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Submitted on 11 Mar 2008
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pulsatoires, dynamique non triviale et applications.
Michaël Bages
To cite this version:
Michaël Bages. Equations de réaction-diffusion de type KPP : ondes pulsatoires, dynamique non triv- iale et applications.. Mathématiques [math]. Université Paul Sabatier - Toulouse III, 2007. Français.
�tel-00262323�
U.F.R Mathématiques Informatique Gestion
THÈSE
pour obtenir legrade de
DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ DE TOULOUSE
délivré par l'Université Toulouse III - Paul Sabatier
en Mathématiques Appliquées
présentée par
Mihaël BAGES
intitulée
Équations de réation-diffusion de type KPP :
ondes pulsatoires, dynamique non triviale
et appliations
rapportée par : Mariana HARAGUS
Régis MONNEAU
etsoutenue le17 déembre 2007 devant lejury omposé de
Thierry GALLAY Examinateur
François HAMEL Examinateur
Patrik MARTINEZ Direteur de thèse
Régis MONNEAU Rapporteur
Jean-Mihel ROQUEJOFFRE Direteur de thèse
Violaine ROUSSIER-MICHON Examinatrie
Institut de Mathématiques de Toulouse
UnitéMixtedeReherheCNRS-UMR5219
UniversitéPaulSabatier Toulouse 3-Bât 1R3,31 062TOULOUSEedex 9,Frane
La vie et les obstales déident du hemin.
B.B.
Jetiensen premierlieuàremeriermes direteursde thèse, Jean-Mihel Roquejore
et Patrik Martinez. Jean-Mihel m'a fait déouvrir son rihe et passionnant domaine
de la réation-diusion en DEA. C'est un grand honneur d'avoir travaillé à ses tés;
ses qualités sientiques et son abnégation dans la reherhe sont un véritable exemple
pour moi. Canaliser toutes ses idées aurait été diile sans la présene de Patrik. Sa
disponibilitéetson soutienonstant,ainsi queses qualitéshors pairdepédagogueetson
souis de la rigueur, m'ont été d'une aide préieuse. Meri enore à tous les deux pour
votre engagementpermanent durant es années.
Jesuis trèsreonnaissant envers MarianaHaragus etRégisMonneauquiontaepté
lalourdetâhe de rapportermon travailmalgréunemploidu tempstrèshargé.Jevous
remerie haleureusement de l'intérêt que vous avez porté a ma thèse. C'est un grand
plaisir que Violaine Roussier-Mihon, Thierry Gallay et François Hamel aient aepté
de faire partiede mon jury.Je remerie FrançoisHamel pour l'intérêt qu'ilporte à mes
travauxdepuisleurs débutsainsi quela lartéde ses artilessur lesquels mes reherhes
s'appuient.JeremerieégalementThierryGallaypoursonourssurlaréation-diusion
donné à l'éole d'été à Grenoble en 2005 et qui m'a suivi durant toute la n de thèse.
Meri enn àViolaine pour tous ses onseils envers lesplus jeunes.
J'aieu la hane d'eetuer mathèse dans leadre idéal du laboratoire MIP. Meri
tout d'abord à Christine qui faisait du passage au serétariat un vrai moment de bon-
heur. Je remerie tous les thésards du MIP qui ont fait du labo une deuxième famille,
en partiulier eux de ma génération : Niolas, mon anien o-bureau du 202, pour les
bonnesodeursde asse-roûte, à Jean-Lupour son petit grain de folie,à Mar pour sa
bonne humeur(et ses blaguespas drles!), àRaymondpour son aratère bien trempé,
à Mounir, Samy, Ali, Davuth et Élie, ainsi qu'à notre adorable duo de postdos Aude
etOlivier.Jeremerie égalementlesjeunes thésards pour leur enthousiasme,tout parti-
ulièrementmes nouveaux o-bureaux pour avoirraviver l'ambianedu 202. Je n'oublie
pas non plus mes amarades de Piard et LSP, ave une mention spéiale pour Julien,
quia été un oéquipierde ho en prépa agreg.
Mes enseignements eetués à l'UPS ont été l'oasion de mieux faire onnaissane
ave ertains ollègues, en partiulier Jean-Claude Yakoubsohn et Mihel Pradel, ave
qui j'ai éhangé de nombreuses disussions pédagogiques. Meri à tous les deux pour
votre soutien,ainsi qu'à Judith quim'a en plus si souvent libéré Patrik.
