2.2 Contexte de la th` ese : ´ equations de r´ eaction-diffusion
2.2.1 Equations de r´ ´ eaction-diffusion homog` enes
∂tu = d∆u + f (u), t > 0, x ∈ RN. (2.3) Elle g´en´eralise l’´equation de Fisher-Kolmogorov-Petrovski-Piskunov (1.2) pr´esent´ee au Chapitre 1.1 en deux points : d’abord, elle est pos´ee sur RN et non sur R, ce qui est n´ecessaire dans bien des applications ; de plus, la nonlin´earit´e consid´er´ee ici, la fonction f , peut ˆetre diff´erente. On la supposera Lipschitz-continue sur R. On supposera ´egalement que
ceci implique que les fonctions partout constantes ´egales `a 0 et 1 sont des solutions stationnaires de (2.3). Nous compl´etons cette ´equation avec une donn´ee initiale u0.
Dans la litt´erature, on distingue g´en´eralement trois types de nonlin´earit´es f : monostable, combustion et bistable. Elles sont d´efinies ainsi :
monostable f > 0 sur (0, 1) ;
combustion ∃θ ∈ (0, 1), f = 0 sur [0, θ], f > 0 sur (θ, 1) ; bistable ∃θ ∈ (0, 1), f < 0 sur (0, θ), f > 0 sur (θ, 1).
Parmis les nonlin´earit´es monostables, on distingue les nonlin´earit´es KPP, ce sont celles telles que :
u 7→ f (u)
u est d´ecroissante.
L’exemple iconique est la nonlin´earit´e logistique f (u) = u(1 − u) consid´er´ee par Fisher [53] et Kolmogorov, Petrovski et Piskunov [70]. La nonlin´earit´e d’Arrhenius f (u) = e−uu(1 − u) est de type monostable mais non KPP. Le prototype de non-lin´earit´e bistable est f (u) = u(1−u)(u−θ), parfois appel´ee nonlin´earit´e d’Allen-Cahn quand θ = 12.
Monostable Combustion Bistable
0 1 0 θ 1 0 θ 1
Les ´equations de r´eaction-diffusion poss`edent deux particularit´es fondamentales : d’abord, elles admettent des solutions particuli`eres appel´ees fronts, qui sont parti-culi`erement int´eressantes car repr´esentatives de la dynamique ; ensuite, elles peuvent exhiber des ph´enom`enes d’invasion, i.e., des donn´ees initiales `a support compact “assez grandes” peuvent converger vers des ´etats stationnaires. Explicitons ces deux faits.
Les fronts
Le premier aspect fondamental des ´equations de r´eaction-diffusion est l’existence de solutions particuli`eres appel´es fronts. On dira qu’une solution u de (2.3) est un front dans la direction e ∈ SN −1 de vitesse c ≥ 0 si
u(t, x) = ϕ(x · e − ct),
o`u ϕ : R → R, le profil du front, est une fonction d´ecroissante telle que ϕ(s) −→
s→−∞1 et ϕ(s) −→
Observons que, si u est un front, le profil ϕ est solution d’une EDO :
ϕ00+ cϕ0+ f (ϕ) = 0 (2.5)
avec les conditions `a l’infini (2.4).
ϕ(x − ct)
x
Figure 2.3 – Front `a diff´erents temps
Kolmogorov, Petrovski et Piskunov consid`erent l’´equation (2.3) dans le cas unidimen-sionnel (N = 1) et montrent dans [70] que, si f est du type KPP, alors l’´equation (2.3) admet des fronts avec vitesse c, pour n’importe quel |c| ≥ cKP P := 2pdf0(0+) (l’hypoth`ese KPP implique la fonction Lipschitz f est d´erivable `a droite en 0), et n’admet pas de fronts si |c| < cKP P.
Ils montrent ´egalement que les fronts sont stables et attracteurs dans le sens suivant : si u est la solution de (2.3) (en dimension N = 1) issue de la donn´ee initiale Heaviside u0 =1R−, et si on d´enote ϕKP P le front de vitesse cKP P se d´epla¸cant vers la droite, alors
u(t, x) − ϕKP P(x − cKP Pt − s(t)) −→
t→+∞0, (2.6)
o`u s(t)t → 0 quand t tends vers +∞.
