2.4 Partie 2. Les mod` eles champ-route
2.4.2 Nos r´ esultats sur les mod` eles d’invasions en pr´ esence de lignes
La seconde partie de cette th`ese est d´edi´ee `a l’´etude de deux mod`eles d´ecrivant la dynamique de populations en pr´esence de lignes de forte diffusion. Dans le Chapitre 5, nous ´etudions une g´en´eralisation du mod`ele champ-route (1.2), o`u nous consid´erons une route qui n’est plus une droite. Plus pr´ecis´ement, le champ que nous consid´erons n’est plus un demi-plan mais un ouvert connexe r´egulier Ω, et la route est son bord. Notre syst`eme est le suivant :
∂tu − D∂ssu = νv|∂Ω− µu, t > 0, (x, y) ∈ ∂Ω, ∂tv − d∆v = f (v), t > 0, (x, y) ∈ Ω,
d∂nv|∂Ω = µu − νv|∂Ω, t > 0, (x, y) ∈ ∂Ω.
(4.10)
Ici, ∂ss est l’op´erateur de Laplace-Beltrami sur ∂Ω, n est le vecteur normal ext´erieur au bord, et v|∂Ω est la restriction de v `a ∂Ω.
Nous montrerons d’abord l’existence d’une unique solution stationnaire non-nulle, et nous verrons que les solutions de (4.10) convergent vers cette solution. Ensuite, nous ´etudierons plus en d´etail le cas o`u la route est asymptotiquement droite, i.e.,
Ω = {(x, y) : x ∈ R, y ≥ ρ(x)}, o`u ρ est tel que, pour un certain a ∈ R, on a :
|ρ(x) − a|x|| −→ x→±∞ 0, ρ0(x) −→ x→±∞ ±a, ρ00(x) −→ x→±∞ 0. (4.11)
Autrement dit, la route a deux branches qui font un angle.
Dans le cas de deux routes parall`eles, il a ´et´e observ´e qu’un ph´enom`ene d’acc´el´eration pouvait se produire, c.f. [90]. La question qui a motiv´e notre recherche sur le mod`ele (4.11) ´etait de savoir si c’´etait le cas pour le mod`ele (4.11) : si l’angle entre les deux routes est assez faible, peut-on observer une acc´el´eration de l’invasion ? La r´eponse est n´egative.
Theorem 2.4.2. La vitesse d’invasion dans la direction des routes, pour le mod`ele (4.11) avec une route asymptotiquement droite, est ´egale `a cBRR, quel que soit l’angle entre les deux route : pour toute solution (u, v) de (4.11) issue d’une donn´ee initiale non-nulle positive `a support compact, on a
∀h > 0, ∀c < cBRR, sup (x,y)∈Ω dist((x,y),∂Ω)<h |(x,y)|≤ct |v(t, x, y)−1| −→ t→+∞0, sup (x,y)∈∂Ω |(x,y)|≤ct u(t, x, y) − ν µ −→ t→+∞0, et ∀c > cBRR, sup (x,y)∈Ω |(x,y)|≥ct v(t, x, y) −→ t→+∞0, sup (x,y)∈∂Ω |(x,y)|≥ct u(t, x, y) −→ t→+∞0.
La d´emonstration de ce r´esultat repose sur des m´ethodes de sur- et sous-solutions. Dans le Chapitre 6, nous nous int´eresserons `a la g´en´eralisation h´et´erog`enes de (1.2) suivante :
∂tu − D∂x2u − cu0 = ν(v|y=0+ + v|y=0−) − µu, t > 0, x ∈ R,
∂tv − d∆v − c∂xv = f (x, y, v), t > 0, (x, y) ∈ R2\(R × {0}), −d∂yv|y=0± = µ2u − νv|y=0±, t > 0, x ∈ R.
(4.12) Nous d´emontrerons quelques r´esultats techniques, notamment une in´egalit´e de Har-nack et d´efinirons et ´etudierons une notion de valeur propre principale g´en´eralis´ee pour ce syst`eme.
Ces r´esultats abstraits seront utilis´es dans le Chapitre 7, o`u nous ´etudierons un mod`ele d´ecrivant l’influence d’une route sur une niche ´ecologique, soumise `a un ´eventuel changement climatique.
Le deuxi`eme mod`ele de type champ-route que nous ´etudierons est motiv´e par les deux questions suivantes :
Question 2. Quelle est l’influence d’une route sur une niche ´ecologique ?
Question 3. La situation change-t-elle si la niche peut se d´eplacer, suite `a un chan-gement climatique par exemple ?
