u K  , _{t > 0, x ∈ R,} (1.2) avec donn´ee initiale u0. Ici, c’est l’op´erateur ∂_x2 (qui correspond au Laplacien ∆ en dimension 1) qui repr´esente les mouvements des individus, nous discuterons de cela

dans la partie suivante. Pour l’instant, mentionnons que d > 0 est la diffusivit´e, elle repr´esente l’intensit´e des mouvements des individus, la diffusion. Si d = 0, la diffusion disparaˆıt, les individus ne bougent pas, et on retrouve le mod`ele de Verhulst (avec un param`etre x) avec r´eaction seule.

Il a ´et´e montr´e, par Kolmogorov, Petrovski et Piskunov [70], ´egalement en 1937, que u(t, x) converge vers l’´etat stationnaire constant 1 (du moins si u0 ≥ 0 n’est pas nulle) quand t tend vers l’infini. Ceci signifie que le g`ene favorable tend `a ˆetre pr´esent dans toute la population, ce qui est coh´erent avec l’intuition. Nous mentionnons que l’´equation (1.2) porte aujourd’hui le nom d’´equation de Fisher-Kolmogorov-Petrovski-Piskunov, ou Fisher-KPP.

Mouvement des individus et diffusion

Expliquons maintenant pourquoi l’op´erateur du second ordre ∂2

x introduit par Fisher dans l’´equation (1.2) repr´esente bien le mouvement des individus, et en quel sens.

On peut proposer d’abord une explication “physique”. En effet, en 1855, Adolf Fick, pour d´ecrire la diffusion de la mati`ere, ´etablit la loi de Fick, qui stipule que le flux de mati`ere est n´egativement colin´eaire `a la concentration de mati`ere lors d’un ph´enom`ene de diffusion. Autrement dit, de la mati`ere qui serait soumise `a la loi de Fick tend `a migrer des zones de fortes concentrations aux zones de faibles concentrations.

Soit u une quantit´e, par exemple, une concentration de mati`ere si l’on est dans le cadre de la physique, ou une densit´e de population si l’on est dans le cadre de la dynamique des populations. Notons J le flux de cette quantit´e, flux de mati`ere ou de population. Supposons que la loi de Fick est v´erifi´ee, alors

J = −d∇u,

o`u d > 0 est une constante d´ependant des caract´eristiques physiques du milieu, ou de la motilit´e des individus. Si l’on ´ecrit l’´equation de conservation pour la quantit´e u, l’on obtient

∂tu + ∇ · J = 0, et, en utilisant la loi de Fick,

∂tu − d∆u = 0,

autrement dit, l’´evolution de la quantit´e u `a l’´echelle “macroscopique” est donn´ee par l’´equation de la chaleur.

Apr`es que Fick eˆut d´eriv´e empiriquement cette loi, Albert Einstein [48] d´emontra que cette loi pouvait d´ecouler d’un mod`ele de mouvement Brownien, apr`es un chan-gement d’´echelle. Autrement dit, `a l’´echelle “microscopique”, si des particules ou des individus se d´eplacent al´eatoirement selon un mouvement Brownien, alors, `a l’´echelle “macroscopique”, la densit´e de mati`ere ou de population est solution de l’´equation de la chaleur. Des trajectoires de mouvement Browniens sont repr´esent´ees dans la Figure 1.1.

Ainsi, l’´equation de Fisher-KPP (1.2) peut ˆetre vue comme r´esultant des mou-vement al´eatoires des individus, ainsi que de la possibilit´e pour les individus de se reproduire.

Une autre fa¸con, plus math´ematique, d’appr´ehender la pr´esence du terme ∂2 x dans (1.2) comme permettant de tenir compte du mouvement des individus, est la suivante. Consid´erons un seul individu, dont la position au temps t est le point Xt _{∈ R}N. Si l’on suppose que cet individu se d´eplace de fa¸con al´eatoire selon un mouvement Brow-nien, l’´evolution de sa position serait sujette `a l’´equation diff´erentielle stochastique suivante :

dXt= dBt, (EDS)

o`u dBt est un mouvement Brownien. Notons u(t, x) := δXt(x) la mesure de Dirac

centr´ee au point Xt. A partir de maintenant, nous proc´edons `a des calculs formels, les rendre rigoureux sort du cadre de cette th`ese, notre but est simplement de donner une id´ee de la raison d’ˆetre du terme ∂_x2 dans (1.2). Soit φ une fonction test “suffisamment r´eguli`ere”, on a _ˆ

φ(x)u(t, x)dx = φ(Xt). En d´erivant par rapport `a t cette ´equation, on obtient :

ˆ

φ(x)∂tu(t, x) = d

dtφ(Xt). La formule d’It¯o, c.f. [87], nous dit que

d

dtφ(Xt) = ˆ

1

2∆φ(x)u(t, x)dt,

et, grˆace `a une int´egration par partie, on obtient, au moins formellement ∂tu =

1 2∆u.

On retrouve encore une fois l’´equation de la chaleur (`a normalisation pr`es) ; la diff´erence ici est que u doit ˆetre interpr´et´ee comme une probabilit´e de pr´esence, alors qu’il s’agissait avant d’une densit´e. Encore une fois, on voit que l’hypoth`ese que les individus se d´eplacent al´eatoirement selon un mouvement Brownien fait apparaitre un Laplacien dans l’´equation “macroscopique”.

Ce qui a ´et´e pr´esent´e avant peut aussi se g´en´eraliser au cas o`u les d´eplacements al´eatoires des individus ne sont pas homog`enes. Plus pr´ecis´ement, l’intensit´e de la diffusion selon les directions de l’espace peut d´ependre du point de l’espace. L’in-terpr´etation avec la loi de Fick ainsi que l’explication avec le mouvement Brownien peuvent se g´en´eraliser `a ce cas. Alors, u serait solution de l’´equation

∂tu = ∇ · (A(x)∇u), o`u la matrice A est la matrice de diffusion.

On pourrait se demander ce qu’il se passe si, dans l’´equation stochastique (EDS) au dessus, en plus de se d´eplacer de fa¸con al´eatoire, l’individu ´etait soumis `a une force (d´eterministe), comme un courant, par exemple. Dans ce cas, (EDS) deviendrait :

Figure 1.1 – Trajectoires de mouvement Browniens

et le mˆeme processus d’int´egration contre une fonction test nous permettrait de d´eriver que u(t, x) satisfait maintenant :

∂tu = 1

2∆u − ∇ · (− →_{µ (x)u).}

Ainsi, la pr´esence d’une force s’exer¸cant sur les individus au niveau microscopique se traduit au niveau macroscopique par l’apparition d’un terme du premier ordre, le drift.

Il serait l´egitime de se demander comment la situation change si nos individus, au lieu de se d´eplacer selon un mouvement Brownien (dont les trajectoires sont conti-nues), se d´epla¸caient selon un autre processus al´eatoire, par exemple, s’ils pouvaient faire des “sauts”. Ceci am`enerait `a consid´erer d’autres op´erateurs de diffusion, tels que le Laplacien fractionnaire par exemple ; l’´equation de Fisher pourrait devenir :

∂tu + (−∆)

s

2u = f (u), s ∈ (0, 2).