Les r´esultats de Kolmogorov, Petrovski et Piskunov sont g´en´eralis´es par Aronson et Weinberger dans [2] au cas multidimensionnel (N ∈ N\{0}) et `a des nonlin´earit´es monostables, combustions et bistables. Plus pr´ecis´ement, ils montrent que, si f est du type combustion ou bistable , alors il existe des fronts dans la direction e ∈ SN −1 avec vitesse c si, et seulement si, c = c?, o`u c? > 0 et si ´1
0 f > 0 (ce qui est automatiquement v´erifi´e si f est combustion).
Le retard s(t) apparaissant dans (2.6) fˆut ´etudi´e d’abord par Bramson [34]. Il ´etablit que cette correction est logarithmique. Ce r´esultat fˆut ensuite d´emontr´e par Hamel, Nolen, Roquejoffre et Ryzhik [63] en utilisant des m´ethodes EDP. De nom-breux travaux ont g´en´eralis´es ce r´esultat, aux cas multidimensionnels, h´et´erog`enes, non-locaux... on pourra consulter les travaux [83, 33].
Invasion
Le second aspect fondemental des ´equations de r´eaction-diffusion est la possibilit´e d’avoir “invasion”. On dit qu’une solution u de (2.3) envahit l’espace si
u(t, x) −→
t→+∞1 localement uniform´ement en x.
Aronson et Weinberger montrent dans [2] que, si la donn´ee initiale dont u est issue est `a support compact et “assez” grande, alors u envahit l’espace si, et seulement si,
ˆ 1 0
f > 0.
Cette condition est automatiquement v´erifi´ee dans le cas monostable et combustion. Nous pouvons ˆetre plus pr´ecis sur la “taille” que doit avoir la donn´ee initiale. Cela depend de la nonlin´earit´e consid´er´ee. Dans le cas monostable, il est suffisant que u0 soit plus grand qu’une constante positive entre (0, 1) sur une boule assez grande. De plus, dans ce cas, il existe un coefficient critique β > 1 tel que si f (u) ≥ uβ pour u ∼ 0 (ce qui est v´erifi´e en particulier si f0(0+) > 0), alors toute solution provenant d’une donn´ee initiale non-negative non nulle converge vers 1 quand t tends vers +∞. On appelle ceci le “hair-trigger effect”, c.f. [2].
Dans le cas d’une nonlin´earit´e combustion, la constante doit ˆetre strictement plus grande que θ. En effet, si la donn´ee initiale est partout inf´erieure `a θ, alors (2.3) se ram`ene `a l’´equation de la chaleur, et la solution converge vers 0 quand t tends vers +∞. Dans le cas bistable, la situation est encore pire : si ´1
0 f = 0 alors aucune solution avec donn´ee initiale `a support compact non-n´egative u0 ≤ 1 ne peut envahir l’espace, et les solutions convergent vers 0 si ´1
0 f < 0. Vitesse d’invasion
D`es lors qu’une solution envahit l’espace, on peut quantifier la vitesse `a laquelle ceci se produit, grˆace `a la notion de vitesse d’invasion : il s’agit du r´eel w? > 0 tel que, pour toute solution issue d’une donn´ee initiale `a support compact envahissant l’espace, on a ∀w ∈ [0, w?), inf |x|≤wtu(t, x) −→ t→+∞1 et ∀w > w?, sup |x|≤wt u(t, x) −→ t →+∞0.
Si u est la densit´e d’une esp`ece invasive, un observateur se d´epla¸cant dans une di-rection donn´ee avec une vitesse w sera rattrap´e par l’invasion si w < w?, mais il ´echappera `a l’invasion si w > w? .
La quantit´e w? peut ˆetre calcul´ee explicitement si la nonlin´earit´e f est de type KPP, alors
w? = 2pdf0(0+).
Si f n’est pas KPP, il n’existe pas de formule close pour la vitesse d’invasion, mais elle peut ˆetre donn´ee par des formules de type min-max, voir [66, 62, 47] par exemple.