Second degré

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Chapitre 1

Second degré

Classe : 1

^ère

- Cours

Professeur : Mme Ladeira

Lycée français Charles Lepierre_2020 / 2021

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Chapitre1_cours_C. Ladeira_2020-2021_Lycée français Charles Lepierre 1

Les capacités ci-dessous énumérées doivent être acquises afin que le chapitre puisse être considéré comme étant assimilé.

Les exercices élémentaires partie cours doivent donc être pleinement maîtrisés…ne pas hésiter à les refaire et solliciter le professeur si ceux-ci ne semblent pas correctement compris.

Ils seront assez régulièrement repris au niveau des interrogations de cours. (Exercices du même type)

Contenus du programme concernant le « Second degré » :

_Fonction polynôme du second degré donnée sous forme factorisée. Racines, signe,expression de la somme et du produit des racines _ex.4 du cours_

_ Forme canonique d’une fonction polynôme du second degré _ ex.1 + 2 du cours_ Discriminant.

_ Factorisation éventuelle. Résolution d'une équation du second degré. Signe.

_ Parabole représentative d’une fonction polynôme du second degré. Axe de symétrie, sommet.

Capacités attendues Exercices

( partie cours + …) 1.1 Étudier le signe d’une fonction polynôme du second degré donnée sous forme factorisée. Fiche réactivation,

7 1.2 Déterminer les fonctions polynômes du second degré s’annulant en deux nombres réels distincts. 7 1.3 Factoriser une fonction polynôme du second degré, en diversifiant les stratégies : racine évidente, détection

des racines par leur somme et leur produit, identité remarquable, application des formules générales.

Fiche réactivation 5 1.4 Choisir une forme adaptée (développée réduite, canonique, factorisée) d’une fonction polynôme du second

degré dans le cadre de la résolution d’un problème (équation, inéquation, optimisation, variations)

3, 6, 7 1.5 Déterminer l’axe de symétrie et le sommet d’une parabole d’équation 𝑦 = 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 7

Démonstrations à connaître

Résolution de l'équation du second degré. Dém. &2

Approfondissements possibles

Factorisation d'un polynôme du troisième degré admettant une racine et résolution de l'équation associée.

Factorisation de 𝑥^𝑛 − 1 par 𝑥 − 1, de 𝑥^𝑛 − 𝑎^𝑛 par 𝑥 − 𝑎.

Déterminer deux nombres réels connaissant leur somme s et leur produit p commeracines de la fonction polynôme 𝑥² ⟼ 𝑥² − 𝑠𝑥 + 𝑝.

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Chapitre 1 SECOND DEGRÉ 1

^ère

0. Introduction

La résolution d’équations du premier et du second degré remonte à la plus Haute Antiquité. On retrouve dans chaque civilisation des techniques – recettes – pour trouver les solutions. Ces équations sont liées à des problèmes concrets ou issus de la géométrie posés en langage courant.

On doit au mathématicien arabe Al-Khwarizmi (considéré comme le créateur de l’algèbre, 780 - 850) l’étude systématique des équations du second degré. Mais il faudra attendre les travaux de Viète (1540- 1603), qui permettent une avancée considérable pour l’algèbre.

De façon à peu près contemporaine des travaux de Viète, les mathématiciens italiens se passionnèrent pour la résolution des équations du troisième et du quatrième degré (Scipione del Ferro, Nicolo Tartaglia, Cardan Girolamo) : des méthodes générales de résolution seront trouvées. Le problème qui consiste à chercher des formules générales permettant d’exprimer les solutions des équations de degré supérieur ou égale à 5 en fonction des coefficients de ces équations trouvera son épilogue grâce aux travaux simultanés et indépendants de deux

mathématiciens du XIX^èsiècle aux destins tragiques, Évariste Galois (1811-1832) et Niels Abel (1802-1829) : il n’existe pas de formule générale permettant d’exprimer les solutions d’une équation polynomiale de degré supérieur ou égal à 5.