L’´etude de telles ´equations non-locales ne sera pas abord´ee dans cette th`ese. On pourra se r´ef´erer `a [98] pour une d´erivation de l’´equation non-locale, et `a [38] pour plus d’informations sur le sujet. Une ´etude de l’´equation de Fisher avec diffusion non-locale est men´ee dans [35].

Les effets de la r´

eaction et de la diffusion

Maintenant que nous avons expliqu´e ce que repr´esentent la r´eaction et la diffusion, nous expliquons bri`evement comment leurs effets se combinent.

Consid´erons l’´equation (1.2), avec a = K = 1 pour simplicit´e. Supposons que d = 0, autrement dit, les individus ne diffusent pas, ils sont uniquement soumis `a la r´eaction. Alors, l’´equation devient :

`

A chaque point x, nous avons une EDO (´equation diff´erentielle ordinaire). Supposons que nous compl´etons cette ´equation par une donn´ee initiale u0(x) born´ee. Alors, il est facile de voir que

u(t, ·) −→

t→+∞1{u0>0},

o`u {u0 > 0} est l’ensemble des point o`u u0 est strictement positive. On observe que la reaction seule fait converger la solution vers un ´equilibre non-trivial, et fait perdre de la r´egularit´e.

Consid´erons maintenant l’´equation (1.2) avec diffusion d > 0 mais sans r´eaction : f ≡ 0. Le probl`eme devient :

∂tu(t, x) − d∂x2u(t, x) = 0, t > 0, x ∈ R.

Il s’agit de l’´equation de la chaleur. Il est bien connu que, si la donn´ee initiale u0 est, par exemple, `a support compact et continue, alors la solution u(t, x) est “tr`es r´eguli`ere” et

u(t, ·) −→ t→+∞0.

Ainsi, la diffusion seule disperse la masse et augmente la r´egularit´e.

Il apparaˆıt donc que les processus de r´eaction et de diffusion sont antagonistes : quand la diffusion ´etale la masse, la r´eaction la fait croˆıtre ; quand la diffusion r´egularise, la r´eaction augmente la singularit´e... De ces effets contraires vient la dy-namique complexe et vari´ee des ´equations de r´eaction-diffusion.

1.2

Mod´

elisation et ´

equations de r´

eaction-diffusion

Pour conclure cette introduction aux ´equations de r´eaction-diffusion, nous pr´esentons des mod`eles provenant de divers domaines des sciences, o`u ces ´equations inter-viennent.

Comme nous l’avons vu ci-avant, les ´equations de r´eaction-diffusion interviennent en dynamique des populations. Nous avons d´ej`a mentionn´e les travaux de Fisher [53] sur la propagation des g`enes au sein d’une population. Nous pouvons ´egalement citer les travaux de Skellam [93], qui utilisa un mod`ele semblable `a celui de Fisher (1.2) pour ´etudier des invasions biologiques. Il parvient `a proposer des explications quantitatives de certaines observations concernant la propagation des rats-musqu´es en Europe au d´ebut du 20`eme si`ecle, ou la diss´emination du bouleau en Angleterre. Le mod`ele de Skellam consiste en l’´equation suivante :

∂tu = d∂x2u + αu,

o`u α > 0 est une constante. Autrement dit, le mod`ele de Skellam est une lin´earisation du mod`ele de Fisher. Comme nous le verrons par la suite, ces deux mod`eles sont en r´ealit´e tr`es li´es et beaucoup d’informations sur les ´equations de type KPP, dont fait partie l’´equation de Fisher (1.2), peuvent se d´eduirent de l’´etude de leur lin´earis´e autour de 0.

Depuis, les ´equations de r´eaction diffusion ont ´et´e largement utilis´e en dynamique des population, et il serait impossible de faire une liste exhaustive de ces travaux ici. Nous renvoyons le lecteur vers les ouvrages [81, 82], o`u de nombreux exemples d’application des ´equations de r´eaction-diffusion en dynamique des populations, et plus g´en´eralement en biologie, sont donn´es.

Toujours dans le domaine de la biologie, en 1951, Alan Turing pr´esenta dans son papier The chemical basis of morphogenesis [97] un mod`ele d´ecrivant un ph´enom`ene de morphog´en`ese, dans le but de comprendre comment des formes, des “patterns”, peuvent apparaˆıtre dans la nature. Le mod`ele de Turing consiste `a d´ecrire la dyna-mique de deux r´eactifs chimiques, l’un ´etant inhibiteur, l’autre activateur, pouvant se propager par diffusion. Ce mod`ele fait apparaˆıtre plusieurs types de motifs (Turing en identifia six).

Ce mod`ele permet de rendre compte de fa¸con simple de l’apparition et de la diversit´e des formes vivantes dans la nature : motifs sur les pelages des l´eopards (c.f. Figure 1.2), des z`ebres, d´eveloppement de l’embryon,...

(a) L´eopard (b) Structures de Turing

Figure 1.2

Les ´equations de r´eaction-diffusion interviennent ´egalement en physique, en th´eorie de la combustion, pour d´ecrire la propagation des flammes pr´em´elang´ees. En effet, les ´equations d´ecrivant l’´ecoulement d’un m´elange gazeux r´eactif peuvent se d´eduire de la th´eorie cin´etique des gaz, et consistent g´en´eralement en des syst`emes d’´equations de r´eaction non-lin´eaires compliqu´es `a ´etudier. Cependant, au prix de certaines hypoth`eses simplificatrices, ces syst`emes peuvent se ramener `a des syst`emes d’´equations de r´eaction-diffusion. L’exemple le plus simple est l’´equation suivante :

∂tT − ∆T = f (T ),

o`u T (t, x) est la temp´erature d’un m´elange au point x et au temps t. Dans les mod`eles consid´er´es, il est courant d’avoir f telle que

f (T ) = 0 pour T ∈ [0, θ], f (T ) > 0 pour T ∈ [θ, 1].

Ce type de nonlin´earit´e f est ainsi souvent dit de combustion. Le r´eel θ ∈ (0, 1) est ici la temp´erature d’ignition, au dessous de laquelle l’´equation ci-dessus est l’´equation

de la chaleur, et au dessus de laquelle on a une augmentation de la temp´erature due aux r´eactions de combustions. On se r´ef`erera `a [20] pour plus de d´etails sur ce sujet. Pour conclure cette section, mentionnons l’utilisation en sciences sociales de syst`emes d’´equations de r´eaction-diffusion. De tels mod`eles furent utilis´es pour d´ecrire la propagation de cultures humaine, c.f., [51]. Plus r´ecemment, des mod`eles de type r´eaction-diffusion ont ´et´e utilis´es pour mod´eliser la propagation d’´emeutes. A ce sujet, on pourra consulter [31, 24] et les r´ef´erences inclues.