Heureusement quelesamisnousrappellentqu'ilyaune vieendehorsdulabo.Meri
à Alex pour tous nos fous rires et ta patate légendaire, Seb pour ton si grand oeur,
François pour ta gentillesse hors du ommun, et Xav pour notre si belle amitié depuis
le primaire. Meri à vous pour tous les bons moments passés ensembles. Une pensée
égalementà mes amis footeux, en partiulier le noyau dur des Souessois, pour nos week
end festifs etnotre bellesaison vitorieuse2005!
Mes derniers remeriementss'adressent naturellementà mafamilleà laquelle je suis
très attahé. J'ai une aetion partiulière pour ma marraine et mon parrain : ils ont
toujours été présents à mes tés et 'est un grand plaisir qu'ils soient là pour ma
soutenane. Un gros bisou également à ma ousine préférée Ophélie, l'un des piliers
de la famille.Meri à mes deux frérots que j'adore et sans qui la vie ne serait vraiment
pas pareille. Enn, 'est un grand bonheur de remerier ii mes parents pour l'amour
inestimable qu'ils me portent et qui me donne fore et onvition dans tout e que
j'entreprends.
Introdution 1
I Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.1 Ondes progressives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.2 Ondes pulsatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I.3 Bref aperçu des travauxonnexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
II Présentation des résultatsobtenus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
II.1 Existene d'ondes pulsatoires d'une équation de type ignition dans un ylindre: une nouvelle preuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
II.2 Existened'ondes pulsatoires de type KPP au omportement préisé 11 II.3 Dynamique non triviale en temps grand pour une équation de type KPP en milieu périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
II.4 Ondes pulsatoires pour le système de la SHS ave terme soure monostable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1 Existene d'ondes pulsatoires d'une équation de type ignition dans un ylindre : une nouvelle preuve 23 1.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2 La démarhe utilisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3 Résultats prérequis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.1 Propriétés qualitativesdes ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.2 Problèmes aux valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4 Estimations sur c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.1 Borne supérieuresur lavitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.2 Borne inférieuresur lavitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5 Passage à la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5.1 Extration d'une sous-suite onvergente. . . . . . . . . . . . . . . 31
1.5.2 Solutionsexponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5.3 Conditions à l'inni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.6 Continuation loale de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.6.1 Desription formelle de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.6.2 Détermination du poids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.6.3 Les propriétés de w0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.6.4 Etude du problème de Cauhy (P B)s. . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.6.5 La diérentiabilité de l'appliation F . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.6.6 LadéompositionT(1,0) =T +K ave T ontratantetK ompat 48
1.6.7 Lenoyau de I−T(1,0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.6.8 Fin de la ontinuationloale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.6.9 Synthèse de l'étape ontinuation loale . . . . . . . . . . . . . . . 59
2 Existene d'ondes pulsatoires de type KPP au omportement préisé 61 2.1 Introdution etrésultat prinipal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2 Propriétés de la valeur propre prinipalek(λ) . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2.1 Convexité de k(λ) etonstrution du poids . . . . . . . . . . . . . 63
2.2.2 Analytiité de k(λ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.3 Existene d'ondes de vitesse c > c∗ par pointxe . . . . . . . . . . . . . 65
2.3.1 Point xe dans l'espae à poids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.3.2 Comportement de ueen +∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.4 Existene d'ondes de vitesse c∗ par sur etsous-solutions . . . . . . . . . . 70
2.4.1 Leomportement exponentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.4.2 Existene par sous-solutionet sur-solution . . . . . . . . . . . . . 72
3 Dynamique non triviale en temps grand pour une équation de type KPP en milieu périodique 77 3.1 Introdution etrésultatsprinipaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.1.1 Dynamique en milieuhomogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.1.2 Dynamique en milieupériodique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.1.3 Plan du hapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.2 Leas homogène :preuve direte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.2.1 L'équationet lespropriétés du shift . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.2.2 Convergene dans l'espae à poids . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.3 Leas homogène :étude du shiftpar la méthode générale . . . . . . . . . 86