1. Fonctions polynômes du second degré Définition :

On appelle fonction polynôme de degré 2 toute fonction f définie sur ℝ par une expression de la forme :

où les coefficients a, b et c sont des réels donnés avec 𝑎 ≠ 0.

Exemples et contre-exemples :

Parmi les fonctions polynômes ci-dessous :

_ entourer en rouge celles qui sont des fonctions de degré 2 _ entourer en noir celles qui sont des fonctions affines _ pour les autres, mentionner de quel degré il s’agit

𝑓(𝑥) = 3𝑥²− 7𝑥 + 3; 𝑔(𝑥) = 5𝑥 − 3; ℎ(𝑥) = 4 − 2𝑥²; 𝑚(𝑥) = 5𝑥⁴− 3𝑥³+ 6𝑥 − 8; 𝑛(𝑥) = (𝑥 − 4)(5 − 2𝑥);

𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥²− 4)

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1.1. Forme canonique

Définition :

La forme canonique d’une fonction polynôme de degré 2, est une expression de la forme : 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝛼)²+ 𝛽 Avec 𝑎, 𝑏 𝑒𝑡 𝛼 des nombres réels et 𝑎 ≠ 0.

Détermination dans les cas simples à l’aide de la méthode de complétion du carré Méthode à partir de l’exemple de la fonction 𝑔(𝑥) = 𝑥²+ 2𝑥 − 3

→Considérons la partie 𝑥²+ 2𝑥, on reconnait le début de la 1^ère identité remarquable 𝑥²+ 2𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)² On a donc : 𝑥²+ 2𝑥 = (𝑥 + 1)²− 1

→Et maintenant : 𝑔(𝑥) =𝑥²+ 2𝑥− 3 = ((𝑥 + 1)²− 1)− 3 = (𝑥 + 1)²− 4

EXERCICE 1 :

Donner la forme canonique de l’expression 𝑥²+ 10𝑥 + 29

Détermination dans un cadre plus générale (hors programme) Méthode :

Soit la fonction f définie sur ℝ par : 𝑓(𝑥) = 2𝑥²− 20𝑥 + 10.

On veut exprimer la fonction f sous sa forme canonique : 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝛼)²+ 𝛽

( )

2 2 2

2

( ) 2 20 10

2 10 10

2 25 10

2 25 1

1 5 0

0 25 x

x f x

x x

x

x x

− +

−

= − +

 

=  −  +

 

=  −  +

 

=  −  +

( )

2

2 5 50 10

2 5 40

x x

= − − +

= − −

𝑓(𝑥) = 2(𝑥 − 5)²− 40 est la forme canonique de f.

car 𝑥²− 10𝑥 est le début du développement de (𝑥 − 5)² et (𝑥 − 5)²= 𝑥²− 10𝑥 + 25

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Propriété :

Toute fonction polynôme 𝑓 de degré 2 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥)𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 peut s'écrire sous la forme : 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝛼)²+ 𝛽 où 𝛼 et 𝛽 sont deux nombres réels.

Démonstration :

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1.2. Variations et représentation graphique

Exemple : Soit la fonction f donnée sous sa forme canonique par : 𝑓(𝑥) = 2(𝑥 −1)²+3 Alors : 𝑓(𝑥) ≥3 𝑐𝑎𝑟 2(𝑥 − 1)² est positif.

Or 𝑓(1) =3 donc pour tout 𝑥, 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(1)

𝑓 admet donc un minimum en 1. Ce minimum est égal à 3.

Propriété :

Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie par 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝛼)²+ 𝛽, 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑎 ≠ 0

- Si 𝑎 > 0, 𝑓 admet ………..pour 𝑥 =…………. Ce minimum est égal à ……….

- Si 𝑎 < 0, f admet ……… pour 𝑥 =……….. Ce maximum est égal à ……….

Démonstration :

On en déduit donc les caractéristiques de la représentation graphique d’une fonction polynôme de degré 2.