Chapitre

2

Objet de la th`ese

J’ai rˆev´e que je battais Belgdor, le robot de l’espace, que je gagnais la coupe du monde de foot avec l’´equipe iranienne, et que je mettais une racl´ee `a Tiger Woods...

Manu Larcenet, Le combat ordinaire

Contents

2.1 Probl`emes ´etudi´es . . . 23 2.2 Contexte de la th`ese : ´equations de r´eaction-diffusion . 27 2.2.1 Equations de r´´ eaction-diffusion homog`enes . . . 27 2.2.2 Equations de r´´ eaction-diffusion en milieu p´eriodique . . . . 31 2.3 Partie 1. ´Equations de r´eaction-diffusion dans des

do-maines p´eriodiques . . . 33 2.3.1 Etat de l’art´ . . . 33 2.3.2 Nos r´esultats sur les ´equations de r´eaction-diffusion en

mi-lieu p´eriodique . . . 34 2.3.3 Perspectives . . . 36 2.4 Partie 2. Les mod`eles champ-route . . . 37 2.4.1 Etat de l’art´ . . . 37 2.4.2 Nos r´esultats sur les mod`eles d’invasions en pr´esence de

lignes de diffusion rapide . . . 39 2.4.3 Perspectives . . . 41

2.1

Probl`

emes ´

etudi´

es

Cette th`ese est d´edi´ee `a l’´etude des ´equations et des syst`emes d’´equations de r´ eaction-diffusion dans des milieux h´et´erog`enes. Elle est compos´ee de deux parties. La premi`ere est consacr´ee `a l’analyse des ´equations de r´eaction-diffusion dans des domaines p´eriodiques, on s’y s’int´eressera particuli`erement `a l’influence de la g´eom´etrie du

domaine sur le comportement des solutions. Dans la deuxi`eme partie, nous nous int´eresserons `a des mod`eles d´ecrivant des ph´enom`enes de propagations acc´el´er´ees par des lignes de diffusion rapide, d´ecrits par des syst`emes de r´eaction-diffusion h´et´erog`enes.

Equations de r´

eaction-diffusion en milieu p´

eriodique

Le probl`eme

Consid´erons le probl`eme parabolique semi-lin´eaire suivant : 

∂tu = ∇ · (A(x)∇u) + q(x) · ∇u + f (x, u), t > 0, x ∈ Ω,

ν · A(x)∇u = 0, t > 0, x ∈ ∂Ω, (1.1)

o`u les coefficients A, q, f et le domaine Ω sont p´eriodiques. Ici, ν d´esigne le champ de normales unitaires sortantes au bord de Ω. Un exemple de domaine p´eriodique est

RN\(B1

4 + Z

N_),

o`u B1

4 est la boule de centre 0 dans R

N _{de rayon} 1

4. Ce domaine est R

N _{avec des} obstacles r´ep´et´es p´eriodiquement.

Le comportement en temps long des solutions de (1.1) a ´et´e amplement ´etudi´e. Parmi les travaux fondateurs, on peut citer le papier de Kolmorogov, Petrovski et Piskunov en 1957 dans [70], et le papier de Aronson et Weinberger [2]. Ces deux travaux consid`erent le cas homog`ene. Dans le cas h´et´erog`ene, on peut citer les travaux de Berestycki, Hamel et Nadirashvili [14, 15] dans le cas o`u la nonlin´earit´e f est de type KPP et Ω n’est pas forc´_{ement R}N_{, et le papier de Rossi [89], o`u sont consid´er´ees} des nonlin´earit´es plus g´en´_{erales avec Ω = R}N.

En g´en´eral, la g´eom´etrie du domaine peut avoir des effets importants sur la propa-gation des solutions de (1.1) : par exemple, il a ´et´e observ´e par Berestycki, Hamel et Matano [12] que si Ω est un domaine ext´erieur (i.e., le compl´ementaire d’un compact) et si f est de type bistable, alors la propagation peut ˆetre bloqu´ee.

Nous ´etudierons comment les ph´enom`enes d’invasions, la propagation des fronts et la g´eom´etrie du domaine sont li´es. La recherche li´ee `a ce sujet a donn´e lieu `a deux papiers, [43] et [45], ce dernier ´etant le fruit d’une collaboration avec Luca Rossi. Motivations

Comme nous l’avons mentionn´e au Chapitre 1, l’´equation (1.1) permet de mod´eliser de nombreux ph´enom`enes en biologie (dynamique des populations), physique (combus-tion)... L’int´erˆet de consid´<sub>erer des domaines Ω qui ne sont pas R</sub>N permet de prendre en compte l’effet d’obstacles, qui apparaissent naturellement dans les mod`eles.

Un exemple important est la mod´elisation, en m´edecine, des d´epressions corticales envahissantes. Il s’agit d’ondes de d´epolarisation se propageant dans la mati`ere grise du cerveau lors d’une migraine avec aura, par exemple. L’hypoth`ese que la g´eom´etrie complexe du cerveau, c.f. Figure 2.1, pourrait bloquer la propagation de ces ondes a ´et´e ´emise. On se r´ef`erera `a [36, 37, 96] et aux r´ef´erences inclues pour plus de d´etails sur les ph´enom`enes biologiques impliqu´es et leurs mod´elisations.

Figure 2.1 – Cerveau humain

Berestycki, Bouhours et Chapuisat [4] ont ´etudi´e un mod`ele d´ecrivant la propa-gation des d´epressions corticales. Il consiste en une ´equation de r´eaction-diffusion similaire `a (1.1), avec coefficients homog`enes, et o`u le domaine Ω est un cylindre. Alors, pour ce mod`ele, la propagation des solutions peut en effet ˆetre bloqu´ee. Probl`emes ´etudi´es et r´esultats de la th`ese

Dans un premier temps, nous ´etudierons la vitesse d’invasion des solutions de (1.1), et comment celle-ci est li´ee `a la vitesse critique des fronts. Ceci fera l’objet du Chapitre 3. Nous ´etablirons qu’elle est reli´ee `a la vitesse des fronts par une formule de type Freidlin-Gartner, g´en´eralisant ainsi un r´esultat de Rossi [89]. Nous utiliserons cette formule pour r´epondre `a une question de Berestycki, Hamel et Nadirashvili [14], concernant le lien entre vitesse d’invasion et vitesse des fronts. Nous montrerons ´egalement comment la g´eom´etrie du domaine peut garantir que l’invasion se produise `

a la vitesse critique des fronts dans certaines directions. Ce travail a donn´e lieu `a l’article [43].

Nous verrons ensuite dans le Chapitre 4 comment le ph´enom`ene d’invasion d´epend des coefficients et du domaine. Nous donnerons une condition n´ecessaire et suffisante pour garantir que l’invasion se produit, g´en´eralisant par l`a un r´esultat de Weinberger [99]. Nous nous pencherons finalement sur les situations o`u l’invasion n’est pas ga-rantie (typiquement, le cas bistable). Dans ce cas, nous observerons des ph´enom`enes de blocages, tels qu’observ´es par Berestycki, Hamel et Matano [12] et Berestycki, Bouhours et Chapuisat [4]. De plus, nous construirons un domaine o`u un nouveau ph´enom`ene aura lieu, que nous appellerons invasion orient´ee. Ce travail a donn´e lieu `

a l’article [45], en collaboration avec Luca Rossi.

