Master 2 EADM 2013 - 2014 Capes Externe
UE 11 Epreuve sur dossier
07/10/2013
DOSSIER An 2
Thème : Fonctions et équations
L’exercice proposé au candidat
On considère la fonction f définie sur [0 ; ] par : f(x) = e- cos x.
On note Cf sa courbe représentative dans un repère (O ; i , j ) du plan.
Le but de l’exercice est de déterminer le nombre de tangentes à Cf passant par l’origine O du repère.
1) a) Déterminer une équation de la tangente Ta à Cf au point d’abscisse a de [0 ; ].
b) Montrer que Ta passe par O si et seulement si a sin a = 1.
2) Soit la fonction définie sur]0 ;] par (x) = sin x – 1 x . a) Etudier les variations de ’ sur]0 ;].
b) En déduire que la fonction admet un maximum absolu M qu’elle atteint en un unique réel x0 de l’intervalle] 0 ;].
c) Calculer ’
2 et en déduire la position de
2 par rapport à x0. d) Calculer
2 et en déduire le signe de M.
3) A l’aide des questions précédentes, déterminer le nombre de tangentes à Cf qui passent par O.
La réponse d’un élève aux questions 2.a et 2.b
a) ’(x) = cos x + 1
x2 : cos x est décroissante après 0 et 1
x2 aussi, donc ’ (x) est aussi décroissante sur ]0 ; [.
b) Comme elle décroît de + à un nombre négatif, elle vaut obligatoirement 0 à un moment donné, donc puisque ’(x) = 0, il y a un extremum pour la fonction : c’est un maximum parce que la limite en 0 est -, et donc elle est obligé d’être croissante après 0.
Le travail à exposer devant le jury
1. Analyser la production de l’élève, en précisant ses connaissances et savoir – faire dans le domaine des fonctions et la pertinence de ses réponses.
2. a) Tracer Cf et les tangentes en question à l’aide du logiciel de votre choix.
b) A l’aide d’une calculatrice ou d’un logiciel, donner une valeur approchée à 0,001 près des coordonnées des points où la tangente à la courbe Cf passe par O. On explicitera la méthode utilisée.
3. Proposer une correction de la question 2 de la question 2 de l’exercice telle que vous l’exposeriez devant une classe de terminale scientifique.
4. Présenter deux autres exercices sur le thème « Fonctions et équations ».