Propriété :

1. Soit la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 , on a alors

• Si 𝑎 > 0 :

x −

− b

2a

+

f

𝑓 (−^𝑏

2𝑎)

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• Si 𝑎 < 0 :

x −

− b

2a

+

f

𝑓 (−^𝑏

2𝑎)

2. La courbe représentative de la fonction 𝑓 est une parabole de sommet S de coordonnées 𝑆(𝛼; 𝛽) avec 𝛼 = −^𝑏

2𝑎 et 𝛽 = 𝑓(𝛼) 3. La parabole possède un axe de symétrie. Il s'agit de la droite d'équation 𝒙 = − ^𝒃

𝟐𝒂.

2. Équations du second degré Définition :

Une équation du second degré à coefficients réels est une équation de la forme 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, avec 𝑎, 𝑏 et 𝑐 trois réels tels que 𝑎 ≠ 0.

Définition :

Les solutions de l’équation du second degré 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 sont appelées les racines du trinôme 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐.

Définition :

Le discriminant d’un trinôme 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 est le nombre Δ =

Propriété :

Toute fonction polynôme 𝑓 de degré deux définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝑎 ≠ 0) admet une écriture sous forme canonique, telle que pour tout réel 𝑥 : 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝛼)²+ 𝛽 avec 𝛼 = et 𝛽 =

Reprise de la démonstration de la page 4, nous avons obtenu le résultat : 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝛼)²+ 𝛽 = [… ] = 𝑎 (𝑥 + 𝑏

2𝑎)

2

−𝑏²− 4𝑎𝑐 4𝑎

Avec la notation Δ = 𝑏²− 4𝑎𝑐, on a donc bien : 𝑓(𝑥) = 𝑎 (𝑥 − (−^𝑏

2𝑎))

2

− ^Δ

4𝑎

EXERCICE 2 :

À l’aide de la précédente propriété, déterminer la forme canonique de la fonction trinôme 𝑓(𝑥) = 3𝑥²+ 9𝑥 − 12.

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Propriété : Résolution dans 𝑹

Considérons l’équation du 2^nd degré : 𝒂𝒙^𝟐+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 avec 𝒂 ≠ 𝟎

_ si ∆< 𝟎 l'équation 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ………..

………..

_ si ∆= 𝟎 l'équation 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ………..

………..

_ si ∆> 𝟎 l'équation 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ………..

………..

En utilisant la forme canonique, on résout donc : 𝒂 [(𝒙 + ^𝒃

𝟐𝒂)^𝟐− ^∆

𝟒𝒂^𝟐] = 𝟎

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EXERCICE 3 :

Reprise du problème vue dans « l’atelier second degré » : Nous avons vu que ce problème se ramenait à résoudre l’équation :

𝑛²− 𝑛 − 210 = 0

À l’aide des connaissances acquises avec ce chapitre, résolvez finalement le problème soulevé en début de chapitre :

3. Propriétés d’un trinôme 3.1. Somme et produit de racines Propriété :

Si le trinôme 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 admet 2 racines réelles distinctes ou confondues, alors leur somme S et leur produit P vérifient :

Si 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 admet deux racines réelles, on a vu que 𝑥₁=^{−𝑏−√Δ}

2𝑎 𝑒𝑡 𝑥₂=^{−𝑏+√Δ}

2𝑎 .

Par conséquent on a : 𝑆 = 𝑥₁+ 𝑥₂=

𝑃 = 𝑥₁× 𝑥₂=

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Propriété :

Deux réels ont pour somme s et pour produit P s et seulement si ils sont solution de l’équation 𝑥²− 𝑆𝑥 + 𝑃 = 0.

Définition :

On appelle racine évidente d’un polynôme une valeur simple (par exemple un nombre entier entre -3 et 3) qui annule ce polynôme.

Si l’on trouve cette racine évidente, la formule de la somme ou du produit permet de calculer l’autre.

EXERCICE 4 :

Soit 𝑓 la fonction définie sur R par 𝑓(𝑥) = 2,5𝑥²− 2𝑥 − 0,5.

a. Vérifier que 1 est une racine de 𝑓.

b. Déterminer la valeur de l’autre racine en utilisant la somme ou le produit des racines.

3.2. Factorisation Propriété :

Soit 𝑓 un trinôme du second degré défini par 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐.