Acc´

el´

erations d’invasions biologiques par des lignes de

diffu-sion rapide

Mod`ele de base

Dans la seconde partie de cette th`ese, nous ´etudierons deux syst`emes de r´ eaction-diffusion d´ecrivant des ph´enom`enes d’invasions biologiques en pr´esence de lignes de diffusion rapide.

Dans le but de d´ecrire l’effet de r´eseaux de transports (le r´eseau routier par exemple) sur la propagation d’esp`eces invasives, Berestycki, Roquejoffre and Rossi [25] ont introduit le mod`ele suivant :

 



∂tu − D∂_x2u = ν(v|y=0+ + v|_y=0−) − µu, t > 0, x ∈ R,

∂tv − d∆v = f (v), t > 0, (x, y) ∈ R2\(R × {0}), −d∂yv|y=0± = µ

2u − νv|y=0±, t > 0, x ∈ R.

(1.2) Les fonctions u et v repr´esentent les densit´es de la mˆeme population mais sur des ensembles diff´erents. La fonction v est d´efinie sur un ensemble `a deux dimensions (le champ), o`u l’´evolution de la population est r´egie par une ´equation de r´ eaction-diffusion KPP standard. La densit´e u est d´efinie sur une droite (la route), o`u la population est sujette `a une diffusion diff´erente de celle du champ. De plus, les in-dividus peuvent entrer et quitter la route avec une certaine probabilit´e. Le r´esultat principal de [25] est que la propagation dans le champ est acc´el´er´ee d`es lors que la diffusion sur la route est suffisamment grande.

Motivations biologiques

Il a ´et´e observ´e que certaines esp`eces (le moustique-tigre par exemple, c.f. Figure 2.2), peuvent profiter du r´eseau routier pour envahir de nouvelles zones. On a estim´e, c.f. [49], que, dans la r´egion de Barcelone, entre 13 000 et 71 000 moustiques-tigres sont transport´es par jour. Ceci pourrait expliquer pourquoi la propagation du moustique tigre est plus rapide que pr´evu. D’autres esp`eces, comme les chenilles processionnaires du pin, semblent aussi profiter des axes routiers pour se propager plus efficacement. On a ´egalement observ´e que certaines esp`eces de loups au Canada se concentraient le long des lignes sismiques (chemins trac´es en forˆet par des compagnies p´etroli`eres dans le but de localiser d’´eventuels gisements de p´etrole).

Figure 2.2 – Moustique-tigre

Probl`emes ´etudi´es et r´esultats de la th`ese

Nous ´etudierons deux g´en´eralisations du mod`ele (1.2). Dans le Chapitre 5, nous nous pencherons sur la situation o`u la route n’est plus une droite, nous consid´ererons en particulier le cas de deux routes non parall`eles ; le cas de deux routes parall`eles a ´et´e ´etudi´e par Rossi, Tellini et Valdinoci [90]. Cette recherche a donn´ee lieu `a l’article [44].

Nous ´etudierons ensuite dans le Chapitre 6 des g´en´eralisations h´et´erog`enes du mod`ele (1.2). Nous introduirons et ´etudierons une notion de valeur propre princi-pale g´en´eralis´ee pour les syst`emes champ-route, a l’aide d’une in´egalit´e de Harnack nouvelle pour cette classe de probl`emes. Les r´esultats techniques du Chapitre 6 se-ront utilis´es dans le Chapitre 7, o`u nous pr´esenterons une g´en´eralisation de (1.2) destin´ee `a d´ecrire l’influence d’une ligne `a diffusion rapide sur une niche ´ecologique, ´eventuellement sujette `a un changement climatique. Une niche ´ecologique d´esigne ici une r´egion o`u la population peut se reproduire, le reste de l’espace ´etant l´ethal, dans un sens qui sera pr´ecis´e. Ceci peut mod´eliser des situations o`u les conditions (temp´eratures, ressources,...) n´ecessaires `a la survie de l’esp`ece sont localis´ees. Sous l’effet d’un changement climatique, la niche peut se d´eplacer. Le premier mod`ele de r´eaction-diffusion destin´e `a ´etudier ces ph´enom`enes de niche ´ecologique et change-ment climatique fut introduit par Berestycki, Diekmann, Nagelkerke et Zegeling [7], il s’agit de l’´equation de r´eaction-diffusion h´et´erog`ene non-autonome suivante :

∂tv − d∆v = f (x − ct, v), _{t > 0, x ∈ R.}

La d´ependance de f selon x − ct dans cette ´equation signifie que les h´et´erog´en´eit´es du milieu se d´eplacent `a vitesse constante.

Nous verrons que l’effet d’une ligne de diffusion rapide (une route) sur une niche ´ecologique est ambivalente, elle peut dans certains cas mener une esp`ece `a l’extinction, dans d’autres cas, elle peut aider une esp`ece `a survivre `a un changement climatique. Cette recherche a donn´ee lieu aux papiers [8] et [9], en collaboration avec Henri Berestycki et Luca Rossi.

2.2

Contexte de la th`

ese : ´

equations de r´

eaction-diffusion

Nous donnons dans cette section un aper¸cu du contexte math´ematique dans lequel s’inscrit cette th`ese, les ´equations de r´eaction-diffusion. La litt´erature sur ce sujet ´etant abondante, seuls les aspects les plus pertinents pour le reste de la th`ese sont pr´esent´es.

2.2.1

Equations de r´

´

eaction-diffusion homog`

enes

L’´equation de r´eaction-diffusion homog`ene la plus simple est la suivante :

∂tu = d∆u + f (u), t > 0, x ∈ RN. (2.3) Elle g´en´eralise l’´equation de Fisher-Kolmogorov-Petrovski-Piskunov (1.2) pr´esent´ee au Chapitre 1.1 en deux points : d’abord, elle est pos´_{ee sur R}N _{et non sur R, ce} qui est n´ecessaire dans bien des applications ; de plus, la nonlin´earit´e consid´er´ee ici, la fonction f , peut ˆetre diff´_{erente. On la supposera Lipschitz-continue sur R. On} supposera ´egalement que

ceci implique que les fonctions partout constantes ´egales `a 0 et 1 sont des solutions stationnaires de (2.3). Nous compl´etons cette ´equation avec une donn´ee initiale u0.

Dans la litt´erature, on distingue g´en´eralement trois types de nonlin´earit´es f : monostable, combustion et bistable. Elles sont d´efinies ainsi :

monostable f > 0 sur (0, 1) ;

combustion ∃θ ∈ (0, 1), f = 0 sur [0, θ], f > 0 sur (θ, 1) ; bistable ∃θ ∈ (0, 1), f < 0 sur (0, θ), f > 0 sur (θ, 1).