Pour r´epondre `a ces questions, nous ´etudierons le mod`ele suivant :
∂tu − D∂2
xu = ν(v|y=0+ + v|y=0−) − µu, t > 0, x ∈ R,
∂tv − d∆v = f (x − ct, y, v), t > 0, (x, y) ∈ R2\(R × {0}), −d∂yv|y=0± = µ2u − νv|y=0±, t > 0, x ∈ R,
(4.13) avec f de type KPP telle que
lim sup |(x,y)|→+∞
fv(x, y, 0) < 0. (4.14) Ce mod`ele devient, en se pla¸cant dans le r´ef´erentiel se d´epla¸cant dans la direction x `
a vitesse c, le syst`eme (4.12). Du point de vue de la mod´elisation, l’hypoth`ese (4.14) signifie que la zone o`u le taux de reproduction peut ˆetre positif (la niche ´ecologique) est born´ee.
Notre ´etudierons d’abord le cas o`u c = 0. Alors, (4.12) mod´elise une niche ´ecologique travers´ee par une route. Dans ce cas, nous montrons que la route a un effet d´el´et`ere sur la population. Pour ce faire, nous comparerons le mod`ele avec la route (4.12) et le mˆeme mod`ele sans la route (que nous d´efinirons plus tard en d´etails). Theorem 2.4.3. Consid´erons le mod`ele (4.12).
• Si on a persistence dans le syst`eme avec la route (4.12), alors on a persistence aussi dans le mod`ele sans la route.
• Il existe des param`etres d, D, f tels que l’on a survie dans le mod`ele sans la route mais extinction dans le mod`ele avec route (4.12).
Ensuite, nous ´etudierons le syst`eme (4.12) avec c ∈ R. Dans ce cas, la niche est sujette `a un changement climatique. Nous montrerons que la route peut aider la population `a survivre.
Theorem 2.4.4. Il existe des param`etres d, D, f et 0 < c? < c? tels que l’on a survie dans le mod`ele (4.12) `a la fois avec et sans la route si c ∈ [0, c?), et survie uniquement avec la route si c ∈ [c?, c?).
2.4.3 Perspectives
Nous pr´esentons ici quelques questions ouvertes concernant notre ´etude des mod`eles route-champ.
Dans le cas de deux routes non-parall`eles, nous montrons dans le Chapitre 5 que la vitesse d’invasion dans la direction des routes est la mˆeme que dans le cas o`u le champ est un demi-plan. Il est naturel de se demander si cela est encore vrai pour les autres directions. La difficult´e ici est que, comme nous le verrons dans des simulations `
a la fin du Chapitre 5, la vitesse d’invasion semble ne pas ˆetre une fonction convexe de la direction. Ceci soul`eve de s´erieuses difficult´es, notamment pour construire des sursolutions.
Nous d´efinissons dans le Chapitre 6 une notion de valeur propre principale g´en´eralis´ee pour le syst`eme champ-route. Dans le Chapitre 7, o`u nous les employons pour ´etudier un mod`ele issu de la mod´elisation biologique, nous ´etudions comment ces valeurs propres d´ependent des coefficients. La d´ependance par rapport `a l’amplitude du terme de drift est encore ouverte. Cette question est li´ee `a la question suivante, pos´ee par Berestycki, Hamel et Nadirashvili dans [16]. Soit l’op´erateur
Lu := −∇ · (A(x)∇u) − cq(x) · ∇u,
o`u c ∈ R. Soit λ1(c) la valeur propre principale de cet op´erateur avec conditions de Dirichlet sur un domaine born´e. Alors, quelle est la monotonie de c 7→ λ1(c) ?
Une approche “abstraite” pourrait peut ˆetre ´eclairer d’un jour nouveau ce genre de probl`eme.
Part II
Reaction-diffusion equations in
periodic media
Chapter
3
Propagation properties of reaction-diffusion
equations in periodic domains
Qui veut triompher d’un obstacle doit s’armer de la force du lion et de la prudence du serpent.
Pindare
In this chapter, we study the phenomenon of invasion for heterogeneous reaction-diffusion equations in periodic domains with monostable and combustion reaction terms. We give an answer to a question raised by Berestycki, Hamel and Nadirashvili in [14] concerning the connection be-tween the speed of invasion and the critical speed of fronts. To do so, we extend the classical Freidlin-Gartner formula to such equations, using a geometrical argument devised by Rossi in [89], and derive some bounds on the speed of invasion using estimates on the heat kernel. We also give geometric conditions on the domain that ensure that the spreading occurs at the critical speed of fronts. This chapter corresponds to the paper [43].
Contents
3.1 Introduction and results . . . 46 3.1.1 Introduction . . . 46 3.1.2 Pulsating traveling fronts . . . 48 3.1.3 The speed of invasion . . . 49 3.1.4 Statement of the main results . . . 51 3.2 Freidlin-Gartner formula for a periodic domain . . . 53 3.2.1 Preliminary results . . . 54 3.2.2 Proof of Theorem 3.1.5 . . . 55 3.3 Invasion and the critical speed of fronts . . . 59 3.3.1 Comparison between w and c? . . . 59
3.3.2 Invasion in domains that are invariant in one direction . . . 60 3.3.3 Geodesic estimates . . . 62 3.3.4 Domains where c?6≡ w . . . 65 3.4 Symmetries of the domain and relation with c? and w . 69