• Si Δ > 0, alors 𝑓(𝑥) = ……….avec 𝑥₁ et 𝑥₂les deux racines de 𝑓.

• Si Δ = 0, alors 𝑓(𝑥) = ……….avec 𝑥₀ la racine double de 𝑓.

• Si Δ < 0 ………..

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EXERCICE 5 :

Reprendre l’ex.4 et en déduire la forme factorisée de 𝑓.

3.3. Signe d’un trinôme

Propriété :

On considère le trinôme 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 .

1^er cas : si ∆< 𝟎 la fonction 𝑓 ………..

2^ème cas : si ∆= 𝟎 𝟎 la fonction 𝑓 ………..

3^ème cas : si ∆> 𝟎 𝐟(𝐱) = 𝐚(𝐱 − 𝐱_𝟏)(𝐱 − 𝐱_𝟐) (en posant 𝑥₁< 𝑥₂ )

En conclusion :

Le trinôme 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 est, pour tout réel 𝑥, du signe de a, sauf pour les valeurs de 𝒙 situées entre les racines, lorsqu’il y en a.

Démonstration

1^er cas : il faudra utiliser la forme canonique pour la démonstration 𝑓(𝑥) = 𝑎 (𝑥 + ^𝑏

2𝑎)²− ^Δ

4𝑎

2^ème cas : il faudra utiliser la forme factorisée 𝑓(𝑥) = 𝑎 (𝑥 + ^𝑏

2𝑎)²

𝒙 -∞ 𝒙_𝟏 𝒙_𝟐 +∞

Signe de 𝒇(𝒙) ⁰ ⁰

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3^ème cas : il faudra utiliser la forme factorisée 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥₁)(𝑥 − 𝑥₂) et un tableau de signes : 𝒙 -∞ 𝒙_𝟏 𝒙_𝟐 +∞

𝒙 − 𝒙_𝟏 𝒙 − 𝒙_𝟐

(𝒙 − 𝒙_𝟏)(𝒙 − 𝒙_𝟐) 𝒂(𝒙 − 𝒙_𝟏)(𝒙 − 𝒙_𝟐)

Méthode :

Pour résoudre une inéquation du second degré, il faut :

_ ……….

EXERCICE 6 :

Résoudre l’inéquation −3𝑥²+ 2𝑥 < 2𝑥²− 𝑥 − 2

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3.4. Interprétation graphique

Eléments que l´on peut retrouver sur un graphique :

➔

Placer

𝛼, 𝛽, 𝑐, 𝑥₁, 𝑥₂ EXERCICE 7 :

1. Soit 𝑓 une fonction polynôme du second degré telle que 𝑓 s’annule en -2 et 5.

a. Sachant que cette fonction 𝑓 peut s’écrire sous la forme 𝑎(𝑥 − 𝑥₁)(𝑥 − 𝑥₂), en déduire toutes les fonctions polynômes du second degré qui vérifient cette condition.

∆> 𝟎 ∆= 𝟎 ∆< 𝟎

signe de 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐

𝑥 signe de 𝑓(𝑥)

Courbe représentative de 𝑓 →en rouge lorsque la courbe est-au dessus de l’axe des abscisses

→en bleu lorsque la courbe est en-dessous

𝒂 > 𝟎

𝒂 < 𝟎

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b. En déduire l’expression de la fonction qui vérifie également la condition 𝑓(1) = 12.

2. En admettant que l’expression de 𝑓 soit 𝑓(𝑥) = −𝑥²+ 3𝑥 + 10, déterminer la forme canonique de 𝑓.

3. En déduire le tableau de variation de la fonction 𝑓 ainsi que ses éléments caractéristiques (sommet, axe de symétrie)

4. En utilisant la forme la mieux adaptée de 𝑓, résoudre𝑓(𝑥) ≥ 0.

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 MON BILAN ☺

Répondre aux questions du QCM de la page 55 du manuel lelivrescolaire, et entourer la ou les réponses.

Répondre aux questions du QCM de la page 83 du manuel lelivrescolaire, et entourer la ou les réponses.