Parmis les nonlin´earit´es monostables, on distingue les nonlin´earit´es KPP, ce sont celles telles que :

u 7→ f (u)

u est d´ecroissante.

L’exemple iconique est la nonlin´earit´e logistique f (u) = u(1 − u) consid´er´ee par Fisher [53] et Kolmogorov, Petrovski et Piskunov [70]. La nonlin´earit´e d’Arrhenius f (u) = e−uu(1 − u) est de type monostable mais non KPP. Le prototype de non-lin´earit´e bistable est f (u) = u(1−u)(u−θ), parfois appel´ee nonlin´earit´e d’Allen-Cahn quand θ = 1₂.

Monostable Combustion Bistable

0 1 0 θ 1 0 θ 1

Les ´equations de r´eaction-diffusion poss`edent deux particularit´es fondamentales : d’abord, elles admettent des solutions particuli`eres appel´ees fronts, qui sont parti-culi`erement int´eressantes car repr´esentatives de la dynamique ; ensuite, elles peuvent exhiber des ph´enom`enes d’invasion, i.e., des donn´ees initiales `a support compact “assez grandes” peuvent converger vers des ´etats stationnaires. Explicitons ces deux faits.

Les fronts

Le premier aspect fondamental des ´equations de r´eaction-diffusion est l’existence de solutions particuli`eres appel´es fronts. On dira qu’une solution u de (2.3) est un front dans la direction e ∈ SN −1 _{de vitesse c ≥ 0 si}

u(t, x) = ϕ(x · e − ct),

o`_{u ϕ : R → R, le profil du front, est une fonction d´ecroissante telle que} ϕ(s) −→

Observons que, si u est un front, le profil ϕ est solution d’une EDO :

ϕ00+ cϕ0+ f (ϕ) = 0 (2.5)

avec les conditions `a l’infini (2.4).

ϕ(x − ct)

x

Figure 2.3 – Front `a diff´erents temps

Kolmogorov, Petrovski et Piskunov consid`erent l’´equation (2.3) dans le cas unidimen-sionnel (N = 1) et montrent dans [70] que, si f est du type KPP, alors l’´equation (2.3) admet des fronts avec vitesse c, pour n’importe quel |c| ≥ cKP P := 2pdf0(0+) (l’hypoth`ese KPP implique la fonction Lipschitz f est d´erivable `a droite en 0), et n’admet pas de fronts si |c| < cKP P.

Ils montrent ´egalement que les fronts sont stables et attracteurs dans le sens suivant : si u est la solution de (2.3) (en dimension N = 1) issue de la donn´ee initiale Heaviside u0 =1R−, et si on d´enote ϕ_{KP P} le front de vitesse c_{KP P} se d´epla¸cant vers

la droite, alors



u(t, x) − ϕKP P(x − cKP Pt − s(t)) −→

t→+∞0, (2.6)

o`u s(t)_t → 0 quand t tends vers +∞.

Les r´esultats de Kolmogorov, Petrovski et Piskunov sont g´en´eralis´es par Aronson et Weinberger dans [2] au cas multidimensionnel (N ∈ N\{0}) et `a des nonlin´earit´es monostables, combustions et bistables. Plus pr´ecis´ement, ils montrent que, si f est du type combustion ou bistable , alors il existe des fronts dans la direction e ∈ SN −1 avec vitesse c si, et seulement si, c = c?<sub>, o`u c</sub>? _{> 0 et si} ´1

0 f > 0 (ce qui est automatiquement v´erifi´e si f est combustion).

Le retard s(t) apparaissant dans (2.6) fˆut ´etudi´e d’abord par Bramson [34]. Il ´etablit que cette correction est logarithmique. Ce r´esultat fˆut ensuite d´emontr´e par Hamel, Nolen, Roquejoffre et Ryzhik [63] en utilisant des m´ethodes EDP. De nom-breux travaux ont g´en´eralis´es ce r´esultat, aux cas multidimensionnels, h´et´erog`enes, non-locaux... on pourra consulter les travaux [83, 33].

Invasion

Le second aspect fondemental des ´equations de r´eaction-diffusion est la possibilit´e d’avoir “invasion”. On dit qu’une solution u de (2.3) envahit l’espace si

u(t, x) −→

t→+∞1 localement uniform´ement en x.

Aronson et Weinberger montrent dans [2] que, si la donn´ee initiale dont u est issue est `a support compact et “assez” grande, alors u envahit l’espace si, et seulement si,

ˆ 1 0

f > 0.

Cette condition est automatiquement v´erifi´ee dans le cas monostable et combustion. Nous pouvons ˆetre plus pr´ecis sur la “taille” que doit avoir la donn´ee initiale. Cela depend de la nonlin´earit´e consid´er´ee. Dans le cas monostable, il est suffisant que u0 soit plus grand qu’une constante positive entre (0, 1) sur une boule assez grande. De plus, dans ce cas, il existe un coefficient critique β > 1 tel que si f (u) ≥ uβ _pour u ∼ 0 (ce qui est v´erifi´e en particulier si f0(0+) > 0), alors toute solution provenant d’une donn´ee initiale non-negative non nulle converge vers 1 quand t tends vers +∞. On appelle ceci le “hair-trigger effect”, c.f. [2].

Dans le cas d’une nonlin´earit´e combustion, la constante doit ˆetre strictement plus grande que θ. En effet, si la donn´ee initiale est partout inf´erieure `a θ, alors (2.3) se ram`ene `a l’´equation de la chaleur, et la solution converge vers 0 quand t tends vers +∞. Dans le cas bistable, la situation est encore pire : si ´<sub>0</sub>1f = 0 alors aucune solution avec donn´ee initiale `a support compact non-n´egative u0 ≤ 1 ne peut envahir l’espace, et les solutions convergent vers 0 si ´₀1f < 0.

Vitesse d’invasion

D`es lors qu’une solution envahit l’espace, on peut quantifier la vitesse `a laquelle ceci se produit, grˆace `a la notion de vitesse d’invasion : il s’agit du r´eel w? > 0 tel que, pour toute solution issue d’une donn´ee initiale `a support compact envahissant l’espace, on a ∀w ∈ [0, w?_{), inf} |x|≤wtu(t, x) −→t→+∞1 et ∀w > w?_{, sup} |x|≤wt u(t, x) −→ t →+∞0.

Si u est la densit´e d’une esp`ece invasive, un observateur se d´epla¸cant dans une di-rection donn´ee avec une vitesse w sera rattrap´e par l’invasion si w < w?<sub>, mais il</sub> ´echappera `a l’invasion si w > w? .

La quantit´e w? _{peut ˆetre calcul´ee explicitement si la nonlin´earit´e f est de type} KPP, alors

w? = 2pdf0₍₀+_).

Si f n’est pas KPP, il n’existe pas de formule close pour la vitesse d’invasion, mais elle peut ˆetre donn´ee par des formules de type min-max, voir [66, 62, 47] par exemple.