3.3.1 Etude de l'équation diérentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.3.2 Approximationde uet estimations . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.3.3 Déformation du ontour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.3.4 Lemmes tehniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.3.5 Etude de la partiedominante du shift . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.3.6 Comportement des dérivées du shift . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.4 Convergene en milieu périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.4.1 Equation du shift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.4.2 Convergene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.5 Propriétés du shift en milieu périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.5.1 Généralités sur l'équation diérentielle . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.5.2 Etude de l'équation homogène auvoisinagede λ= 0 . . . . . . . 117
3.5.3 Exposants de Floquet pour λ prohe de 0. . . . . . . . . . . . . . 122
3.5.4 Loalisationdu spetre de L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.5.5 Approximationde u(λ, x)au voisinage de λ= 0 . . . . . . . . . . 125
3.5.6 Déformation du ontour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.5.7 Leterme dominant du shift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.5.8 Comportement des dérivées du shift en temps grand. . . . . . . . 138
3.6 Stabilitédes ondes pulsatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4 Ondes pulsatoires pour le système de la SHS ave terme soure mono-
stable 147
4.1 Introdution: lessystèmes onsidérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.2 Les résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.2.1 Théorème prinipal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.2.2 L'équation salairereliée au système etses propriétés . . . . . . . 149
4.2.3 Relation entre les ondesde l'équationet du système . . . . . . . . 150
4.3 Relation formelleentre lesystème et l'équation. . . . . . . . . . . . . . . 150
4.3.1 Condition aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.3.2 Relation formelle entre lesystème etl'équation . . . . . . . . . . 151
4.4 Existene d'ondes progressives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.5 Propriétés qualitatives des ondes pulsatoires de l'équation. . . . . . . . . 159
4.5.1 Positivité de la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.5.2 Comportementlinéaire des ondes pulsatoires . . . . . . . . . . . . 161
4.5.3 Non existene etdéroissane exponentielle en −∞ . . . . . . . . 168
4.6 Existene d'ondes pulsatoires pour l'équation. . . . . . . . . . . . . . . . 170
4.6.1 Existene d'ondes pulsatoires pour c > c∗ . . . . . . . . . . . . . . 171
4.6.2 Existene d'ondes pulsatoires pour c=c∗ . . . . . . . . . . . . . . 173
4.6.3 Comportementlinéaire des ondes en +∞ . . . . . . . . . . . . . . 176
4.7 Relation entre les ondesdu système etde l'équation . . . . . . . . . . . . 179
Bibliographie 188
L'objetdeettethèseest l'étuded'équationsderéation-diusiondetypeKPP (pour
Kolmogorov,Petrovsky etPiskunov)enmilieupériodiqueetpluspartiulièrementl'exis-
tene,lespropriétés qualitativesetlastabilitédessolutionsondespulsatoires. Ondonne
àla n une appliation ausystème de la SHS(Self-propagating High-temperatureSyn-
thesis)en ombustion solide.
La thèse est divisée en quatre hapitres. Dans le premier, nous donnons, pour une
équation d'advetion-réation-diusion à oeients périodiques posée sur un ylindre
innietaveunenonlinéaritédetypeignition,unenouvellepreuvedel'existened'ondes
pulsatoires,résultat déjàdémontré par Xin [95℄ puis Berestyki etHamel [6℄.
Nous démontrons ensuite l'existene d'ondes pulsatoires au omportement préisé à
l'innipour uneéquationde réation-diusionunidimensionnelledontlanonlinéaritéest
de typeKPP etpériodiqueen espae.
Nous nous intéressons au hapitre 3 à l'existene de omportements nouveaux en
temps grand pour ette équation en milieu périodique et nous montrons que ertaines
données initialesdonnent lieuà une dynamiquenon trivialeau sens où ellene se réduit
pas àla simple onvergene vers une onde pulsatoire.
On démontre enn au hapitre 4 l'existene d'ondes pulsatoires pour un système de
réation-diusionen dimension une modélisantlaombustion solide.
I Contexte
I.1 Ondes progressives
Les équations de réation-diusion sont des équations aux dérivées partielles para-
boliques qui servent de modèles dans de nombreux domaines omme la ombustion (f
Williams[92℄) ou la dynamique des populations (f Murray [61℄). Elles permettent de
rendreompteetde mieux omprendrelesphénomènes de propagation(propagationde
ammes, invasion d'espèes, . . .) grâe à l'existene de solutionspartiulières de l'équa- tion appelées ondes progressives. L'équation type de la théorie
ut−uxx =f(u) sur R, (1)
a été introduite à la n des années 30 par Fisher [28℄ omme modèle de génétique des
populations(f(u) =u(1−u))etpar ZeldovihetFrank-Kamenetskii[97℄en ombustion.
L'inonnueureprésenteune densitéde gênedominantdanslepremierasetlatempéra-
tureen ombustion.Elleadonné lieuautravailmathématiquepionnierde Kolmogorov,