2.2.2

Equations de r´

´

eaction-diffusion en milieu p´

eriodique

Comprendre comment des h´et´erog´en´eit´es peuvent modifier le comportement des so-lutions des ´equations de r´eaction-diffusion est une question fondamentale tant du point de vue des applications, o`u l’on peut l´egitimement s’attendre `a ce que des ph´enom`enes de propagations dans des milieux diff´erents aient des caract´eristiques diff´erentes, que du point de vue th´eorique, l’´etude des EDP avec des coefficients non-constants n´ecessitant des outils diff´erents. De nombreux travaux ont donc ´et´e r´ealis´es dans ce domaine, nous n’allons en ´evoquer qu’une infime partie. L’´equation de r´eaction-diffusion h´et´erog`ene la plus g´en´erale est (1.1), i.e.,



∂tu = ∇ · (A(x)∇u) + q(x) · ∇u + f (x, u), t > 0, x ∈ Ω,

ν · A(x)∇u = 0, t > 0, x ∈ ∂Ω.

Ici, A(x) est la matrice de diffusion. On la supposera sym´etrique et d´efinie positive. Le champ de vecteur q(x) est un terme de drift, et f (x, u) est la r´eaction. On supposera ces coefficients, ainsi que le domaine, p´eriodique, i.e., il existe L1, . . . , LN > 0 tels que

A(x + k) = k, q(x + k) = q(x), f (x + k, ·) = f (x, ·) ∀x ∈ Ω, ∀k ∈ N Y i=1 L_iZ, et Ω + N Y i=1 L_{iZ = Ω.}

Les conditions de bords consid´er´ees ici sont des conditions de Neumann : si on imagine u(t, x) comme ´etant une densit´e de particules, alors ces particules “rebondissent” lorsqu’elles touchent le bord. En cons´equence, le flux `a travers le bord est nul. Si l’on avait f ≡ 0 et ∇ · q = 0 (condition d’incompressibilit´e), alors la masse serait conserv´ee, i.e.,´_Ωu(t, ·) =´_Ωu0, pour tout t > 0.

Les notions de fronts et d’invasion pr´esent´ees dans le cadre homog`ene, peuvent ˆetre g´en´eralis´ees au contexte h´et´erog`ene de (1.1).

Fronts pulsatoires

D`es lors que l’´equation que l’on consid`ere est (1.1), il est facile de se convaincre de l’impossibilit´e de trouver des solutions de la forme u(t, x) = ϕ(x · e − ct), mˆeme en dimension N = 1 avec Ω = R. Shigesada, Kawasaki et Teramoto [91] ont introduit (en dimension N = 1) une g´en´eralisation des fronts, les fronts pulsatoires. En dimension N ∈ N\{0}, cette notion est g´en´eralis´ee et ´etudi´ee par Berestycki et Hamel [10]. Les fronts pulsatoires sont des solutions de (1.1) qui ont une structure similaire `a celle des fronts homog`enes. Une solution u(t, x) de (1.1) est un front pulsatoire dans la direction e ∈ SN −1_{avec vitesse c > 0 connectant 1 `a 0 s’il s’agit d’une solution enti`ere} (i.e., d´_{efinie pour tout t ∈ R) telle que}

∀k ∈ N Y i=1 L_{iZ, ∀x ∈ Ω,} u  t + k · e c , x  = u(t, x − k),

et

u(t, x) → 1 quand x · e → −∞, u(t, x) → 0 quand x · e → +∞.

On peut poser ϕ(z, x) := u(x·e−z_c , x). Alors, ϕ est le profil du front pulsatoire, il est p´eriodique par rapport `a x. Les ensembles de niveaux d’un front pulsatoire ne sont pas des plans (au contraires des fronts homog`enes pr´esent´es au dessus) mais sont compris entre deux plans se d´epla¸cant dans la direction e avec vitesse c.

L’existence de fronts pulsatoires a ´et´e ´etablie par Berestycki et Hamel [10, Th´eor`emes 1.13 - 1.14] dans certains cas. Ils ont montr´es que, si la nonlin´earit´e f satisfait certaines conditions (qui g´en´eralisent les cas KPP, monostables et combus-tions du cadre homog`ene) et si le drift q v´erifie certaines hypoth`eses, alors pour tout e ∈ SN −1, il existe c?(e) > 0 tel qu’il existe des fronts pulsatoires dans la direction e avec vitesse c, pour tout c ≥ c?_{(e) si f est de type monostable, et seulement pour} c = c?_{(e) si f est de type combustion. Dans le cas bistable, la situation est encore} largement ouverte.

Invasion dans les milieux p´eriodiques

La notion d’invasion est encore applicable au cas de l’´equation (1.1). Cependant, elle peut maintenant se produire de fa¸con anisotrope : la vitesse d’invasion peut d´ependre de la direction. Plus pr´ecis´ement, si u(t, x) est une solution de (1.1) issue d’une donn´ee initiale positive non-nulle `_{a support compact telle que (on suppose que Ω = R}N pour simplifier)

u(t, x) −→

t→+∞1 localement uniform´ement en x,

alors on d´efinit la vitesse d’invasion w?_{(e) dans la direction e ∈ S}N −1 par : ∀w ∈ [0, w?_{(e)), u(t, wte) −→}

t→+∞1 et ∀w > w?_{(e), sup} |x|≤wt u(t, wte) −→ t →+∞0.

Contrairement au cas homog`ene, il est maintenant impossible (en g´en´eral) de donner une expression close de w?(e). Cependant, sous certaines hypoth`eses (en particulier si f est de type KPP), Freidlin et Gartner [56] ont montr´e en 1979 , en utilisant des outils probabilistes, que la vitesse d’invasion peut ˆetre reli´ee `a la vitesse des fronts par la formule suivante :

w(e) = min e·ξ>0

c?_(e)

e · ξ , (2.7)

o`u les vecteurs e, ξ sont dans la sph`_{ere S}N −1_{, et o`u c}?_{(e) est la vitesse critique des} fronts pulsatoires introduite dans la section pr´ec´edente.

Nous pr´esentons maintenant l’´etat de l’art et nos r´esultats en ce qui concerne les probl`emes ´etudi´es dans les deux parties de cette th`ese.

2.3

Partie 1. ´

Equations de r´

eaction-diffusion dans

des domaines p´

eriodiques

2.3.1

Etat de l’art

´

La pr´esence d’obstacles dans l’´equation (1.1) ajoute, entre autres, deux difficult´es importantes : d’abord, la m´ethode de sliding, telle qu’introduite par Berestycki et Nirenberg [23], peut ne plus ˆetre applicable ; ensuite, dans le cas bistable, des solutions stationnaires stables peuvent apparaˆıtre, ce qui peut “bloquer” l’invasion et les fronts. En cons´equence, l’´equation (1.1) a ´et´e ´etudi´ee principalement dans le cas o`u Ω = RN (i.e., il n’y a pas d’“obstacles”) ou dans le cas o`u Ω est un cylindre (alors, la propagation est unidirectionnelle).

Dans le cas o`u Ω est un cylindre, Berestycki, Bouhours et Chapuisat [4] ont ´etudi´e le probl`eme  ∂_tu − ∆u = f (u), t > 0, x ∈ Ω, ∂νu = 0, t > 0, x ∈ ∂Ω, (3.8) avec Ω = {(x1, x0) : x1 ∈ R, x0 ∈ ω(x1) ⊂ RN −1}, et Ω ∩ {x ∈ RN : x1 _{< 0} = R}−× ω, _{ω ⊂ R}N −1.

Autrement dit, Ω est un cylindre droit dans un demi-espace. La nonlin´earit´e f dans (3.8) est suppos´ee ˆetre du type bistable et telle que ´₀1f > 0. Les auteurs montrent qu’il existe des “fronts g´en´eralis´es” qui caract´erisent la dynamique du probl`eme. De plus, il montrent que, si le cylindre poss`ede un passage ´etroit s’ouvrant brusquement, c.f. Figure 2.4, alors les solutions peuvent ˆetre bloqu´ees, dans le sens suivant : Theorem 2.3.1. Soit u0 ≤ 1 une donn´ee initiale positive `a support compact inclus dans le demi-espace {x ∈ RN _{: x}

1 < 0}. Alors, la solution u de (3.8) issue de u0 n’envahit pas l’espace, i.e.,

lim sup t→+∞

max

x∈K u(t, x) < 1 pour tout ensemble compact K.

x1

Ω

La preuve de ce th´eor`eme repose sur une strat´egie d´evelopp´ee par Matano [75] pour montrer l’existence de solutions stationnaires non-constantes stables pour des probl`emes elliptiques, puis utilis´ee par Berestycki, Hamel et Matano [12] pour construire un domaine ext´erieur o`u la propagation des ondes est bloqu´ee. Pour conclure sur le cas du cylindre, nous mentionnons que l’existence de fronts dans des cylindres p´eriodiques a ´et´e ´etudi´ee aussi par Matano, Nakamura et Lou dans [76] en utilisant des m´ethodes d’homog´en´eisation.

Dans le cas o`<sub>u Ω = R</sub>N<sub>, l’´equation (1.1) a ´et´e largement ´etudi´ee. L’existence</sub> d’une vitesse d’invasion a ´et´e ´etudi´ee par de nombreux auteurs, en utilisant diverses m´ethodes. Freidlin et Gartner [56], dans le cas KPP, ont ´etablit la formule (2.7), qui porte maintenant leur nom, en utilisant la th´eorie des larges d´eviations. Wein-berger [99] retrouva ce r´esultat par des m´ethodes de type “syst`eme monotone abs-trait”. Berestycki, Hamel et Nadin [13] ont d´emontr´e ce r´esultat par des m´ethodes d’EDP. Berestycki et Nadin [23] l’ont ensuite montr´e en utilisant des techniques d’ho-mog´en´eisation. Dans ce registre, nous mentionnons les travaux de Evans et Souganidis [50] et Barles, Soner et Souganidis [3], qui ´etudient des probl´ematiques voisines. Rossi g´en´eralise dans [89] la formule de Freidlin-Gartner (2.7) en utilisant des m´ethodes d’EDP (th´eorie de la r´egularit´e en particulier). ll montre que la formule de Freidlin-Gartner est toujours v´erifi´ee dans de nombreuses situations assez ´eloign´ees de son cadre d’origine (´equations KPP p´eriodiques).

2.3.2

Nos r´

esultats sur les ´

equations de r´

eaction-diffusion en

milieu p´

eriodique

Notre recherche concernant les ´equations de r´eaction-diffusion dans des domaines p´eriodiques a ´et´e d’abord motiv´ee par une question pos´ee par Berestycki, Hamel et Nadirashvili dans [14], concernant l’´equation homog`ene sur un domaine p´eriodique suivante :



∂tu = ∆u + f (u), t > 0, x ∈ Ω, ∂νu = 0, t > 0, x ∈ ∂Ω.

(3.9) Question 1 (Berestycki, Hamel, Nadirashvili [14]). Existe-t-il des domaines Ω p´eriodiques o`u l’invasion ne se produise pas `a la vitesse minimale des fronts ?

Plus pr´ecis´ement, supposons que l’on puisse d´efinir c?_{(e) et w}?_{(e), la vitesse} mi-nimale des fronts et la vitesse d’invasion respectivement, dans la direction e ∈ SN −1. La question consiste donc `a chercher s’il existe un domaine p´eriodique Ω tel que

w? 6≡ c?_.

La question originelle de Berestycki, Hamel et Nadirashvili fut pos´ee sous la condition que f soit de type KPP. Alors, si Ω = RN_{, w}? _{et c}? _{sont ind´ependants de e et}

w? ≡ c? _{≡ 2}p

df0₍₀+_). Ainsi, Ω = RN _{ne r´epond pas a la Question 1.}

Le Chapitre 3 de notre th`ese donnera une r´eponse affirmative `a la Question 1, sous des conditions plus g´en´erales que celles sous lesquelles elle fut formul´ee : nous consid´ererons aussi le cas de nonlin´earit´es monostables et combustions. Pour ce faire, nous allons montrer que la formule de Freidlin-Gartner (2.7) est toujours valable pour l’´equation (1.1). Pus pr´ecis´ement, nous montrerons :

Theorem 2.3.2. Soient A, q, f, Ω p´eriodiques, avec f de type monostable ou com-bustion. Alors la vitesse d’invasion pour (1.1) est donn´ee par

w?(ξ) := inf e·ξ>0

c?_(e) e · ξ .

Nous utiliserons ce r´esultat pour r´epondre a la Question 1 :

Theorem 2.3.3. Consid´erons l’´equation (3.9) avec f monostable ou combustion. Il existe Ω p´eriodique tel que

c? 6≡ w?_.

Pour ´etablir ce r´esultat, nous construirons des bornes sur les vitesses d’invasion et des fronts dans des domaines p´eriodiques. L’outil principal sera une estimation sur le noyau de la chaleur.

Finalement, nous ´etablirons des conditions sur la g´eom´etrie de Ω pour garantir que w? et c? coincident dans certaines directions. Le seul r´esultat disponible sur cette question ´etait dˆu `a Berestycki, Hamel et Nadirashvili [14], et s’appliquait aux domaines invariants dans une direction, i.e., les domaines tels qu’il existe e ∈ SN −1_tel que Ω+λe = Ω, pour tout λ ∈ R. Nous montrerons que, si un domaine est sym´etrique dans une direction, alors w? _{et c}? _{coincident dans cette direction. Plus pr´ecis´ement,} nous ´etablirons le r´esultat suivant :

Theorem 2.3.4. Soit f telle que u 7→ f (u)_u est d´ecroissante. Supposons qu’il existe T une transformation orthogonale telle que

• Ω est invariant sous l’action de T , i.e., T Ω = Ω.

• 1 est valeur propre de T , de multiplicit´e g´eom´etrique ´egale `a 1, i.e., dim Ker (T − IN) = 1.

Alors, si e ∈ SN −1 _{est tel que T e = e, on a} c?(e) = w(e).

Ce r´esultat implique par exemple, en dimension N = 2, que si un domaine est sym´etrique par rapport `a la r´eflexion d’axe dirig´<sub>e par e ∈ S</sub>N −1<sub>, alors w(e) = c</sub>?<sub>(e).</sub> En dimension N = 3, le mˆeme r´esultat est vrai si Ω est stable par la rotation d’axe e et d’angle π. En dimension N ≥ 4, le r´esultat est v´erifi´e si le domaine est stable par rapport `a N − 1 r´eflexions par rapport `a N − 1 hyperplans dont l’intersection est une droite dirig´ee par e.

Dans le second chapitre de cette premi`ere partie, nous nous int´eresserons `a la question de l’invasion pour l’´equation (1.1). Dans un premier temps, nous ´etablirons

que l’invasion se produit pour des solutions `a support compact si, et seulement si, elle se produit pour des donn´ees initiales de type front. Ce r´esultat g´en´eralise un r´esultat de Weinberger [99]. On peut en d´eduire que l’invasion se produit pour des donn´ees initiales `a support compact d`es lors que des fronts pulsatoires existent. En particulier, on en d´eduit le r´esultat suivant :

Theorem 2.3.5. Consid´erons l’´equation (1.1) avec q ≡ 0. Si f est de type KPP, mo-nostable ou combustion, toute solution issue d’une donn´ee initiale `a support compact assez grande envahit l’espace.

Dans un second temps, nous ´etudierons des situations o`u l’existence des fronts n’est pas connue ; il s’agit typiquement du cas o`u f est bistable. Alors, nous exhiberons trois types de comportements pour la solution. Tout d’abord, nous construirons des domaines o`u l’invasion se produit dans toutes les directions, et d’autres o`u l’invasion ne se produit dans aucune direction. Ensuite, nous exhiberons un domaine o`u un nouveau ph´enom`ene apparaˆıt. Le r´esultat suivant ´etablit que l’on peut construire un domaine p´eriodique o`u l’invasion se produit dans une direction, mais pas dans la direction oppos´ee. Pour simplifier les notations, ce r´esultat est ´enonc´e en dimension N = 2 ; on d´enote e1 := (1, 0) et e2 := (0, 1) les vecteurs de la base canonique. Theorem 2.3.6. Soit f une nonlin´earit´e bistable telle que ´<sub>0</sub>1f > 0. Alors, il existe un domaine p´<sub>eriodique Ω ⊂ R</sub>2 <sub>et c > 0 tels que, pour η ∈ (0, 1) “suffisamment</sub> grand”, il existe r > 0 tel que les deux propri´et´es suivantes sont v´erifi´ees pour toute solution de (3.9) issue d’une donn´ee initiale `a support compact telle que

0 ≤ u0 ≤ 1, u0 > η sur Ω ∩ Br. (i) On a invasion dans la direction e1 :

∀0 < c1 < c2 < c, ∀a > 0, min x∈Ω c1t≤x·e1≤c2t |x·e2|≤a |u(t, x) − 1| −→ t→+∞0.

(ii) On a blocage dans la direction −e1 : u(t, x) −→

x·e1→−∞

0 uniform´ement en t > 0.

La preuve de la deuxi`eme partie de ce th´eor`eme, le blocage, est maintenant assez classique, c.f. [80, 12, 4]. La difficult´e ici est de prouver qu’il y a invasion vers la droite : la m´ethode usuelle, le “sliding”, ne s’applique pas ici.

2.3.3

Perspectives

Mentionnons quelques axes de recherches encore `a explorer concernant les ´equations de r´eaction-diffusion dans des domaines p´eriodiques. D’abord, rappelons que nous r´epondons `a la Question 1 en construisant un domaine p´eriodique o`u l’invasion ne se produit pas `a la vitesse critique dans doutes les directions, c’est l’objet du Chapitre 3. On peut se poser la question inverse, i.e., peut-on trouver des domaines Ω 6= RN

tels que la vitesse d’invasion se produise `a la vitesse critique des fronts ? Nous verrons dans le Chapitre 3 qu’il est ´equivalent de construire des domaines Ω o`u w? _{et c}? _sont constantes. Ainsi, on peut reformuler la question : existe-t-il des domaines Ω 6= RN o`u la propagation est isotrope ?

Nous conjecturons que de tels domaines ne peuvent pas exister. En effet, si la propagation est isotrope, alors on peut imaginer, intuitivement, que le domaine doit ˆetre r´egulier. Cette question est encore ouverte, et les techniques que nous utilisons dans le Chapitre 3 ne semblent pas s’adapter facilement.

Cette question est en fait un exemple parmi d’autres de “questions inverses” que l’on peut se poser concernant le ph´enom`ene d’invasion. Plus g´en´eralement, on peut se demander comment les sym´etries du domaine Ω est les sym´etries des fonctions w? et c? sont li´ees. Dans le cas KPP, puisque les vitesse se calculent `a partir des valeurs propres d’un op´erateur elliptique dans Ω, ce type de probl`eme, qui consiste `a retrouver des informations g´eom´etriques `a partir d’information spectrales, est reminiscent du c´el`ebre probl`eme de Kac, Can we hear the shape of a drum ?, see [68].

Concernant la vitesse d’invasion dans les domaines p´eriodiques, donn´ee par la formule de Freidlin-Gartner (2.7), nous montrons dans le Chapitre 3 qu’elle est v´erifi´ee d`es lors qu’il existe des fronts pulsatoires. Dans le Chapitre 4, nous exhibons un domaine o`u l’invasion n’a lieu que d’un seul cˆot´e. On peut se demander si la formule de Freidlin-Gartner est encore v´erifi´ee dans ce cas, avec c? _{et w}? _{pouvant s’annuler} dans certaines directions.

Nous pr´esentons maintenant la deuxi`eme partie dans cette th`ese.

2.4

Partie 2. Les mod`

eles champ-route

2.4.1

Etat de l’art

´

Le mod`ele champ-route (1.2) a ´et´e introduit par Berestycki, Roquejoffre et Rossi [25] en 2013. Ils d´emontrent en particulier le r´esultat suivant :

Theorem 2.4.1. Il existe cBRR ≥ cKP P = 2dpf0(0+) tel que, pour (u, v) une solution de (1.2) issue d’une donn´ee initiale non-nulle positive et `a support compact, on a

∀h > 0, ∀c < cBRR, inf y<h |x|≤ct v(t, x, y) −→ t→+∞1, |x|≤ctinf u(t, x) −→t→+∞ ν µ et ∀c > cBRR, sup |(x,y)|≥ct v(t, x, y) −→

t→+∞0, _|(x,y)|≥ctsup u(t, x, y) −→t→+∞0. De plus,

cBRR > cKP P si, et seulement si, D > 2d.

Sans la route, le mod`ele serait l’´equation de Fisher-KPP usuelle (2.3), et la vitesse d’invasion serait ´egale `a cKP P. Ce th´eor`eme signifie donc que, si la diffusion sur la route est “assez grande”, alors l’invasion dans la direction de la route est acc´el´er´ee.